资源简介

7.1　实际问题中导数的意义
1.一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s＝2＋10t－t2，则该物体在t＝3时的瞬时速度是（　　）
A.6米/秒 B.5米/秒
C.4米/秒 D.3米/秒
2.一物体的运动方程为s＝sin 2t＋3t＋1，则它的速度方程为（　　）
A.v＝2cos 2t＋3 B.v＝2sin 2t＋3
C.v＝－2cos 2t＋3 D.v＝2cos 2t＋3t＋1
3.某汽车启动阶段的路程函数为s（t）＝2t3－5t2（t表示时间），则t＝2时，汽车的加速度是（　　）
A.14 B.4
C.10 D.6
4.某雪堆在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）＝H（H为常数），其图象如图所示.
记此雪堆从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是（　　）
A.t1 B.t2
C.t3 D.t4
5.火车开出车站一段时间内，速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位：s）之间的关系是v（t）＝0.4t＋0.6t2，当加速度为2.8 m/s2时，火车开出去（　　）
A. s B.2 s
C. s D. s
6.一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t＋t2表示，并且物体的动能Ek＝mv2（m为物体质量，v为物体运动速度），则物体开始运动后第7 s时的动能是（　　）
A.160 J B.165 J
C.170 J D.175 J
7.一物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8，则其在t＝　　　　时的瞬时速度为1.
8.在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度是　　　　米/秒.（最后结果精确到0.01）
9.子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为　　　　.
10.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y＝v（t）＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
11.若函数y＝f（x）的图象上存在两个不同的点P，Q，使得曲线y＝f（x）在这两点处的切线重合，则称函数y＝f（x）为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的是（　　）
A.y＝sin x＋cos x B.y＝sin（cos x）
C.y＝x＋sin x D.y＝x2＋sin x
12.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度为　　　　 m/s.
13.质点的运动方程是S（t）＝sin t，则质点在t＝时的速度为　　　；质点运动的加速度为　　　　.
14.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s（t）＝5－.求函数s（t）在t＝时的导数，并解释它的实际意义.
15.（多选）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝sin x＋sin 2x，则下列说法正确的是（　　）
A.f（x）在上单调递增
B.f（x）的最大值为
C.f（x）在[0，2π]上有3个零点
D.f（x）在[0，2π]上有3个极值点
16.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时（8＜v≤v0）.若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？
7.1　实际问题中导数的意义
1.C　s'＝10－2t，∴当t＝3时，s'（3）＝4.故选C.
2.A　因为运动物体在t0时的瞬时速度就是路程函数y＝s（t）在t0时的导数，物体的运动方程为s＝sin 2t＋3t＋1，所以速度方程为v＝s'＝2cos 2t＋3.
3.A　速度v（t）＝s'（t）＝6t2－10t.所以加速度a（t）＝v'（t）＝12t－10，当t＝2时，a（t）＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.
4.C　本题需要明确平均速度与瞬时速度两个概念，从图中看，实际上是切线斜率和割线斜率的关系.如图，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V（t）在某时刻的切线斜率，通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3.
5.B　由题意可知，v'（t）＝0.4＋1.2t，令0.4＋1.2t＝2.8，可得t＝2 s.
6.A　s（t）＝t＋t2，则s'（t）＝v（t）＝1＋t，当t＝7时，v＝8，所以Ek＝mv2＝×5×82＝160（J）.
7.　解析：s'（t）＝14t，由14t＝1，∴t＝.
8.11.93　解析：Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，＝≈11.93（米/秒）.
9.800 m/s　解析：位移公式为s（t）＝at2，其中a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴s'（t）＝at，∴s'（t0）＝800（m/s）.
10.解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v'（2）和v'（6），
又v'（t）＝－2t＋6，
∴v'（2）＝2 m/s2，v'（6）＝－6 m/s2.
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2.说明在第2 s附近汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
11.D　对于A，令f（x）＝y＝sin x＋cos x＝（ sin x＋cos x）＝sin（ x＋），则f'（x）＝cos（ x＋），当x＝2kπ＋，k∈Z时，f'（x）＝0，f（x）取得最大值，直线y＝是函数f（x）＝sin x＋cos x图象的切线，且过点（ 2kπ＋，），k∈Z，所以函数f（x）＝sin x＋cos x是“切线重合函数”.对于B，令f（x）＝y＝sin（cos x），则f'（x）＝－sin x·cos（cos x），当x＝2kπ，k∈Z时，f'（x）＝0，cos x＝1，－sin 1≤f（x）≤sin 1，函数的最大值是sin 1，直线y＝sin 1是函数f（x）＝sin（cos x）图象的切线，且过点（2kπ，sin 1），k∈Z，所以函数f（x）＝sin（cos x）是“切线重合函数”.对于C，令f（x）＝y＝x＋sin x，则f'（x）＝1＋cos x，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f'（x）＝1，f（ 2kπ＋）＝2kπ＋＋1，k∈Z，所以过f（x）＝x＋sin x图象上的点（ 2kπ＋，2kπ＋＋1），k∈Z的切线方程是y－（ 2kπ＋＋1）＝x－（ 2kπ＋），即y＝x＋1，所以函数f（x）＝x＋sin x是“切线重合函数”.对于D，令f（x）＝y＝x2＋sin x，则f'（x）＝2x＋cos x，令g（x）＝f'（x）＝2x＋cos x，则g'（x）＝2－sin x＞0，所以g（x）＝f'（x）是R上的增函数，因此函数图象上不存在两点满足题意，故选D.
12.4.9　解析：∵h'（t）＝－9.8t＋14.7，∴h'（1）＝4.9.故烟花在t＝1 s时的瞬时速度为4.9 m/s.
13.　 －sin t　解析：v（t）＝S'（t）＝cos t，∴v＝cos ＝.即质点在t＝时的速度为.∵v（t）＝cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cos t）'＝－sin t.
14.解：由复合函数求导法则，得s'（t）＝－（25－9t2·（－18t）＝，
将t＝代入s'（t）中，得s'（ ）＝，
它表示当t＝ s时，梯子上端下滑的速度为 m/s.
15.BC　取一个周期2π，不妨设x∈[0，2π]，f'（x）＝cos x＋cos 2x＝2cos2x＋cos x－1＝（2cos x－1）（cos x＋1），令f'（x）＝0，解得x＝或x＝π或x＝，当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以A错误；f＝，f（2π）＝0，所以f（x）的最大值为，所以B正确；f（0）＝0，f（π）＝0，f（2π）＝0，结合f（x）的单调性可知f（x）在[0，2π]上有3个零点，所以C正确；f（x）在x＝和x＝处取得极值，所以D错误.故选B、C.
16.解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k（k＞0），则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，
得k＝5，则y1＝5v2.
设全程燃料费为y元，由题意，
得y＝f（v）＝y1·＝，
∴f'（v）＝＝.
令f'（v）＝0，
解得v＝0（舍去）或v＝16.
若v0≥16，当v∈（8，16）时，f'（v）＜0，f（v）在（8，16）上单调递减；当v∈（16，v0]时，f'（v）＞0，f（v）在（16，v0]上单调递增.故当v＝16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.
若v0＜16，则v∈（8，v0]，且f'（v）＜0，f（v）在（8，v0]上单调递减.故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省.
综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；
若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省.
2 / 27.1　实际问题中导数的意义
新课程标准解读 核心素养
了解日常生活和科学领域中导数的应用 数学建模、数学运算
低碳生活（low-carbon life）可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.
【问题】　如何使汽油的使用效率最高？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　实际问题中导数的意义
1.功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特.
2.降雨强度：在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.
3.边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f（x）的导函数称为边际成本.边际成本f'（x0）指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f'（x0）个单位的成本.
1.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f（t）表示，则f'（10）表示（　　）
A.t＝10时的降雨强度　 B.t＝10时的降雨
C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度
2.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，则熄火后　　　　 s火箭速度为零（g取10 m/s2）.
3.一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系可以用函数s（t）＝1＋t2表示，并且物体的动能U＝mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为　　　.
题型一 导数在物理中的意义
【例1】　一质点做直线运动，已知路程s（单位：m）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为s＝3t2＋2t＋1.求：
（1）从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
（2）当t＝2时的瞬时速度；
（3）当t＝2时的加速度.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
（1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬时速度，当Δt趋于0时，趋于的固定常数v即为瞬时速度，即v＝ .
2.求运动物体瞬时加速度的三个步骤
（1）求速度改变量Δv＝v（t0＋Δt）－v（t0）；
（2）求平均加速度＝；
（3）求瞬时加速度，当Δt趋于0时，平均加速度的极限 即为瞬时加速度.
【跟踪训练】
一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为Q（t）＝3t2－ln t.
（1）求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义（结果精确到0.01）；
（2）求Q'（2），并解释它的实际意义.
题型二 导数在生活中的应用
【例2】　假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）之间的关系为p（t）＝p0（1＋5%）t，其中p0为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　函数在某一取值x＝x0处的瞬时变化率可以刻画函数在x＝x0处的变化快慢情况，也可以利用以直代曲的方法根据斜率的正负，得到曲线f（x）在x＝x0附近的大体走势.
【跟踪训练】
1.各地房产部门为尽快实现房价稳定，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t具有函数关系，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（　　）
2.已知成本c与产量q的函数关系式为c＝3q2＋1，则当产量q＝30时的边际成本为　　　　.
1.已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α＝t2（t≥0）.则车轮启动后1.6秒时的瞬时角速度为（　　）
A.20π弧度/秒　　　　　B.10π弧度/秒
C.8π弧度/秒 D.5π弧度/秒
2.一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为　　　　.
3.设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单位：km）表示这一点的海拔高度，y是x的函数，满足解析式y＝f（x），若函数y＝f（x）在x＝100处的导数f'（100）＝－0.1.试解释它的实际意义.
7.1　实际问题中导数的意义
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.A　f'（t）表示t时刻的降雨强度，故选A.
2.10　解析：由已知，得火箭的运动方程为h（t）＝100t－gt2，h'（t）＝100－gt.令h'（t）＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10（s）.即火箭熄火后10 s速度变为零.
3.0.015 J　解析：∵s'（t）＝2t，∴s'（5）＝10，即5 s时的瞬时速度为10 cm/s，即0.1 m/s.此时，U＝×3×（0.1）2＝0.015 J.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）Δs＝s（3）－s（2）＝（3×32＋2×3＋1）－（3×22＋2×2＋1）＝17，∴＝＝17，
即从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17，即此段时间质点的平均速度为17 m/s.
（2）s'（t）＝6t＋2，∴s'（2）＝6×2＋2＝14（m/s）.
即当t＝2时的瞬时速度为14 m/s.
（3）设该质点的速度为v m/s，
则v（t）＝s'（t）＝6t＋2，
∴v'（t）＝6，∴v'（2）＝6.
即当t＝2时的加速度为6 m/s2.
跟踪训练
　解：（1）当t从1变到2时，电荷量从Q（1）变到Q（2），此时电荷量关于时间t的平均变化率为＝≈8.31，它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
（2）Q'（t）＝6t－，Q'（2）＝11.5，它的实际意义是：在t＝2 s这一时刻，经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.
【例2】　解：根据基本初等函数的导数公式表，当p0＝1时，有p'（t）＝1.05tln 1.05.
所以p'（10）＝1.0510ln 1.05≈0.08.
所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
跟踪训练
1.B　单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加而增大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹.故选B.
2.180　解析：∵c'（q）＝6q，∴c'（30）＝180，∴当产量q＝30时的边际成本为180.
随堂检测
1.B　α'＝，∴车轮启动1.6秒时的瞬时角速度为×1.6＝10π.故选B.
2.2　解析：s'（t）＝2at，由条件知，4a＝8，∴a＝2.
3.解：f'（100）＝－0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时变化率，如果保持这一速度，每经过1 km，该河流的海拔高度下降0.1 km.
3 / 3(共50张PPT)
7.1　
实际问题中导数的意义
新课程标准解读 核心素养
了解日常生活和科学领域中导数的应用 数学建模、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
低碳生活（low-carbon life）可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低
能量、低消耗、低开支的生活.低碳生活节能环保，势在必行.现实生
活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每
千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.
【问题】　如何使汽油的使用效率最高？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　实际问题中导数的意义
1. 功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它
的单位是瓦特.
2. 降雨强度：在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨
强度.
3. 边际成本：在经济学中，通常把生产成本 y 关于产量 x 的函数 y ＝ f
（ x ）的导函数称为边际成本.边际成本f'（ x0）指的是当产量为 x0
时，生产成本的增加速度，也就是当产量为 x0时，每增加一个单位
的产量，需要增加f'（ x0）个单位的成本.
1. 一次降雨过程中，降雨量 y 是时间 t 的函数，用 y ＝ f （ t ）表示，则
f'（10）表示（　　）
A. t ＝10时的降雨强度 B. t ＝10时的降雨
C. t ＝10时的时间 D. t ＝10时的温度
解析： f'（ t ）表示 t 时刻的降雨强度，故选A.
2. 火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，则熄火
后 s火箭速度为零（ g 取10 m/s2）.
解析：由已知，得火箭的运动方程为 h （ t ）＝100 t － gt2，h'
（ t ）＝100－ gt .令h'（ t ）＝0，即100－ gt ＝0，∴ t ＝ ＝10
（s）.即火箭熄火后10 s速度变为零.
10
3. 一个质量为 m ＝3 kg的物体做直线运动，设运动距离 s （单位：
cm）与时间 t （单位：s）的关系可以用函数 s （ t ）＝1＋ t2表示，
并且物体的动能 U ＝ mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能
为 .
解析：∵s'（ t ）＝2 t ，∴s'（5）＝10，即5 s时的瞬时速度为10
cm/s，即0.1 m/s.此时， U ＝ ×3×（0.1）2＝0.015 J.
0.015 J
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 导数在物理中的意义
【例1】　一质点做直线运动，已知路程 s （单位：m）是时间 t （单
位：s）的函数，设这个函数可以表示为 s ＝3 t2＋2 t ＋1.求：
（1）从 t ＝2变到 t ＝3时， s 关于 t 的平均变化率，并解释它的实
际意义；
解： Δ s ＝ s （3）－ s （2）＝（3×32＋2×3＋1）－
（3×22＋2×2＋1）＝17，∴ ＝ ＝17，
即从 t ＝2变到 t ＝3时， s 关于 t 的平均变化率为17，即此段时间
质点的平均速度为17 m/s.
（2）当 t ＝2时的瞬时速度；
解： s'（ t ）＝6 t ＋2，∴s'（2）＝6×2＋2＝14（m/s）.
即当 t ＝2时的瞬时速度为14 m/s.
（3）当 t ＝2时的加速度.
解：设该质点的速度为 v m/s，
则 v （ t ）＝s'（ t ）＝6 t ＋2，
∴v'（ t ）＝6，∴v'（2）＝6.
即当 t ＝2时的加速度为6 m/s2.
通性通法
1. 求运动物体瞬时速度的三个步骤
（1）求位移改变量Δ s ＝ s （ t0＋Δ t ）－ s （ t0）；
（2）求平均速度 ＝ ；
（3）求瞬时速度，当Δ t 趋于0时， 趋于的固定常数 v 即为瞬时速
度，即 v ＝ .
2. 求运动物体瞬时加速度的三个步骤
（1）求速度改变量Δ v ＝ v （ t0＋Δ t ）－ v （ t0）；
（2）求平均加速度 ＝ ；
（3）求瞬时加速度，当Δ t 趋于0时，平均加速度的极限 即
为瞬时加速度.
【跟踪训练】
一个电路中，流过的电荷量 Q （单位：C）关于时间 t （单位：s）的
函数为 Q （ t ）＝3 t2－ln t .
（1）求当 t 从1变到2时，电荷量 Q 关于 t 的平均变化率，并解释它的
实际意义（结果精确到0.01）；
解： 当 t 从1变到2时，电荷量从 Q （1）变到 Q（2），此时电
荷量关于时间 t 的平均变化率为 ＝ ≈
8.31，它表示从 t ＝1 s到 t ＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电
路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
（2）求Q'（2），并解释它的实际意义.
解： Q '（ t ）＝6 t － ， Q '（2）＝11.5，它的实际意义是：在
t ＝2 s这一时刻，经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时
刻电路的电流为11.5 A.
题型二 导数在生活中的应用
【例2】　假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价 p （单
位：元）与时间 t （单位：年）之间的关系为 p （ t ）＝ p0（1＋5%）
t ，其中 p0为 t ＝0时的物价.假定某种商品的 p0＝1，那么在第10个年
头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，当 p0＝1时，有p'（ t ）＝1.05 t
ln 1.05.
所以p'（10）＝1.0510ln 1.05≈0.08.
所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
通性通法
　　函数在某一取值 x ＝ x0处的瞬时变化率可以刻画函数在 x ＝ x0处的
变化快慢情况，也可以利用以直代曲的方法根据斜率的正负，得到曲
线 f （ x ）在 x ＝ x0附近的大体走势.
【跟踪训练】
1. 各地房产部门为尽快实现房价稳定，提出多种方案，其中之一就是
在规定的时间 T 内完成房产供应量任务 Q . 已知房产供应量 Q 与时
间 t 具有函数关系，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单
位时间的供应量）逐步提高的是（　　）
解析： 　单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来
越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加而增大，则曲线是上升
的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹.故选B.
2. 已知成本 c 与产量 q 的函数关系式为 c ＝3 q2＋1，则当产量 q ＝30时
的边际成本为 .
解析：∵c'（ q ）＝6 q ，∴c'（30）＝180，∴当产量 q ＝30时的边
际成本为180.
180
1. 已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间 t （秒）的函数关系是
α＝ t2（ t ≥0）.则车轮启动后1.6秒时的瞬时角速度为（　）
A. 20π弧度/秒 B. 10π弧度/秒
C. 8π弧度/秒 D. 5π弧度/秒
解析： 　α'＝ ，∴车轮启动1.6秒时的瞬时角速度为
×1.6＝10π.故选B.
2. 一质点按规律 s （ t ）＝ at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单
位：s），若该质点在 t ＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数 a 的值
为 .
解析：s'（ t ）＝2 at ，由条件知，4 a ＝8，∴ a ＝2.
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3. 设 x （单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离， y
（单位：km）表示这一点的海拔高度， y 是 x 的函数，满足解析式
y ＝ f （ x ），若函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝100处的导数f'（100）＝－
0.1.试解释它的实际意义.
解：f'（100）＝－0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时
变化率，如果保持这一速度，每经过1 km，该河流的海拔高度下降
0.1 km.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一个物体的位移 s （米）与时间 t （秒）的关系为 s ＝2＋10 t － t2，
则该物体在 t ＝3时的瞬时速度是（　　）
A. 6米/秒 B. 5米/秒
C. 4米/秒 D. 3米/秒
解析： 　s'＝10－2 t ，∴当 t ＝3时，s'（3）＝4.故选C.
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2. 一物体的运动方程为 s ＝ sin 2 t ＋3 t ＋1，则它的速度方程为
（　　）
A. v ＝2 cos 2 t ＋3 B. v ＝2 sin 2 t ＋3
C. v ＝－2 cos 2 t ＋3 D. v ＝2 cos 2 t ＋3 t ＋1
解析： 因为运动物体在 t0时的瞬时速度就是路程函数 y ＝ s
（ t ）在 t0时的导数，物体的运动方程为 s ＝ sin 2 t ＋3 t ＋1，所以
速度方程为 v ＝s'＝2 cos 2 t ＋3.
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3. 某汽车启动阶段的路程函数为 s （ t ）＝2 t3－5 t2（ t 表示时间），
则 t ＝2时，汽车的加速度是（　　）
A. 14 B. 4
C. 10 D. 6
解析： 　速度 v （ t ）＝s'（ t ）＝6 t2－10 t .所以加速度 a （ t ）＝
v'（ t ）＝12 t －10，当 t ＝2时， a （ t ）＝14，即 t ＝2时汽车的加速
度为14.
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4. 某雪堆在融化过程中，其体积 V （单位：m3）与融化时间 t （单
位：h）近似满足函数关系： V （ t ）＝ H （ H 为常
数），其图象如图所示.
记此雪堆从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h，观察图象可
知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是（　　）
A. t1 B. t2
C. t3 D. t4
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解析： 　本题需要明确平均速度与瞬时速度两个概
念，从图中看，实际上是切线斜率和割线斜率的关
系.如图，平均融化速度实际上是点 A 与点 B 连线的
斜率 k ；瞬时融化速度实际上是曲线 V （ t ）在某时
刻的切线斜率，通过对比，曲线在 t3时刻的切线斜率
与 k 相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是 t3.
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5. 火车开出车站一段时间内，速度 v （单位：m/s）与行驶时间 t （单
位：s）之间的关系是 v （ t ）＝0.4 t ＋0.6 t2，当加速度为2.8 m/s2
时，火车开出去（　　）
B. 2 s
解析： 　由题意可知，v'（ t ）＝0.4＋1.2 t ，令0.4＋1.2 t ＝
2.8，可得 t ＝2 s.
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6. 一个质量 m ＝5 kg的物体做直线运动，设运动距离 s （单位：m）
与时间 t （单位：s）的关系可用函数 s （ t ）＝ t ＋ t2表示，并且物
体的动能 Ek＝ mv2（ m 为物体质量， v 为物体运动速度），则物体
开始运动后第7 s时的动能是（　　）
A. 160 J B. 165 J
C. 170 J D. 175 J
解析： s （ t ）＝ t ＋ t2，则s'（ t ）＝ v （ t ）＝1＋ t ，当 t ＝7
时， v ＝8，所以 Ek＝ mv2＝ ×5×82＝160（J）.
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解析：s'（ t ）＝14 t ，由14 t ＝1，∴ t ＝ .

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8. 在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，
通过计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度
是 米/秒.（最后结果精确到0.01）
解析：Δ s ＝100－50＝50，Δ t ＝9.69－5.50＝4.19， ＝ ≈11.93
（米/秒）.
11.93
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9. 子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是
5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则子弹
射出枪口时的瞬时速度为 .
解析：位移公式为 s （ t ）＝ at2，其中 a ＝5.0×105 m/s2， t0＝
1.6×10－3 s，∴s'（ t ）＝ at ，∴s'（ t0）＝800（m/s）.
800 m/s
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解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v'（2）和v'（6），
又v'（ t ）＝－2 t ＋6，
∴v'（2）＝2 m/s2，v'（6）＝－6 m/s2.
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2.说
明在第2 s附近汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车
的速度每秒大约减少6 m/s.
10. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 t s时汽车的速度（单
位：m/s）为 y ＝ v （ t ）＝－ t2＋6 t ＋60，求汽车在第2 s与第6 s时
的瞬时加速度，并说明它们的意义.
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11. 若函数 y ＝ f （ x ）的图象上存在两个不同的点 P ， Q ，使得曲线 y
＝ f （ x ）在这两点处的切线重合，则称函数 y ＝ f （ x ）为“切线
重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的是（　　）
A. y ＝ sin x ＋ cos x B. y ＝ sin （ cos x ）
C. y ＝ x ＋ sin x D. y ＝ x2＋ sin x
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解析： 对于A，令 f （ x ）＝ y ＝ sin x ＋ cos x ＝ （ sin x ＋
cos x ）＝ sin （ x ＋ ），则f'（ x ）＝ cos （ x ＋ ），当
x ＝2 k π＋ ， k ∈Z时，f'（ x ）＝0， f （ x ）取得最大值 ，直
线 y ＝ 是函数 f （ x ）＝ sin x ＋ cos x 图象的切线，且过点（ 2 k
π＋ ， ）， k ∈Z，所以函数 f （ x ）＝ sin x ＋ cos x 是“切线
重合函数”.对于 B ，令 f （ x ）＝ y ＝ sin （ cos x ），则f'（ x ）＝
－ sin x · cos （ cos x ），当 x ＝2 k π， k ∈Z时，f'（ x ）＝0， cos x
＝1，－ sin 1≤ f （ x ）≤ sin 1，函数的最大值是 sin 1，
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直线 y ＝ sin 1是函数 f （ x ）＝ sin （ cos x ）图象的切线，且过点（2 k
π， sin 1）， k ∈Z，所以函数 f （ x ）＝ sin （ cos x ）是“切线重合函
数”.对于C，令 f （ x ）＝ y ＝ x ＋ sin x ，则f'（ x ）＝1＋ cos x ，当 x
＝2 k π＋ ， k ∈Z时，f'（ x ）＝1， f （ 2 k π＋ ）＝2 k π＋ ＋1， k
∈Z，所以过 f （ x ）＝ x ＋ sin x 图象上的点（ 2 k π＋ ，2 k π＋ ＋
1）， k ∈Z的切线方程是 y －（ 2 k π＋ ＋1）＝ x －（ 2 k π＋ ），即
y ＝ x ＋1，所以函数 f （ x ）＝ x ＋ sin x 是“切线重合函数”.对于D，
令 f （ x ）＝ y ＝ x2＋ sin x ，则f'（ x ）＝2 x ＋ cos x ，令 g （ x ）＝f'（ x ）
＝2 x ＋ cos x ，则g'（ x ）＝2－ sin x ＞0，所以 g （ x ）＝f'（ x ）是R
上的增函数，因此函数图象上不存在两点满足题意，故选D.
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12. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最
高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h （单位：m）与时间 t （单
位：s）之间的关系式为 h （ t ）＝－4.9 t2＋14.7 t ，则烟花在 t ＝1
s时的瞬时速度为 m/s.
解析：∵h'（ t ）＝－9.8 t ＋14.7，∴h'（1）＝4.9.故烟花在 t ＝1
s时的瞬时速度为4.9 m/s.
4.9
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13. 质点的运动方程是 S （ t ）＝ sin t ，则质点在 t ＝ 时的速度为
；质点运动的加速度为 .
解析： v （ t ）＝S'（ t ）＝ cos t ，∴ v ＝ cos ＝ .即质点在 t
＝ 时的速度为 .∵ v （ t ）＝ cos t ，∴加速度 a （ t ）＝v'（ t ）
＝（ cos t ）'＝－ sin t .

－ sin t
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14. 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s （单
位：m）关于时间 t （单位：s）的函数为 s （ t ）＝5－ .
求函数 s （ t ）在 t ＝ 时的导数，并解释它的实际意义.
解：由复合函数求导法则，得s'（ t ）＝－ （25－9 t2 ·（－18
t ）＝ ，
将 t ＝ 代入s'（ t ）中，得s'（ ）＝ ，
它表示当 t ＝ s时，梯子上端下滑的速度为 m/s.
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15. （多选）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯
音的数学模型是函数 y ＝ A sin ω t ，我们听到的声音是由纯音合成
的，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 f （ x ）＝ sin x
＋ sin 2 x ，则下列说法正确的是（　　）
C. f （ x ）在[0，2π]上有3个零点
D. f （ x ）在[0，2π]上有3个极值点
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解析： 　取一个周期2π，不妨设 x ∈[0，2π]，f'（ x ）＝ cos x
＋ cos 2 x ＝2 cos 2 x ＋ cos x －1＝（2 cos x －1）（ cos x ＋1），令
f'（ x ）＝0，解得 x ＝ 或 x ＝π或 x ＝ ，当 x ∈ 时，f'
（ x ）＞0， f （ x ）单调递增，当 x ∈ 时，f'（ x ）＜0， f
（ x ）单调递减，当 x ∈ 时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递
减，当 x ∈ 时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增，所以A
错误；
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f ＝ ， f （2π）＝0，所以 f （ x ）的最大值为 ，所以B正确；
f （0）＝0， f （π）＝0， f （2π）＝0，结合 f （ x ）的单调性可知 f
（ x ）在[0，2π]上有3个零点，所以C正确； f （ x ）在 x ＝ 和 x ＝
处取得极值，所以D错误.故选B、C.
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16. 已知 A ， B 两地相距200千米，一只船从 A 地逆水航行到 B 地，水
速为8千米/时，船在静水中的航行速度为 v 千米/时（8＜ v ≤ v0）.
若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成
正比，当 v ＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元.
为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度 v 应为多少？
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解：设船每小时航行所需的燃料费为 y1元，比例系数为 k （ k ＞
0），则 y1＝ kv2.∵当 v ＝12时， y1＝720，
∴720＝ k ·122，得 k ＝5，则 y1＝5 v2.
设全程燃料费为 y 元，由题意，
得 y ＝ f （ v ）＝ y1· ＝ ，
∴f'（ v ）＝
＝ .
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令f'（ v ）＝0，解得 v ＝0（舍去）或 v ＝16.
若 v0≥16，当 v ∈（8，16）时，f'（ v ）＜0， f （ v ）在（8，16）
上单调递减；当 v ∈（16， v0]时，f'（ v ）＞0， f （ v ）在（16，
v0]上单调递增.故当 v ＝16千米/时时， y 取得极小值，也是最小
值，此时全程燃料费最省.
若 v0＜16，则 v ∈（8， v0]，且f'（ v ）＜0， f （ v ）在（8， v0]上
单调递减.故当 v ＝ v0时， y 取得最小值，此时全程燃料费最省.
综上可得，若 v0≥16，则当 v ＝16千米/时时，全程燃料费最省；
若 v0＜16，则当 v ＝ v0时，全程燃料费最省.
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