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7.2　实际问题中的最值问题
1.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为（　　）
A.　　B.　　C.　　D.2
2.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为（　　）
A.π B.π
C.π D.π
3.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（　　）
A.6 m B.8 m
C.4 m D.2 m
4.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝则当总利润P（x）最大时，每年生产产品的单位数是（　　）
A.150 B.200
C.250 D.300
5.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0）.已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈（0，0.048 6），若使银行获得最大收益，则x的取值为（　　）
A.0.016 2 B.0.032 4
C.0.024 3 D.0.048 6
6.（多选）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则（　　）
A.长方体的体积V（x）＝（6x2－9x3）m3
B.长方体的最大体积V＝3 m3
C.长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D.长方体的体积最大时，高为1.5 m
7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝　　　吨.
8.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（L）关于行驶速度x （km/h）的函数关系式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈（0，120]，且甲、乙两地相距100 km，则当汽车以　　　　 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少.
9.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销量N（单位：吨）与零售价M（单位：元）有如下关系：N＝8 300－170M－M2，则该批材料零售价定为　　　　元时利润最大，利润的最大值为　　　　元.
10.某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高AO1为x，储粮仓的体积为y.
（1）求y关于x的函数解析式；（圆周率用π表示）
（2）求AO1为何值时，储粮仓的体积最大.
11.某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（　　）
A.5海里 B.海里
C.5海里 D.10海里
12.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元.销售额y（单位：万元）与莲藕种植量x（单位：万千克）满足y＝－x3＋ax2＋x（a为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（　　）
A.6万千克 B.8万千克
C.7万千克 D.9万千克
13.某厂生产某种产品x件的总成本C（x）＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，销售100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为　　　　　件.
14.某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）＝a（x－1）＋2，g（x）＝6ln（x＋b），a＞0，b＞0.已知投资额为0时收益为0.
（1）求a，b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益.
15.现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为（　　）
A.1 m B. m
C.2 m D.3 m
16.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO'的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价k（万元）（k＞0），问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
7.2　实际问题中的最值问题
1.C　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V（x＞0），∴S'＝（x3－4V）.由S'＝0，得x＝，可判断当x＝时，S取得最小值.
2.A　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.则V'＝lπr－6πr2，令V'＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，∴r＝是其唯一的极值点.∴r＝是其最值点.当0＜r＜时，V'＞0，当＜r＜时，V'＜0，∴当r＝时，V取得最大值，最大值为π.
3.C　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4xh＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S'＝2x－，令S'＝0，得x＝8，易判断x＝8是S的最小值点，因此h＝＝4（m）.
4.D　由题意得，总利润P（x）＝
当0≤x≤390时，令P'（x）＝0，得x＝300，可知当0≤x＜300时，P（x）单调递增，当300＜x≤390时，P（x）单调递减，则x＝300时，P（x）取极大值，P（300）＝40 000，且P（390）＝31 090.又当x＞390时，P（x）＝50 090－100x单调递减，且P（x）＜50 090－100×390＝11 090，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D.
5.B　由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈（0，0.048 6）.所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0＜x＜0.048 6），则y'＝0.097 2kx－3kx2（0＜x＜0.048 6）.令y'＝0，得x＝0.032 4或x＝0（舍去）.当0＜x＜0.032 4时，y'＞0；当0.032 4＜x＜0.048 6时，y'＜0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益.
6.BCD　若长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝－3x，故长方体的体积为V（x）＝2x2＝9x2－6x3，故A错误；从而V'（x）＝18x－18x2＝18x（1－x），令V'（x）＝0，解得x＝1或x＝0（舍去）.当0＜x＜1时，V'（x）＞0；当1＜x＜时，V'（x）＜0，故在x＝1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值，从而最大体积V＝V（1）＝9×12－6×13＝3（m3），此时长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m，故B、C、D正确.
7.20　解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，∴总运费与总存储费之和f（x）＝4n＋4x＝＋4x，令f'（x）＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20（舍去），可判断x＝20是函数f（x）的最小值点，故当x＝20时，f（x）最小.
8.80　解析：当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，设从甲地到乙地的耗油量为s L，依题意得s＝·＝x2＋－（0＜x≤120），则s'＝－＝（0＜x≤120）.令s'＝0，得x＝80，当x∈（0，80）时，s'＜0；当x∈（80，120]时，s'＞0，所以当x＝80时，s取最小值.
9.30　23 000　解析：设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N（M－20）＝－M3－150M2＋11 700M－166 000，则y'＝－3M2－300M＋11 700，令y'＝0，得M＝30或M＝－130（舍去），当M∈（0，30）时，y'＞0，当M∈（30，＋∞）时，y'＜0，因此当M＝30时，y取得极大值，也是最大值，且ymax＝23 000.
10.解：（1）∵圆锥和圆柱的底面半径r＝，0＜x＜2，
∴y＝πr2×2＋πr2x＝2π（4－x2）＋π（4－x2）x.
即y＝－πx3－2πx2＋πx＋8π（0＜x＜2）.
（2）y'＝－πx2－4πx＋π，
令y'＝－πx2－4πx＋π＝－π＝0（0＜x＜2），得x＝－2＋.
当x变化时，y'，y的变化情况如下表：
x －2＋
y' ＋ 0 －
y ↗ 极大值 ↘
故当AO1＝－2＋时，储粮仓的体积最大.
11.B　设BM＝x（0＜x＜100），并设陆地上单位长度的费用为1，则AM＝，MC＝100－x，所以总费用为f（x）＝3＋100－x，则f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，则＜x＜100，即f（x）在上单调递增；令f'（x）＜0，则0＜x＜，即f（x）在上单调递减，所以当x＝时，f（x）取得最小值.故选B.
12.B　设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g（x）万元，则g（x）＝－x3＋ax2＋x－2－x＝－x3＋ax2－2（0＜x≤10）.因为g（3）＝－×33＋a×32－2＝，所以a＝2，则g（x）＝－x3＋2x2－2，求导得g'（x）＝－x2＋4x＝－x（x－8），当x∈（0，8）时，g'（x）＞0，当x∈（8，10）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，8）上单调递增，在（8，10）上单调递减，所以当x＝8时，g（x）取得最大值，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克.故选B.
13.25　解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200（x＞0），y'＝－x2，由y'＝0，得x＝25，当x∈（0，25）时，y'＞0，当x∈（25，＋∞）时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为最大值.
14.解：（1）由投资额为0时收益为0，
可知f（0）＝－a＋2＝0，g（0）＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
（2）由（1）可得f（x）＝2x，g（x）＝6ln（x＋1）.
设投入经销B商品的资金为x（0≤x≤5）万元，
则投入经销A商品的资金为（5－x）万元.
设所获得的收益为S（x）万元，则S（x）＝2（5－x）＋6ln（x＋1）＝6ln（x＋1）－2x＋10（0≤x≤5）.
S'（x）＝－2，令S'（x）＝0，得x＝2.
当0≤x＜2时，S'（x）＞0，函数S（x）单调递增；
当2＜x≤5时，S'（x）＜0，函数S（x）单调递减；
所以当x＝2时，函数S（x）取得极大值，也是最大值，S（x）max＝S（2）＝6ln 3＋6.
当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为（6ln 3＋6）万元.
15.C　设OO1为x m，则1＜x＜4，设底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为＝（m），于是S＝6×（）2＝（8＋2x－x2），所以V＝×（8＋2x－x2）（x－1）＋×（8＋2x－x2）＝（8＋2x－x2）[（x－1）＋3]＝（16＋12x－x3）（1＜x＜4），则V'＝（12－3x2）.令V'＝0，解得x＝2或x＝－2（舍去）.当1＜x＜2时，V'＞0，V单调递增；当2＜x＜4时，V'＜0，V单调递减.所以当x＝2时，V最大.故选C.
16.解：（1）作AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.
由条件知，当O'B＝40时，
BB1＝－×403＋6×40＝160，则AA1＝160.
由O'A2＝160，得O'A＝80.
所以AB＝O'A＋O'B＝80＋40＝120（米）.
（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）.
设F（x，y2），x∈（0，40），
则y2＝－x3＋6x，
EF＝160－y2＝160＋x3－6x.
因为CE＝80，
所以O'C＝80－x.
设D（x－80，y1），则y1＝（80－x）2，
所以CD＝160－y1＝160－（80－x）2＝－x2＋4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f（x），则
f（x）＝k＋k
＝k（0＜x＜40）.
f'（x）＝k＝x（x－20），
令f'（x）＝0，得x＝20.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，20） 20 （20，40）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以当x＝20时，f（x）取得最小值.
所以当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低.
3 / 37.2　实际问题中的最值问题
新课程标准解读 核心素养
1.体会导数在解决实际问题中的作用 数学建模
2.能利用导数解决简单的实际问题 数学运算
　　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.
【问题】　如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　用导数解决最优化问题的基本思路
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝x3－x2＋8（0≤x≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）
A.8　　　　　　　　　 B.
C.－1 D.－8
2.某产品的销售收入y1（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y1＝17x2，生产成本y2（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x＞0，为使利润最大，应生产该产品　　　千台.
题型一 几何中的最值问题
【例1】　如图，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3.
（1）写出体积V关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.利用导数解决实际问题中最值的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论.
2.几何中最值问题的求解思路
面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.
【跟踪训练】
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为（　　）
A.cm　　　　　　　 B.cm
C.5cm D.cm
题型二 用料、费用最少问题
【例2】　现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元.
（1）把全程运输成本y表示为速度x的函数；
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　费用、用料最少问题是日常生活中常见的最值问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
【跟踪训练】
如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
题型三 利润最大问题
【例3】　某商场从2024年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似地满足p（x）＝x（x＋1）（39－2x）（其中x∈N＋且x≤12），该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）＝
（1）写出2024年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2024年第几个月销售该商品的月利润g（x）最大，最大月利润为多少元？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
解决利润最大问题的思路及注意点
（1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数解析式，再利用导数求最大值；
（2）求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
【跟踪训练】
为积极响应“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A，B两种小商品，当投资额为x（x≥0）千元时，销售A，B商品所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝x，g（x）＝5ln（x＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入　　　千元.
1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为　　　万件.
2.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为　　　.
3.请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重
合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x（cm）.
某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
7.2　实际问题中的最值问题
【基础知识·重落实】
知识点
函数　导数
自我诊断
1.C　原油温度的瞬时变化率为f'（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2.6　解析：由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝18x2－2x3（x＞0），y'＝36x－6x2，由y'＝0得x＝6（x＝0舍去），当x∈（0，6）时，y'＞0，y单调递增，当x∈（6，＋∞）时，y'＜0，y单调递减，则x＝6时，y有最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为BC＝x，所以｜OB｜＝.
设圆柱底面半径为r，则＝πr，即π2r2＝900－x2，
所以V＝πr2·x＝π··x＝，其中0＜x＜30.
（2）由V'＝＝0，得x＝10，
又在（0，10）上V'＞0，在（10，30）上V'＜0，
所以V＝在（0，10）上单调递增，在（10，30）上单调递减，所以当x＝10 cm时，V有最大值.
即当x＝10 cm时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大.
跟踪训练
　D　如图所示，设圆锥形漏斗底面半径为r cm，高为h cm，则h2＋r2＝202，解得r＝，所以漏斗容积V＝πr2h＝π·（400－h2）h＝π·（400h－h3）（0＜h＜20）.所以V'＝π（400－3h2），令V'＝0，得h＝或h＝－（舍去）.当0＜h＜时，V'＞0，V单调递增；当＜h＜20时，V'＜0，V单调递减，所以当h＝ cm时，V最大.故选D.
【例2】　解：（1）依题意得y＝（960＋0.6x2）＝＋300x，函数的定义域为（0，30]，即y＝＋300x（0＜x≤30）.
（2）∵y＝＋300x（0＜x≤30），
∴y'＝－＋300.
令y'＝0，解得x＝40或x＝－40（舍去）.
∵函数的定义域为（0，30]，
当0＜x≤30时，y'＜0，
∴函数y＝＋300x在区间（0，30]内单调递减，
∴当x＝30时，函数y＝＋300x取得最小值，
∴为了使全程运输成本最小，轮船应以每小时30 n mile 的速度行驶.
跟踪训练
　解：设C点距D点x km，则AC＝50－x（km），
所以BC＝＝（km）.
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a（50－x）＋5a（0＜x＜50）.
y'＝－3a＋.
令y'＝0，解得x＝30.
在x∈（0，50）上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20（km）.
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
【例3】　解：（1）当x＝1时，f（1）＝p（1）＝37，
当2≤x≤12且x∈N＋时，f（x）＝p（x）－p（x－1）＝x（x＋1）·（39－2x）－（x－1）x（41－2x）＝－3x2＋40x.
经验证x＝1也符合上式，故f（x）＝－3x2＋40x（x∈N＋且1≤x≤12）.
（2）该商场第x个月销售该商品的月利润为
g（x）＝
即g（x）＝
当x∈N＋且1≤x≤6时，
g'（x）＝18x2－370x＋1 400.
令g'（x）＝0，
解得x＝5或x＝（舍去）.
∴当x∈N＋且1≤x≤6时，g（x）max＝g（5）＝3 125.
当x∈N＋且7≤x≤12时，g（x）＝－480x＋6 400单调递减，
故g（x）max＝g（7）＝3 040.
∵3 040＜3 125.
故该商场2024年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3 125元.
跟踪训练
　1　解析：设投入销售B商品的资金为x千元（0≤x≤5），则投入销售A商品的资金为（5－x）千元，所获得的收益设为S（x）千元，则S（x）＝（5－x）＋5ln（x＋1）＝5ln（x＋1）－x＋5（0≤x≤5），可得S'（x）＝－1＝，当0≤x＜4时，可得S'（x）＞0，函数S（x）单调递增；当4＜x≤5时，可得S'（x）＜0，函数S（x）单调递减，所以当x＝4时，函数S（x）取得最大值，最大值为S（4）＝5ln 5＋1，所以当投入销售B商品的资金为4千元，投入销售A商品的资金为1千元时，此时总收益最大为1＋5ln 5千元.
随堂检测
1.9　解析：由y＝－x3＋81x－234得y'＝－x2＋81，由－x2＋81＝0得x1＝－9（舍去），x2＝9.当x∈（0，9）时，y'＞0，函数y＝－x3＋81x－234单调递增，当x∈（9，＋∞）时，y'＜0，函数y＝－x3＋81x－234单调递减，所以当x＝9时，函数有最大值.故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
2.3　解析：设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r（r＞0），则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋（r＞0）.求导得S'＝2πr－，令S'＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S'＜0；当r＞3时，S'＞0.所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.
3.解：∵V（x）＝（x）2×（60－2x）×＝x2×（60－2x）＝－2x3＋60x2（0＜x＜30）.
∴V'（x）＝－6x2＋120x＝－6x·（x－20）.
令V'（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20.
∵当0＜x＜20时，V'（x）＞0；
当20＜x＜30时，V'（x）＜0.
∴V（x）在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.
∴底面边长为x＝20（cm），高为（30－x）＝10（cm），
即高与底面边长的比值为.
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7.2　
实际问题中的最值问题
新课程标准解读 核心素养
1.体会导数在解决实际问题中的作用 数学建模
2.能利用导数解决简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张
如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边
各空2 dm，左右两边各空1 dm.
【问题】　如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　用导数解决最优化问题的基本思路
1. 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果
第 x 小时，原油温度（单位：℃）为 f （ x ）＝ x3－ x2＋8（0≤ x
≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）
A. 8 C. －1 D. －8
解析： 　原油温度的瞬时变化率为f'（ x ）＝ x2－2 x ＝（ x －1）2
－1（0≤ x ≤5），所以当 x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最
小值－1.
2. 某产品的销售收入 y1（万元）关于产量 x （千台）的函数关系
式为 y1＝17 x2，生产成本 y2（万元）关于产量 x （千台）的函
数关系式为 y2＝2 x3－ x2，已知 x ＞0，为使利润最大，应生产
该产品 千台.
解析：由题意，利润 y ＝ y1－ y2＝17 x2－（2 x3－ x2）＝18 x2－2 x3
（ x ＞0），y'＝36 x －6 x2，由y'＝0得 x ＝6（ x ＝0舍去），当 x ∈
（0，6）时，y'＞0， y 单调递增，当 x ∈（6，＋∞）时，y'＜0， y
单调递减，则 x ＝6时， y 有最大值.
6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 几何中的最值问题
【例1】　如图，在半径为30 cm的半圆形（ O 为圆心）铝皮上截取一
块矩形材料 ABCD ，其中点 C ， D 在圆弧上，点 A ， B 在半圆的直径
上，现将此矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 BC 为母线的圆柱形罐子的侧
面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长 BC ＝ x cm，圆柱的体积
为 V cm3.
（1）写出体积 V 关于 x 的函数解析式；
解： 因为 BC ＝ x ，所以｜ OB ｜＝
.
设圆柱底面半径为 r ，则 ＝π r ，即π2 r2
＝900－ x2，
所以 V ＝π r2· x ＝π· · x ＝ ，其中0＜ x
＜30.
（2）当 x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大？
解：（2）由V'＝ ＝0，得 x ＝10 ，
又在（0，10 ）上V'＞0，在（10 ，30）上V'
＜0，
所以 V ＝ 在（0，10 ）上单调递增，在
（10 ，30）上单调递减，所以当 x ＝10 cm
时， V 有最大值.
即当 x ＝10 cm时，才能使做出的圆柱形罐子体
积 V 最大.
通性通法
1. 利用导数解决实际问题中最值的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模
型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f （ x ）；
（2）求函数的导数f'（ x ），解方程f'（ x ）＝0；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者
为最大（小）值；
（4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并
下结论.
2. 几何中最值问题的求解思路
面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等几何问题，求解
时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再
按函数求最值的方法求解，最后检验.
【跟踪训练】
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其
高应为（　　）
解析： 　如图所示，设圆锥形漏斗底面半径为 r cm，高
为 h cm，则 h2＋ r2＝202，解得 r ＝ ，所以漏斗
容积 V ＝ π r2 h ＝ π·（400－ h2） h ＝ π·（400 h － h3）
（0＜ h ＜20）.所以 V '＝ π（400－3 h2），令 V '＝0，得h ＝ 或 h ＝－ （舍去）.当0＜ h ＜ 时， V '＞0， V 单调递增；当 ＜ h ＜20时， V '＜0， V 单调递减，所以当 h ＝ cm时， V 最大.故选D.
题型二 用料、费用最少问题
【例2】　现有一批货物由海上 A 地运往 B 地，已知该轮船的最大
航行速度为每小时30 n mile， A 地与 B 地之间的航行距离约为500
n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时
的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用
为每小时960元.
（1）把全程运输成本 y 表示为速度 x 的函数；
解： 依题意得 y ＝ （960＋0.6 x2）＝ ＋300 x ，函
数的定义域为（0，30]，即 y ＝ ＋300 x （0＜ x ≤30）.
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解： ∵ y ＝ ＋300 x （0＜ x ≤30），
∴y'＝－ ＋300.
令y'＝0，解得 x ＝40或 x ＝－40（舍去）.
∵函数的定义域为（0，30]，
当0＜ x ≤30时，y'＜0，
∴函数 y ＝ ＋300 x 在区间（0，30]内单调递减，
∴当 x ＝30时，函数 y ＝ ＋300 x 取得最小值，
∴为了使全程运输成本最小，轮船应以每小时30 n mile 的速度行驶.
通性通法
　　费用、用料最少问题是日常生活中常见的最值问题之一，解决这
类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函
数表达式，准确求导，结合实际作答.
【跟踪训练】
如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处，乙
厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的 B 处，乙厂到海岸
的垂足 D 与 A 相距50 km.两厂要在此岸边 A ， D 之间合建一个供水站
C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3 a 元和5 a 元，则
供水站 C 建在何处才能使水管费用最省？
解：设 C 点距 D 点 x km，则 AC ＝50－ x （km），
所以 BC ＝ ＝ （km）.
又设总的水管费用为 y 元，
依题意，得 y ＝3 a （50－ x ）＋5 a （0＜ x ＜50）.
y'＝－3 a ＋ .
令y'＝0，解得 x ＝30.
在 x ∈（0，50）上， y 只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函
数在 x ＝30 km处取得最小值，此时 AC ＝50－ x ＝20（km）.
故供水站建在 A ， D 之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
题型三 利润最大问题
【例3】　某商场从2024年1月份起的前 x 个月，顾客对某商品的需求
总量 p （ x ）（单位：件）与 x 的关系近似地满足 p （ x ）＝ x （ x ＋
1）（39－2 x ）（其中 x ∈N＋且 x ≤12），该商品第 x 月的进货单价 q
（ x ）（单位：元）与 x 的近似关系是 q （ x ）＝
（1）写出2024年第 x 月的需求量 f （ x ）（单位：件）与 x 的函数
关系式；
解： 当 x ＝1时， f （1）＝ p （1）＝37，
当2≤ x ≤12且 x ∈N＋时， f （ x ）＝ p （ x ）－ p （ x －1）＝ x
（ x ＋1）·（39－2 x ）－ （ x －1） x （41－2 x ）＝－3 x2＋40
x .
经验证 x ＝1也符合上式，故 f （ x ）＝－3 x2＋40 x （ x ∈N＋且
1≤ x ≤12）.
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市
场需求，试问该商场2024年第几个月销售该商品的月利润 g
（ x ）最大，最大月利润为多少元？
解： 该商场第 x 个月销售该商品的月利润为 g （ x ）＝
即 g （ x ）＝
当 x ∈N＋且1≤ x ≤6时，g'（ x ）＝18 x2－370 x ＋1 400.
令g'（ x ）＝0，解得 x ＝5或 x ＝ （舍去）.
∴当 x ∈N＋且1≤ x ≤6时， g （ x ）max＝ g （5）＝3 125.
当 x ∈N＋且7≤ x ≤12时， g （ x ）＝－480 x ＋6 400单调递减，
故 g （ x ）max＝ g （7）＝3 040.∵3 040＜3 125.
故该商场2024年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润
为3 125元.
通性通法
解决利润最大问题的思路及注意点
（1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收
入－成本”建立函数解析式，再利用导数求最大值；
（2）求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就
会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
【跟踪训练】
为积极响应“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位
同时销售 A ， B 两种小商品，当投资额为 x （ x ≥0）千元时，销售
A ， B 商品所获收益分别为 f （ x ）千元与 g （ x ）千元，其中 f （ x ）
＝ x ， g （ x ）＝5ln（ x ＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售
A ， B 两种小商品，为使总收益最大，则 A 商品需投入 千元.
1
解析：设投入销售 B 商品的资金为 x 千元（0≤ x ≤5），则投入销售 A
商品的资金为（5－ x ）千元，所获得的收益设为 S （ x ）千元，则 S
（ x ）＝（5－ x ）＋5ln（ x ＋1）＝5ln（ x ＋1）－ x ＋5（0≤ x
≤5），可得S'（ x ）＝ －1＝ ，当0≤ x ＜4时，可得S'（ x ）＞
0，函数 S （ x ）单调递增；当4＜ x ≤5时，可得S'（ x ）＜0，函数 S
（ x ）单调递减，所以当 x ＝4时，函数 S （ x ）取得最大值，最大值
为 S （4）＝5ln 5＋1，所以当投入销售 B 商品的资金为4千元，投入销
售 A 商品的资金为1千元时，此时总收益最大为1＋5ln 5千元.
1. 已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万
件）的函数关系式为 y ＝－ x3＋81 x －234，则使该生产厂家获取
最大年利润的年产量为 万件.
9　
解析：由 y ＝－ x3＋81 x －234得y'＝－ x2＋81，由－ x2＋81＝0得
x1＝－9（舍去）， x2＝9.当 x ∈（0，9）时，y'＞0，函数 y ＝－
x3＋81 x －234单调递增，当 x ∈（9，＋∞）时，y'＜0，函数 y ＝－
x3＋81 x －234单调递减，所以当 x ＝9时，函数有最大值.故使该
生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最
省，则水桶的底面半径为 .
解析：设圆柱形水桶的表面积为 S ，底面半径为 r （ r ＞0），
则水桶的高为 ，所以 S ＝π r2＋2π r × ＝π r2＋ （ r ＞
0）.求导得S'＝2π r － ，令S'＝0，解得 r ＝3.当0＜ r ＜3
时，S'＜0；当 r ＞3时，S'＞0.所以当 r ＝3时，圆柱形水桶的表
面积最小，即用料最省.
3
3. 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为60 cm 的
正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，
再沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图中的点 P ，正
好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点 E ， F 在边 AB 上，是被切去
的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设 AE ＝ FB ＝ x （cm）.
某厂商要求包装盒的容积 V （cm3）最大，试问 x 应取何值？并求
出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解：∵ V （ x ）＝（ x ）2×（60－2 x ）× ＝ x2×（60－2
x ）＝－2 x3＋60 x2（0＜ x ＜30）.
∴V'（ x ）＝－6 x2＋120 x ＝－6 x ·（ x －20）.
令V'（ x ）＝0，得 x ＝0（舍去）或 x ＝20.
∵当0＜ x ＜20时，V'（ x ）＞0；
当20＜ x ＜30时，V'（ x ）＜0.
∴ V （ x ）在 x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.
∴底面边长为 x ＝20 （cm），高为 （30－ x ）＝10
（cm），即高与底面边长的比值为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ，则当其表面积最小时底
面边长为（　　）
解析： 　设底面边长为 x ，则表面积 S ＝ x2＋ V （ x ＞0），
∴S'＝ （ x3－4 V ）.由S'＝0，得 x ＝ ，可判断当 x ＝
时， S 取得最小值.
2. 如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为（　　）
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解析： 　设圆柱的底面半径为 r ，高为 h ，体积为 V ，则4 r ＋2 h
＝ l ，∴ h ＝ ， V ＝π r2 h ＝ π r2 l －2π r3 .则V'＝ l π r
－6π r2，令V'＝0，得 r ＝0或 r ＝ ，而 r ＞0，∴ r ＝ 是其唯一的
极值点.∴ r ＝ 是其最值点.当0＜ r ＜ 时，V'＞0，当 ＜ r ＜
时，V'＜0，∴当 r ＝ 时， V 取得最大值，最大值为 π.
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3. 做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为
（　　）
A. 6 m B. 8 m
C. 4 m D. 2 m
解析： 　设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2 h ＝256，所以 h ＝
.所用材料的面积设为 S m2，则有 S ＝4 xh ＋ x2＝4 x · ＋ x2＝
＋ x2.S'＝2 x － ，令S'＝0，得 x ＝8，易判断 x ＝8是 S 的
最小值点，因此 h ＝ ＝4（m）.
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4. 某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产
品，成本增加100元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R （ x ）＝
则当总利润 P （ x ）最大时，每年
生产产品的单位数是（　　）
A. 150 B. 200
C. 250 D. 300
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解析： 　由题意得，总利润
P （ x ）＝
当0≤ x ≤390时，令 P '（ x ）＝0，得 x ＝300，可知当0≤ x ＜300
时， P （ x ）单调递增，当300＜ x ≤390时， P （ x ）单调递减，则
x ＝300时， P （ x ）取极大值， P （300）＝40 000，且 P （390）
＝31 090.又当 x ＞390时， P （ x ）＝50 090－100 x 单调递减，且 P
（ x ）＜50 090－100×390＝11 090，所以当每年生产300单位的产
品时，总利润最大，故选D.
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5. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的
平方成正比，比例系数为 k （ k ＞0）.已知贷款的利率为0.048 6，
且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为 x ， x ∈
（0，0.048 6），若使银行获得最大收益，则 x 的取值为（　　）
A. 0.016 2 B. 0.032 4
C. 0.024 3 D. 0.048 6
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解析： 　由题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得
的贷款利息是0.048 6 kx2，其中 x ∈（0，0.048 6）.所以银行的收
益是 y ＝0.048 6 kx2－ kx3（0＜ x ＜0.048 6），则y'＝0.097 2 kx －3
kx2（0＜ x ＜0.048 6）.令y'＝0，得 x ＝0.032 4或 x ＝0（舍去）.当
0＜ x ＜0.032 4时，y'＞0；当0.032 4＜ x ＜0.048 6时，y'＜0.所以
当 x ＝0.032 4时， y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行
获得最大收益.
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6. （多选）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方
体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为 x m，则（　　）
A. 长方体的体积 V （ x ）＝（6 x2－9 x3）m3
B. 长方体的最大体积 V ＝3 m3
C. 长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D. 长方体的体积最大时，高为1.5 m
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解析： 　若长方体的宽为 x m，则长为2 x m，高为 h ＝
＝ －3 x ，故长方体的体积为 V （ x ）＝2 x2 ＝
9 x2－6 x3 ，故A错误；从而V'（ x ）＝18 x －18 x2＝18 x
（1－ x ），令V'（ x ）＝0，解得 x ＝1或 x ＝0（舍去）.当0＜ x ＜1
时，V'（ x ）＞0；当1＜ x ＜ 时，V'（ x ）＜0，故在 x ＝1处 V
（ x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V （ x ）的最大值，从而
最大体积 V ＝ V （1）＝9×12－6×13＝3（m3），此时长为2 m，宽
为1 m，高为1.5 m，故B、C、D正确.
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7. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 x 吨，运费为4万元/
次，一年的总存储费为4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费用
之和最小，则 x ＝ 吨.
解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物，则 n ＝ ，∴总运费与
总存储费之和 f （ x ）＝4 n ＋4 x ＝ ＋4 x ，令f'（ x ）＝4－
＝0，解得 x ＝20， x ＝－20（舍去），可判断 x ＝20是函数 f （ x ）
的最小值点，故当 x ＝20时， f （ x ）最小.
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8. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y
（L）关于行驶速度 x （km/h）的函数关系式可以表示为 y ＝
x3－ x ＋8， x ∈（0，120]，且甲、乙两地相距100
km，则当汽车以 km/h的速度匀速行驶时，从甲地
到乙地的耗油量最少.
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解析：当速度为 x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，设从甲
地到乙地的耗油量为 s L，依题意得 s ＝ ·
＝ x2＋ － （0＜ x ≤120），则s'＝ － ＝ （0
＜ x ≤120）.令s'＝0，得 x ＝80，当 x ∈（0，80）时，s'＜0；当 x
∈（80，120]时，s'＞0，所以当 x ＝80时， s 取最小值.
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9. 某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料，若以每吨 M 元零
售，销量 N （单位：吨）与零售价 M （单位：元）有如下关系： N
＝8 300－170 M － M2，则该批材料零售价定为 元时利润最
大，利润的最大值为 元.
解析：设该商品的利润为 y 元，由题意知， y ＝ N （ M －20）＝－
M3－150 M2＋11 700 M －166 000，则y'＝－3 M2－300 M ＋11 700，
令y'＝0，得 M ＝30或 M ＝－130（舍去），当 M ∈（0，30）时，
y'＞0，当 M ∈（30，＋∞）时，y'＜0，因此当 M ＝30时， y 取得
极大值，也是最大值，且 ymax＝23 000.
30
23 000
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10. 某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是
母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆
锥的高 AO1为 x ，储粮仓的体积为 y .
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（圆周率用π表示）
解： ∵圆锥和圆柱的底面半径 r ＝ ，
0＜ x ＜2，
∴ y ＝π r2×2＋ π r2 x ＝2π（4－ x2）＋ π
（4－ x2） x .
即 y ＝－ π x3－2π x2＋ π x ＋8π（0＜ x ＜2）.
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（2）求 AO1为何值时，储粮仓的体积最大.
解： y'＝－π x2－4π x ＋ π，
令y'＝－π x2－4π x ＋ π＝－π ＝0（0＜ x ＜2），得 x ＝－2＋ .
当 x 变化时，y'， y 的变化情况如下表：
x
y' ＋ 0 －
y ↗ 极大值 ↘
故当 AO1＝－2＋ 时，储粮仓的体积最大.
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11. 某海上油田 A 到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足
为 B ，海岸线上距离 B 处100海里有一原油厂 C ，现计划在 BC 之
间建一石油管道中转站 M . 已知海上修建石油管道的单位长度费
用是陆地上的3倍，要使从油田 A 处到原油厂 C 修建管道的费用最
低，则中转站 M 到 B 处的距离应为（　　）
C. 5海里 D. 10海里
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解析： 　设 BM ＝ x （0＜ x ＜100），并设陆地上单位长度的费
用为1，则 AM ＝ ， MC ＝100－ x ，所以总费用为 f
（ x ）＝3 ＋100－ x ，则f'（ x ）＝ －1，令f'
（ x ）＞0，则 ＜ x ＜100，即 f （ x ）在 上单调递
增；令f'（ x ）＜0，则0＜ x ＜ ，即 f （ x ）在 上单调
递减，所以当 x ＝ 时， f （ x ）取得最小值.故选B.
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12. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是
10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元.销售额 y （单
位：万元）与莲藕种植量 x （单位：万千克）满足 y ＝－ x3＋ ax2
＋ x （ a 为常数），若种植3万千克，销售利润是 万元，则要使
销售利润最大，每年需种植莲藕（　　）
A. 6万千克 B. 8万千克
C. 7万千克 D. 9万千克
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解析： 　设当莲藕种植量为 x 万千克时，销售利润为 g （ x ）万
元，则 g （ x ）＝－ x3＋ ax2＋ x －2－ x ＝－ x3＋ ax2－2（0＜ x
≤10）.因为 g （3）＝－ ×33＋ a ×32－2＝ ，所以 a ＝2，则 g
（ x ）＝－ x3＋2 x2－2，求导得g'（ x ）＝－ x2＋4 x ＝－ x （ x
－8），当 x ∈（0，8）时，g'（ x ）＞0，当 x ∈（8，10）时，g'
（ x ）＜0，所以 g （ x ）在（0，8）上单调递增，在（8，10）上
单调递减，所以当 x ＝8时， g （ x ）取得最大值，故要使销售利
润最大，每年需种植莲藕8万千克.故选B.
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13. 某厂生产某种产品 x 件的总成本 C （ x ）＝1 200＋ x3，又产品单
价的平方与产品件数 x 成反比，销售100件这样的产品的单价为50
元，总利润最大时，产量应定为 件.
解析：设产品单价为 a 元，又产品单价的平方与产品件数 x 成反
比，即 a2 x ＝ k ，由题知 k ＝502×100＝250 000，所以 a ＝ .总
利润 y ＝500 － x3－1 200（ x ＞0），y'＝ － x2，由y'＝
0，得 x ＝25，当 x ∈（0，25）时，y'＞0，当 x ∈（25，＋∞）
时，y'＜0，所以 x ＝25时， y 取极大值且为最大值.
25
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14. 某个体户计划经销 A ， B 两种商品，据调查统计，当投资额为 x
（ x ≥0）万元时，在经销 A ， B 商品中所获得的收益分别为 f
（ x ）万元与 g （ x ）万元，其中 f （ x ）＝ a （ x －1）＋2， g
（ x ）＝6ln（ x ＋ b ）， a ＞0， b ＞0.已知投资额为0时收益为0.
（1）求 a ， b 的值；
解： 由投资额为0时收益为0，
可知 f （0）＝－ a ＋2＝0， g （0）＝6ln b ＝0，
解得 a ＝2， b ＝1.
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（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制
定一个资金投入方案，使他能获得最大收益.
解： 由（1）可得 f （ x ）＝2 x ， g （ x ）＝6ln（ x ＋1）.
设投入经销 B 商品的资金为 x （0≤ x ≤5）万元，
则投入经销 A 商品的资金为（5－ x ）万元.
设所获得的收益为 S （ x ）万元，则 S （ x ）＝2（5－ x ）＋
6ln（ x ＋1）＝6ln（ x ＋1）－2 x ＋10（0≤ x ≤5）.
S'（ x ）＝ －2，令S'（ x ）＝0，得 x ＝2.
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当0≤ x ＜2时，S'（ x ）＞0，函数 S （ x ）单调递增；
当2＜ x ≤5时，S'（ x ）＜0，函数 S （ x ）单调递减；
所以当 x ＝2时，函数 S （ x ）取得极大值，也是最大值， S
（ x ）max＝ S （2）＝6ln 3＋6.
当投入经销 A 商品3万元， B 商品2万元时，可获得最大收
益，收益的最大值为（6ln 3＋6）万元.
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15. 现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的
形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的体积最大
时，帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为（　　）
A. 1 m C. 2 m D. 3 m
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解析： 　设 OO1为 x m，则1＜ x ＜4，设底面正六边形的面积为 S
m2，帐篷的体积为 V m3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为
＝ （m），于是 S ＝6×
（ ）2＝ （8＋2 x － x2），所以 V ＝ × （8＋
2 x － x2）（ x －1）＋ ×（8＋2 x － x2）＝ （8＋2 x －
x2）·[（ x －1）＋3]＝ （16＋12 x － x3）（1＜ x ＜4），则 V '＝
（12－3 x2）.令 V '＝0，解得 x ＝2或 x ＝－2（舍去）.
当1＜ x ＜2时， V '＞0， V 单调递增；当2＜ x ＜4时， V '＜0， V 单调递
减.所以当 x ＝2时， V 最大.故选C.
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16. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所
示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行，OO'为铅垂线（O'
在 AB 上）.经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1
（米）与 D 到OO'的距离 a （米）之间满足关系式 h1＝ a2；右侧
曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2（米）与 F 到OO'的距离 b
（米）之间满足关系式 h2＝－ b3＋6 b .已知点 B 到OO'的距离
为40米.
（1）求桥 AB 的长度；
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解： 作 AA1， BB1， CD1， EF1
都与 MN 垂直， A1， B1， D1， F1是
相应垂足.
由条件知，当O'B＝40时，
BB1＝－ ×403＋6×40＝160，则
AA1＝160.
由 O'A2＝160，得O'A＝80.
所以 AB ＝O'A＋O'B＝80＋40＝120（米）.
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（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩 CD 和 EF ，且 CE 为
80米，其中 C ， E 在 AB 上（不包括端点）.桥墩 EF 每米造
价 k （万元），桥墩 CD 每米造价 k （万元）（ k ＞0），问
O'E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？
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解： 以 O 为原点，OO'为 y 轴建
立平面直角坐标系 xOy （如图所
示）.
设 F （ x ， y2）， x ∈（0，40），
则 y2＝－ x3＋6 x ，
EF ＝160－ y2＝160＋ x3－6 x .
因为 CE ＝80，
所以O'C＝80－ x .
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设 D （ x －80， y1），则 y1＝ （80
－ x ）2，
所以 CD ＝160－ y1＝160－ （80－
x ）2
＝－ x2＋4 x .
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记桥墩 CD 和 EF 的总造价为 f
（ x ），则 f （ x ）＝ k
＋ k
＝ k （0＜ x ＜40）.
f'（ x ）＝ k ＝ x
（ x －20），
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令f'（ x ）＝0，得 x ＝20.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变
化情况如下表：
x （0，20） 20 （20，40）
f'（ x ） － 0 ＋
f （ x ） ↘ 极小值 ↗
所以当 x ＝20时， f （ x ）取得最小值.
所以当O'E为20米时，桥墩 CD 和 EF 的总造价最低.
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