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培优课　
利用导数研究函数的零点
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数研究函数的零点个数
【例1】　给定函数 f （ x ）＝e x － x .
（1）判断函数 f （ x ）的单调性，并求出 f （ x ）的值域；
解： 函数 f （ x ）的定义域为R，
f'（ x ）＝e x －1，
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝0.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，＋∞）
f'（ x ） － 0 ＋
f （ x ） ↘ 1 ↗
所以 f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋
∞）上单调递增.
当 x ＝0时， f （ x ）的极小值 f （0）＝1，也是最小值，
故函数 f （ x ）的值域为[1，＋∞）.
（2）画出函数 f （ x ）的大致图象；
解： 由（1）可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点 f （－1）＝ ＋1，
f （2）＝e2－2， f （0）＝1，
当 x →＋∞时， f （ x ）→＋∞，f'（ x ）→＋∞；
当 x →－∞时，指数函数 y ＝e x 越来越小，趋向于0，
因此函数 f （ x ）图象上的点逐渐趋向于直线 y ＝－ x ，
根据上述信息，画出函数 f （ x ）的大致图象如图所示.
（3）求出方程 f （ x ）＝ m （ m ∈R）在区间[－1，2]上的根的个数.
解： 截取函数 f （ x ）在区间[－1，2]
上的图象，如图所示.
由图象知，当 f （0）＜ m ≤ f （－1），即当
m ∈（ 1， ＋1］时， f （ x ）与 y ＝ m 恰有
两个不同的交点，
即当 m ∈（ 1， ＋1］时，方程 f （ x ）＝ m
在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根；
同理，当 m ＝1或 ＋1＜ m ≤e2－2时，方程 f（ x ）＝ m 在区间[－1，2]上有唯一的实根；
当 m ＜1或 m ＞e2－2时，方程 f （ x ）＝ m 在
区间[－1，2]上无实根.
通性通法
判断函数零点的个数问题的思路
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数f'（ x ）及导数f'（ x ）的零点；
（3）用f'（ x ）的零点将函数 f （ x ）的定义域划分为若干个区间，列
表给出f'（ x ）在各个区间上的正负，并得出 f （ x ）的单调性与
极值；
（4）确定 f （ x ）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化
趋势；
（5）画出 f （ x ）的大致图象；
（6）由图象确定函数的零点个数.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ －1.
（1）求 f （ x ）的单调区间；
解： 函数的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝e1－ a .
f'（ x ）及 f （ x ）随 x 的变化情况如下表：
x （0，e1－ a ） e1－ a （e1－ a ，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） ↗ 极大值 ↘
所以 f （ x ）的单调递增区间为（0，e1－ a ），单调递减区间为
（e1－ a ，＋∞）.
（2）当 a ≤1时，求函数 f （ x ）在区间（0，e]上零点的个数.
解： 由（1）可知 f （ x ）的最大值为 f （e1－ a ）＝
，
①当 a ＝1时， f （ x ）在区间（0，1）上单调递增，在区间
（1，e）上单调递减.
又 f （1）＝0，故 f （ x ）在区间（0，e]上只有一个零点.
②当 a ＜1时，1－ a ＞0，e1－ a ＞1，
则 f （e1－ a ）＝ ＜0，所以 f （ x ）在区间（0，e]上无
零点.
综上，当 a ＝1时， f （ x ）在区间（0，e]上只有一个零点，
当 a ＜1时， f （ x ）在区间（0，e]上无零点.
题型二 由函数的零点个数求参数的范围
【例2】　若函数 f （ x ）＝ ax3－ bx ＋4，当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得
极值－ .
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解： 对 f （ x ）求导得f'（ x ）＝3 ax2－ b ，
由题意得
解得 a ＝ ， b ＝4（经检验满足题意）.
∴ f （ x ）＝ x3－4 x ＋4.
（2）若方程 f （ x ）＝ k 有3个不同的实数根，求实数 k 的取值范围.
解： 由（1）可得f'（ x ）＝ x2－4＝（ x
－2）（ x ＋2）.
令f'（ x ）＝0，得 x ＝2或 x ＝－2.
∴当 x ＜－2或 x ＞2时，f'（ x ）＞0；当－2＜ x
＜2时，f'（ x ）＜0.
因此，当 x ＝－2时， f （ x ）取得极大值 ，当 x ＝2时， f （ x ）取得极小值－ .∴函数 f （ x ）＝ x3－4 x ＋4的大致图象如图所示.
由图可知，实数 k 的取值范围是（ － ， ）.
通性通法
　　与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和
极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与 x 轴的位
置关系（或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题），确定参数
的取值范围.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝ x e x － ax － a ln x ＋ a ，若函数 f （ x ）有两个零
点，求实数 a 的取值范围.
解： f （ x ）＝ x e x － ax － a ln x ＋ a ＝ x e x － a （ln e x ＋ln x －1）＝ x
e x － a [ln（ x e x ）－1].
令 t ＝ x e x ， x ＞0，则t'＝（ x ＋1）e x ＞0，所以 t ＝ x e x 在（0，＋
∞）上单调递增，且 t ＞0， t 与 x 是一一对应的关系.
则函数 f （ x ）的零点的个数可转化为关于 t 的方程 t － a （ln t －1）
＝0的根的个数，即关于 t 的方程 ＝ 的根的个数.
令 g （ t ）＝ ，则g'（ t ）＝ .
令g'（ t ）＝0可得 t ＝e2，
当 t 在区间（0，＋∞）内变化时，g'（ t ）， g （ t ）随 t 的变化情
况如表：
t （0，e2） e2 （e2，＋∞）
g'（ t ） ＋ 0 －
g （ t ） ↗ ↘
又 g （e2）＝ ＞0， t →＋∞时， g （ t ）→0， t →0时， g （ t ）→
－∞，
所以要使 f （ x ）有两个零点，
则0＜ ＜ ，即 a ＞e2.
所以实数 a 的取值范围为（e2，＋∞）.
2. 设函数 f （ x ）＝ a2 x2＋ ax －3ln x ＋1，其中 a ＞0.
（1）讨论 f （ x ）的单调性；
解： 由题意， f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'
（ x ）＝2 a2 x ＋ a － ＝ ＝ ，
则当 x ＞ 时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增；当0＜ x
＜ 时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减.
故函数 f （ x ）在 上单调递减，在 上单
调递增.
（2）若 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围.
解： 由（1）知函数 f （ x ）的最小值为 f ，
要使 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴没有公共点，只需 f （ x ）的最
小值恒大于0，即 f ＞0恒成立，
故 a2· ＋ a · －3ln ＋1＞0，得 a ＞ ，
所以 a 的取值范围为 .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx 在 x ＝1处取得极大值4，则 a － b ＝
（　　）
A. 8 B. －8
C. 2 D. －2
解析： 　因为 f （ x ）＝ ax3＋ bx ，所以f'（ x ）＝3 ax2＋ b ，所以f'
（1）＝3 a ＋ b ＝0， f （1）＝ a ＋ b ＝4，解得 a ＝－2， b ＝6，经
检验，符合题意，所以 a － b ＝－8.故选B.
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2. 若函数 f （ x ）＝ x2－ a ln x － x －2 023（ a ∈R）在区间[1，＋∞）
上单调递增，则 a 的取值范围是（　　）
A. （－∞，1） B. （－∞，1]
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解析： 　f'（ x ）＝2 x － －1，因为 f （ x ）在区间[1，＋∞）上
单调递增，所以f'（ x ）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即2 x2－ x ≥ a
在[1，＋∞）上恒成立，因为二次函数 y ＝2 x2－ x 的图象的对称轴
为 x ＝ ，且开口向上，所以 y ＝2 x2－ x 在[1，＋∞）上的最小值
为1，所以 a ≤1.故选B.
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3. 若函数 f （ x ）＝ x ln x － ax ＋1恰有两个零点，则实数 a 的取值不可
能是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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解析： 　函数 f （ x ）＝ x ln x － ax ＋1有2个
零点等价于当 x ＞0时，直线 y ＝ a 与函数 g
（ x ）＝ln x ＋ 的图象有2个交点.由已知，得
g'（ x ）＝ .所以当 x ＞1时，g'（ x ）＞0，
当0＜ x ＜1时，g'（ x ）＜0，所以函数 g （ x ）
在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当 x ＝1时， g （ x ）取得最小值，为 g （1）＝1.作出函数 g （ x ）的大致图
象和直线 y ＝ a ，如图.若直线 y ＝ a 与曲线 g （ x ）有2个交点，则 a ＞1.故选A.
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4. 当 x ∈（ ，1）时，方程 xn ＋ xn－1＋…＋ x ＝1（ n ≥2， n ∈N）的
实根的个数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析： 　令 f （ x ）＝ xn ＋ xn－1＋…＋ x －1（ n ≥2， n ∈N），则
f （ ）＝ －1＝－（ ） n ＜0， f （1）＝ n －1＞0，
由函数零点存在定理可知 f （ x ）＝ xn ＋ xn－1＋…＋ x －1（ n ≥2，
n ∈N）在（ ，1）内至少有一个零点.又当 x ∈（ ，1）时，f'
（ x ）＝ nxn－1＋（ n －1） xn－2＋…＋1＞0（ n ≥2， n ∈N），故当
x ∈（ ，1）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增.因此当 x ∈（ ，
1）时，函数 f （ x ）有唯一的零点，即当 x ∈（ ，1）时，方程 xn
＋ xn－1＋…＋ x ＝1（ n ≥2， n ∈N）的实根的个数为1.
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5. 已知函数 f （ x ）＝e2 x ， g （ x ）＝ln x ＋ 的图象分别与直线 y ＝ b
交于 A ， B 两点，则｜ AB ｜的最小值为（　　）
A. 1
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解析： 　由题意， A （ ln b ， b ）， B （ ，
b ），其中 ＞ ln b ，且 b ＞0，所以｜ AB ｜
＝ － ln b ，令 h （ x ）＝ － ln x （ x ＞0），则h'（ x ）＝ － ＝0时，解得 x ＝ ，所以0＜ x ＜ 时，h'（ x ）＜0； x ＞ 时，h'（ x ）＞0，则 h （ x ）在（ 0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以当 x ＝ 时，｜ AB ｜min＝ ，故选C.
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6. 已知函数 f （ x ）＝若 y ＝ f （ x ）－ kx 恰有两个
零点，则 k 的取值范围为（　　）
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解析： 　 y ＝ f （ x ）－ kx 恰有两个零点，即 f （ x ）
－ kx ＝0恰有两个实数根，由于 x ≠0，所以 f （ x ）
－ kx ＝0恰有两个实数根等价于 ＝ k 恰有两个
实数根，令 g （ x ）＝ ，则 g （ x ）＝
当 x ＞0时， g （ x ）＝1－ ，g'（ x ）＝ ，故当 x ＞e时，g'（ x ）＞0，此时 g （ x ）单调递增，当0＜ x ＜e时，g'（ x ）＜0，此时 g （ x ）单调递减，故当 x ＝e时， g （ x ）取极小值也是最小值，且当 x ＞1时， ＞0，∴ g （ x ）＝1－ ＜1，当 x ＜0时， g （ x ）＝1＋ ＞1，且 g （ x ）单调递增，在直角坐标系中画出 g （ x ）的大致图象如图.要使 g （ x ）＝ k 有两个交点，则 k ∈（ 1－ ，1）∪（1，＋∞），故选D.
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7. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且满足f'（ x ）
－ f （ x ）＞0，则不等式e4 f （3 x －4）＞e2 xf （ x ）的解集为
（　　）
A. （2，＋∞） B. （e，＋∞）
C. （－∞，e） D. （－∞，2）
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解析： 　令 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ＞0，所
以 g （ x ）在R上是增函数，由e4 f （3 x －4）＞e2 xf （ x ），得
＞ ，即 g （3 x －4）＞ g （ x ），又 g （ x ）在R上
是增函数，所以3 x －4＞ x ，解得 x ＞2，即不等式e4 f （3 x －4）＞
e2 xf （ x ）的解集为（2，＋∞）.故选A.
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8. 已知函数 f （ x ）＝ g （ x ）＝ f （ x ）＋ f （－
x ），则函数 g （ x ）的零点个数为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 　当 x ＝0时， g （0）＝ f （0）＋ f （0）＝2 f （0）＝2，
所以 x ＝0不是函数 g （ x ）的零点，因为 g （ x ）＝ f （ x ）＋ f （－
x ），所以 g （－ x ）＝ f （－ x ）＋ f （ x ）＝ g （ x ），所以 g
（ x ）为偶函数，当 x ＞0时，－ x ＜0， g （ x ）＝ln x － x ＋1，g'
（ x ）＝ －1＝ ，令g'（ x ）＞0，得0＜ x ＜1，令g'（ x ）＜
0，得 x ＞1，所以 g （ x ）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）
上单调递减，所以 g （ x ）在 x ＝1时取得最大值 g （1）＝0，所以
当 x ＞0时， g （ x ）有唯一零点 x ＝1，又函数 g （ x ）为偶函数，
其图象关于 y 轴对称，所以 g （ x ）在 x ＜0时，还有一个零点 x ＝－
1，综上所述，函数 g （ x ）的零点个数为2.故选A.
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9. （多选）已知函数 f （ x ）（ x ∈[－3，5]）的导函数为f'（ x ），
若f'（ x ）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. f （ x ）在（－2，1）上单调递增
C. f （ x ）在 x ＝－2处取得极小值
D. f （ x ）在 x ＝1处取得极大值
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解析： 　当f'（ x ）＞0时， f （ x ）单调递增，由图可知 x ∈
（－2，1）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增，故A正确；当 x ∈
（ － ，1）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增；当 x ∈（ 1， ）
时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，故B错误；当 x ∈（－3，－
2）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减；当 x ∈（－2，1）时，f'
（ x ）＞0， f （ x ）单调递增，所以 f （ x ）在 x ＝－2处取得极小
值，故C正确；当 x ∈（－2，1）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递
增；当 x ∈（ 1， ）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，所以 f
（ x ）在 x ＝1处取得极大值，故D正确，故选A、C、D.
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10. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ，则下列说法正确的是（　　）
A. f （ x ）在 x ＝1处有最小值
B. 1是 f （ x ）的一个极值点
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解析： 　对A、B，f'（ x ）＝ ，则当 x ＜1时，f'（ x ）＞0，
f （ x ）单调递增；当 x ＞1时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，故
f （ x ）在 x ＝1处有唯一极大值，即最大值，B对，A错；对C、
D， f （ x ）max＝ f （1）＝ ，又 x →＋∞， f （ x ）→0， x ∈（－
∞，0）， f （ x ）＜ f （0）＝0.故当0＜ a ＜ 时， f （ x ）的图象
与 y ＝ a 有两个交点，即方程 f （ x ）＝ a 有两异根； 当 a ＞ 时， f
（ x ）的图象与 y ＝ a 无交点，即方程 f （ x ）＝ a 无根，C对，D
错.故选B、C.
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11. （多选）已知函数 f （ x ）＝（1－ x ）ln x － ax ， a ∈R，下列说法
正确的是（　　）
A. 若函数 f （ x ）有且只有1个零点 x0，则 x0＝1
B. 若函数 f （ x ）有两个零点，则 a ＞0
C. 若函数 f （ x ）有且只有1个零点 x0，则 a ＝1， x0＝1
D. 若函数 f （ x ）有两个零点，则 a ＜0
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解析： 　由 f （ x ）＝（1－ x ）ln x － ax ＝
0 a ＝ －ln x ，当 x ＞0时，令 g （ x ）＝
－ln x ，得g'（ x ）＝ ，当0＜ x ＜1
时，g'（ x ）＞0，函数 g （ x ）单调递增，当x ＞1时，g'（ x ）＜0，函数 g （ x ）单调递减，故 g （ x ）max＝ g （1）＝0，函数 g
（ x ）的图象如图所示：
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当 a ＞0时，直线 y ＝ a 与函数 g （ x ）的图象没有交点，所以函数 f （ x ）没有零点，当 a ＝0时，直线 y ＝ a 与函数 g （ x ）的图象只有一个交点，所以函数 f （ x ）只有一个零点，而 f （1）＝0，所以选项A正确，选项C不正确；当 a ＜0时，直线 y ＝ a 与函数 g （ x ）的图象只有两个交点，所以函数 f （ x ）有两个零点，所以选项B不正确，
选项D正确，故选A、D.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝若函数 g
（ x ）＝ f （ x ）－1恰有3个零点，则实数 m 的值可以为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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解析： 　令 g （ x ）＝ f （ x ）－1＝0，解得 f （ x ）＝1，故问
题转化为方程 f （ x ）＝1恰有3个实数根.当 x ＞0时，令 ＝1，解
得 x ＝ln 2，故当 x ≤0时，方程 f （ x ）＝1有2个实数根.令2 x3－
mx －3＝1，即2 x3－4＝ mx ，显然 x ＝0不是该方程的根，∴ m ＝2
x2－ .令φ（ x ）＝2 x2－ （ x ＜0），则φ'（ x ）＝4 x ＋ ＝
＝ ，故当 x ＜－1时，φ'（ x ）＜0，当
－1＜ x ＜0时，φ'（ x ）＞0，故当 x ＝－1时，φ（ x ）有极小值
6，而 x →－∞时，φ（ x ）→＋∞，当 x ＜0，且 x →0时，φ（ x ）
→＋∞，故实数 m 的取值范围为（6，＋∞）.故选C、D.
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13. 已知f'（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，写出一个同时具有下列性质
①②③的函数 f （ x ）＝
.
①定义域为R；②对任意 x ∈（0，＋∞），f'（ x ）＞0；③f'
（ x ）的图象关于原点中心对称.
解析：令 f （ x ）＝ x2，显然定义域为R，满足①，又f'（ x ）＝2
x ，当 x ∈（0，＋∞）时f'（ x ）＞0，满足②，且f'（ x ）＝2 x 为
奇函数，函数图象关于原点对称，满足③.
x2（答案不唯一，只要函数是定义域为
R的可导偶函数，在（0，＋∞）上单调递增均可）
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ x2＋（2 a －1） x ＋ a2－ a ＋1，若f'（ x ）
＝0在（0，2]上有解，则实数 a 的取值范围为 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ x3＋ x2＋（2 a －1） x ＋ a2－ a ＋1，则f'
（ x ）＝ x2＋2 x ＋（2 a －1），再由f'（ x ）＝0在（0，2]上有
解，f'（ x ）是二次函数，对称轴为直线 x ＝－1，可得f'（0）f'
（2）＜0，或f'（2）＝0，即（2 a －1）·（2 a ＋7）＜0，或2 a ＋7
＝0，解得－ ≤ a ＜ .
［－ ， ）
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解析：结合函数 y ＝2 x 与 y ＝ x2的图象知 f （ x ）在（－∞，0）上
有1个零点.当 x ∈（0，＋∞）时，由2 x － x2＝0得 x ＝2或 x ＝4，
所以函数 f （ x ）＝2 x － x2有3个零点.结合函数 y ＝ ax 与 y ＝ x2的图
象易得在（－∞，0）上 g （ x ）有1个零点，所以若函数 g （ x ）
＝ ax － x2（ a ＞1）恰有2个零点，则在（0，＋∞）上有且仅有1
个零点，即 ax － x2＝0在（0，＋∞）上有唯一根.
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ax － x2＝0 ax ＝ x2 x ln a ＝2ln x ln ＝ ，令 h （ x ）＝ ，h'
（ x ）＝ ，易得 h （ x ）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）
上单调递减，所以 h （ x ）max＝ h （e）＝ ，由题意得ln ＝ ，所
以 a ＝ .
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16. 函数 f （ x ）＝ e x 的单调递增区间为
；若 a ∈［－ ，0］，则函数 g （ x ）＝（ x －2）e x
－ a （ x ＋2）零点的取值范围是 .
（－∞，－2）和（－
2，＋∞）
[－1，2]
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解析：易知 f （ x ）的定义域为（－
∞，－2）∪（－2，＋∞）.f'（ x ）＝
（ ）'e x ＋ （e x ）'＝［
＋ ］e x ＝ e x .因为f'（ x ）
≥0在（－∞，－2）∪（－2，＋∞）上恒成立，所以 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－2）和（－2，＋∞）.
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法一（构造函数＋数形结合）　令 g （ x ）＝（ x －2）e x － a （ x ＋2）＝0，显然 x ＝－2不是 g （ x ）的零点，所以 x ＋2≠0，得 a ＝ e x ，所以函数 g （ x ）的零点即直线 y ＝ a 与 f （ x ）＝ e x 图象的交点的横坐标.当 x ＜－2时， f （ x ）＞0， f （2）＝0， f （0）＝－1，作函数 y ＝ a 与 f （ x ）的大致图象如图所示.因为 f （－1）＝－ ，所
以当 a ∈［－ ，0］时，函数 y ＝ a 与 f （ x ）图象的交点的横坐标范围是[－1，2]，故函数 g （ x ）零点的取值范围是[－1，2].
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法二　令 g （ x ）＝（ x －2）e x － a （ x ＋2）＝0，显然 x ＝－2不是 g
（ x ）的零点，所以 x ＋2≠0，得 a ＝ e x .问题转化为当 f （ x ）∈
［－ ，0］时，求 x 的取值范围.易知当 x ＜－2时， f （ x ）＞0.因为 f
（－1）＝－ ， f （2）＝0，且 f （ x ）在（－2，＋∞）上单调递
增，所以 x ∈[－1，2]，即当 a ∈［－ ，0］时，函数 g （ x ）零点的
取值范围是[－1，2].
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（1）判断函数 f （ x ）的单调性，并求出 f （ x ）的极值；
解： 函数 f （ x ）的定义域为R. f'（ x ）＝e x ＋（ x
－1）e x ＝ x e x ，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝0，
所以当 x ∈（－∞，0）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递
减；
当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增.
所以当 x ＝0时， f （ x ）取得极小值 f （0）＝－1， f
（ x ）没有极大值.
17. 已知函数 f （ x ）＝（ x －1）e x .
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（2）设 g （ x ）＝ f （ x ）－ a （ a ∈R），讨论函数 g （ x ）的零
点个数.
解： 根据题意，函数 g
（ x ）的零点问题转化为直线 y
＝ a 与函数 f （ x ）的图象的公
共点问题.
由（1）知，当 x ∈（－∞，0）时， f （ x ）单调递减；当 x
∈（0，＋∞）时， f （ x ）单调递增.当 x →－∞时， f （ x ）→0， x →＋∞时， f （ x ）→＋∞，所以 f （ x ）的大致图象如图所示.
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由图可知，①当 a ＝－1或 a ≥0时，直线 y ＝ a 与函数 f （ x ）
的图象有一个公共点，则函数 g （ x ）的零点个数为1.
②当－1＜ a ＜0时，直线 y ＝ a 与函数 f （ x ）的图象有两个公
共点，则函数 g （ x ）的零点个数为2.
③当 a ＜－1时，直线 y ＝ a 与函数 f （ x ）的图象没有公共
点，则函数 g （ x ）的零点个数为0.
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18. 已知 x ＝－1， x ＝2是函数 f （ x ）＝－ ＋ ax2＋ bx ＋1的两个极
值点.
（1）求 f （ x ）的解析式；
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解： 因为 f （ x ）＝－ ＋ ax2＋ bx ＋1，
所以f'（ x ）＝－ x2＋2 ax ＋ b ，
根据极值点定义，方程f'（ x ）＝0的两个
根即为 x1＝－1， x2＝2.
因为f'（ x ）＝－ x2＋2 ax ＋ b ，代入 x1＝
－1， x2＝2，可得解得
经验证符合题意，所以 f （ x ）＝－ x3＋ x2＋2 x ＋1.
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（2）记 g （ x ）＝ f （ x ）－ m ， x ∈[－2，4]，若函数 g （ x ）有
三个零点，求 m 的取值范围.
解： 由（1）得， g （ x ）＝－ x3＋ x2＋2 x ＋1－ m ，
x ∈[－2，4]，
根据题意，可得方程 m ＝－ x3＋ x2＋2 x ＋1在区间[－2，
4]内有三个实数根，
即函数 f （ x ）＝－ x3＋ x2＋2 x ＋1的图象与直线 y ＝ m 在
区间[－2，4]内有三个交点.
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f'（ x ）＝－ x2＋ x ＋2，则令f'（ x ）＞0，解得－1＜ x ＜2；令f'（ x ）＜0，解得 x ＞2或 x ＜－1，
所以函数 f （ x ）在（－2，－1），（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增.
又因为 f （－1）＝－ ， f （2）＝ ， f （－2）＝ ， f （4）＝－ ，所以函数 f （ x ）在[－2，4]内的图象如图所示，若使函数 f （ x ）＝－ x3＋ x2＋2 x ＋1的图象与直线 y ＝ m 在区间[－2，4]内有三个交点，则需使－ ＜ m ≤ ，即 m 的取值范围为（ － ， ］.
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谢 谢 观 看！培优课　利用导数研究函数的零点
1.已知函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处取得极大值4，则a－b＝（　　）
A.8　 B.－8
C.2 D.－2
2.若函数f（x）＝x2－aln x－x－2 023（a∈R）在区间[1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，1） B.（－∞，1]
C.（ －∞，－） D.（ －∞，－］
3.若函数f（x）＝xln x－ax＋1恰有两个零点，则实数a的取值不可能是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.当x∈（ ，1）时，方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n≥2，n∈N）的实根的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.已知函数f（x）＝e2x，g（x）＝ln x＋的图象分别与直线y＝b交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　）
A.1 B.
C. D.e－
6.已知函数f（x）＝若y＝f（x）－kx恰有两个零点，则k的取值范围为（　　）
A.（ 1－，1）
B.（ 1－，1］
C.（ 1－，＋∞）
D.（ 1－，1）∪（1，＋∞）
7.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）－f（x）＞0，则不等式e4f（3x－4）＞e2xf（x）的解集为（　　）
A.（2，＋∞） B.（e，＋∞）
C.（－∞，e） D.（－∞，2）
8.已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋f（－x），则函数g（x）的零点个数为（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
9.（多选）已知函数f（x）（x∈[－3，5]）的导函数为f'（x），若f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.f（x）在（－2，1）上单调递增
B.f（x）在（ －，）上单调递减
C.f（x）在x＝－2处取得极小值
D.f（x）在x＝1处取得极大值
10.（多选）已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（　　）
A.f（x）在x＝1处有最小值
B.1是f（x）的一个极值点
C.当0＜a＜时，方程f（x）＝a有两异根
D.当a＞时，方程f（x）＝a有一根
11.（多选）已知函数f（x）＝（1－x）ln x－ax，a∈R，下列说法正确的是（　　）
A.若函数f（x）有且只有1个零点x0，则x0＝1
B.若函数f（x）有两个零点，则a＞0
C.若函数f（x）有且只有1个零点x0，则a＝1，x0＝1
D.若函数f（x）有两个零点，则a＜0
12.（多选）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－1恰有3个零点，则实数m的值可以为（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
13.已知f'（x）是函数f（x）的导函数，写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝　　　　.
①定义域为R；②对任意x∈（0，＋∞），f'（x）＞0；③f'（x）的图象关于原点中心对称.
14.已知函数f（x）＝x3＋x2＋（2a－1）x＋a2－a＋1，若f'（x）＝0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围为　　　　.
15.函数f（x）＝2x－x2有　　　　个零点；若函数g（x）＝ax－x2（a＞1）恰有2个零点，则a＝　　　　.
16.函数f（x）＝ex的单调递增区间为　　　　；若a∈［－，0］，则函数g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）零点的取值范围是　　　　.
17.已知函数f（x）＝（x－1）ex.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）设g（x）＝f（x）－a（a∈R），讨论函数g（x）的零点个数.
18.已知x＝－1，x＝2是函数f（x）＝－＋ax2＋bx＋1的两个极值点.
（1）求f（x）的解析式；
（2）记g（x）＝f（x）－m，x∈[－2，4]，若函数g（x）有三个零点，求m的取值范围.
培优课　利用导数研究函数的零点
1.B　因为f（x）＝ax3＋bx，所以f'（x）＝3ax2＋b，所以f'（1）＝3a＋b＝0，f（1）＝a＋b＝4，解得a＝－2，b＝6，经检验，符合题意，所以a－b＝－8.故选B.
2.B　f'（x）＝2x－－1，因为f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即2x2－x≥a在[1，＋∞）上恒成立，因为二次函数y＝2x2－x的图象的对称轴为x＝，且开口向上，所以y＝2x2－x在[1，＋∞）上的最小值为1，所以a≤1.故选B.
3.A　函数f（x）＝xln x－ax＋1有2个零点等价于当x＞0时，直线y＝a与函数g（x）＝ln x＋的图象有2个交点.由已知，得g'（x）＝.所以当x＞1时，g'（x）＞0，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，g（x）取得最小值，为g（1）＝1.作出函数g（x）的大致图象和直线y＝a，如图.若直线y＝a与曲线g（x）有2个交点，则a＞1.故选A.
4.B　令f（x）＝xn＋xn－1＋…＋x－1（n≥2，n∈N），则f（ ）＝－1＝－（ ）n＜0，f（1）＝n－1＞0，由函数零点存在定理可知f（x）＝xn＋xn－1＋…＋x－1（n≥2，n∈N）在（ ，1）内至少有一个零点.又当x∈（ ，1）时，f'（x）＝nxn－1＋（n－1）xn－2＋…＋1＞0（n≥2，n∈N），故当x∈（ ，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.因此当x∈（ ，1）时，函数f（x）有唯一的零点，即当x∈（ ，1）时，方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n≥2，n∈N）的实根的个数为1.
5.C　由题意，A（ ln b，b），B（ ，b），其中＞ln b，且b＞0，所以｜AB｜＝－ln b，令h（x）＝－ln x（x＞0），则h'（x）＝－＝0时，解得x＝，所以0＜x＜时，h'（x）＜0；x＞时，h'（x）＞0，则h（x）在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以当x＝时，｜AB｜min＝，故选C.
6.D　y＝f（x）－kx恰有两个零点，即f（x）－kx＝0恰有两个实数根，由于x≠0，所以f（x）－kx＝0恰有两个实数根等价于＝k恰有两个实数根，令g（x）＝，
则g（x）＝当x＞0时，g（x）＝1－，g'（x）＝，故当x＞e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增，当0＜x＜e时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减，故当x＝e时，g（x）取极小值也是最小值，且当x＞1时，＞0，∴g（x）＝1－＜1，当x＜0时，g（x）＝1＋＞1，且g（x）单调递增，在直角坐标系中画出g（x）的大致图象如图.要使g（x）＝k有两个交点，则k∈（ 1－，1）∪（1，＋∞），故选D.
7.A　令g（x）＝，则g'（x）＝＞0，所以g（x）在R上是增函数，由e4f（3x－4）＞e2xf（x），得＞，即g（3x－4）＞g（x），又g（x）在R上是增函数，所以3x－4＞x，解得x＞2，即不等式e4f（3x－4）＞e2xf（x）的解集为（2，＋∞）.故选A.
8.A　当x＝0时，g（0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）＝2，所以x＝0不是函数g（x）的零点，因为g（x）＝f（x）＋f（－x），所以g（－x）＝f（－x）＋f（x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，当x＞0时，－x＜0，g（x）＝ln x－x＋1，g'（x）＝－1＝，令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以g（x）在x＝1时取得最大值g（1）＝0，所以当x＞0时，g（x）有唯一零点x＝1，又函数g（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以g（x）在x＜0时，还有一个零点x＝－1，综上所述，函数g（x）的零点个数为2.故选A.
9.ACD　当f'（x）＞0时，f（x）单调递增，由图可知x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故A正确；当x∈（ －，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ 1，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故B错误；当x∈（－3，－2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，故C正确；当x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ 1，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝1处取得极大值，故D正确，故选A、C、D.
10.BC　对A、B，f'（x）＝，则当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）在x＝1处有唯一极大值，即最大值，B对，A错；对C、D，f（x）max＝f（1）＝，又x→＋∞，f（x）→0，x∈（－∞，0），f（x）＜f（0）＝0.故当0＜a＜时，f（x）的图象与y＝a有两个交点，即方程f（x）＝a有两异根； 当a＞时，f（x）的图象与y＝a无交点，即方程f（x）＝a无根，C对，D错.故选B、C.
11.AD　由f（x）＝（1－x）ln x－ax＝0 a＝－ln x，当x＞0时，令g（x）＝－ln x，得g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，故g（x）max＝g（1）＝0，函数g（x）的图象如图所示：
当a＞0时，直线y＝a与函数g（x）的图象没有交点，所以函数f（x）没有零点，当a＝0时，直线y＝a与函数g（x）的图象只有一个交点，所以函数f（x）只有一个零点，而f（1）＝0，所以选项A正确，选项C不正确；当a＜0时，直线y＝a与函数g（x）的图象只有两个交点，所以函数f（x）有两个零点，所以选项B不正确，选项D正确，故选A、D.
12.CD　令g（x）＝f（x）－1＝0，解得f（x）＝1，故问题转化为方程f（x）＝1恰有3个实数根.当x＞0时，令＝1，解得x＝ln 2，故当x≤0时，方程f（x）＝1有2个实数根.令2x3－mx－3＝1，即2x3－4＝mx，显然x＝0不是该方程的根，∴m＝2x2－.令φ（x）＝2x2－（x＜0），则φ'（x）＝4x＋＝＝，故当x＜－1时，φ'（x）＜0，当－1＜x＜0时，φ'（x）＞0，故当x＝－1时，φ（x）有极小值6，而x→－∞时，φ（x）→＋∞，当x＜0，且x→0时，φ（x）→＋∞，故实数m的取值范围为（6，＋∞）.故选C、D.
13.x2（答案不唯一，只要函数是定义域为R的可导偶函数，在（0，＋∞）上单调递增均可）
解析：令f（x）＝x2，显然定义域为R，满足①，又f'（x）＝2x，当x∈（0，＋∞）时f'（x）＞0，满足②，且f'（x）＝2x为奇函数，函数图象关于原点对称，满足③.
14.［－，）　解析：∵函数f（x）＝x3＋x2＋（2a－1）x＋a2－a＋1，则f'（x）＝x2＋2x＋（2a－1），再由f'（x）＝0在（0，2]上有解，f'（x）是二次函数，对称轴为直线x＝－1，可得f'（0）f'（2）＜0，或f'（2）＝0，即（2a－1）（2a＋7）＜0，或2a＋7＝0，解得－≤a＜.
15.3　　解析：结合函数y＝2x与y＝x2的图象知f（x）在（－∞，0）上有1个零点.当x∈（0，＋∞）时，由2x－x2＝0得x＝2或x＝4，所以函数f（x）＝2x－x2有3个零点.结合函数y＝ax与y＝x2的图象易得在（－∞，0）上g（x）有1个零点，所以若函数g（x）＝ax－x2（a＞1）恰有2个零点，则在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，即ax－x2＝0在（0，＋∞）上有唯一根.ax－x2＝0 ax＝x2 xln a＝2ln x ln＝，令h（x）＝，h'（x）＝，易得h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，所以h（x）max＝h（e）＝，由题意得ln＝，所以a＝.
16.（－∞，－2）和（－2，＋∞）　[－1，2]
解析：易知f（x）的定义域为（－∞，－2）∪（－2，＋∞）.f'（x）＝（ ）'ex＋（ex）'＝［＋］ex＝ex.因为f'（x）≥0在（－∞，－2）∪（－2，＋∞）上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－2）和（－2，＋∞）.
法一（构造函数＋数形结合）　令g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）＝0，显然x＝－2不是g（x）的零点，所以x＋2≠0，得a＝ex，所以函数g（x）的零点即直线y＝a与f（x）＝ex图象的交点的横坐标.当x＜－2时，f（x）＞0，f（2）＝0，f（0）＝－1，作函数y＝a与f（x）的大致图象如图所示.因为f（－1）＝－，所以当a∈［－，0］时，函数y＝a与f（x）图象的交点的横坐标范围是[－1，2]，故函数g（x）零点的取值范围是[－1，2].
法二　令g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）＝0，显然x＝－2不是g（x）的零点，所以x＋2≠0，得a＝ex.问题转化为当f（x）∈［－，0］时，求x的取值范围.易知当x＜－2时，f（x）＞0.因为f（－1）＝－，f（2）＝0，且f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，所以x∈[－1，2]，即当a∈［－，0］时，函数g（x）零点的取值范围是[－1，2].
17.解：（1）函数f（x）的定义域为R.f'（x）＝ex＋（x－1）ex＝xex，令f'（x）＝0，解得x＝0，
所以当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
所以当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝－1，f（x）没有极大值.
（2）根据题意，函数g（x）的零点问题转化为直线y＝a与函数f（x）的图象的公共点问题.
由（1）知，当x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减；当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递增.
当x→－∞时，f（x）→0，x→＋∞时，f（x）→＋∞，
所以f（x）的大致图象如图所示.
由图可知，①当a＝－1或a≥0时，直线y＝a与函数f（x）的图象有一个公共点，则函数g（x）的零点个数为1.
②当－1＜a＜0时，直线y＝a与函数f（x）的图象有两个公共点，则函数g（x）的零点个数为2.
③当a＜－1时，直线y＝a与函数f（x）的图象没有公共点，则函数g（x）的零点个数为0.
18.解：（1）因为f（x）＝－＋ax2＋bx＋1，
所以f'（x）＝－x2＋2ax＋b，
根据极值点定义，方程f'（x）＝0的两个根即为x1＝－1，x2＝2.
因为f'（x）＝－x2＋2ax＋b，代入x1＝－1，x2＝2，可得解得
经验证符合题意，所以f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1.
（2）由（1）得，g（x）＝－x3＋x2＋2x＋1－m，x∈[－2，4]，
根据题意，可得方程m＝－x3＋x2＋2x＋1在区间[－2，4]内有三个实数根，
即函数f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1的图象与直线y＝m在区间[－2，4]内有三个交点.
f'（x）＝－x2＋x＋2，
则令f'（x）＞0，解得－1＜x＜2；令f'（x）＜0，解得x＞2或x＜－1，
所以函数f（x）在（－2，－1），（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增.
又因为f（－1）＝－，f（2）＝，f（－2）＝，f（4）＝－，
所以函数f（x）在[－2，4]内的图象如图所示，
若使函数f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1的图象与直线y＝m在区间[－2，4]内有三个交点，则需使－＜m≤，
即m的取值范围为（ －，］.
3 / 3培优课　利用导数研究函数的零点
题型一 利用导数研究函数的零点个数
【例1】　给定函数f（x）＝ex－x.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域；
（2）画出函数f（x）的大致图象；
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
（3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
判断函数零点的个数问题的思路
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数f'（x）及导数f'（x）的零点；
（3）用f'（x）的零点将函数f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各个区间上的正负，并得出f（x）的单调性与极值；
（4）确定f（x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f（x）的大致图象；
（6）由图象确定函数的零点个数.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝－1.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a≤1时，求函数f（x）在区间（0，e]上零点的个数.
题型二 由函数的零点个数求参数的范围
【例2】　若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）取得极值－.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题），确定参数的取值范围.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝xex－ax－aln x＋a，若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围.
2.设函数f（x）＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y＝f（x）的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
培优课　利用导数研究函数的零点
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－1，
令f'（x）＝0，解得x＝0.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ 1 ↗
所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增.
当x＝0时，f（x）的极小值f（0）＝1，也是最小值，
故函数f（x）的值域为[1，＋∞）.
（2）
由（1）可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点f（－1）＝＋1，
f（2）＝e2－2，f（0）＝1，
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞；
当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，
因此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，
根据上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示.
（3）截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象，如图所示.
由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（ 1，＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点，
即当m∈（ 1，＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根；
同理，当m＝1或＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根；
当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根.
跟踪训练
　解：（1）函数的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，令f'（x）＝0，得x＝e1－a.
f'（x）及f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，e1－a） e1－a （e1－a，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ 极大值 ↘
所以f（x）的单调递增区间为（0，e1－a），单调递减区间为（e1－a，＋∞）.
（2）由（1）可知f（x）的最大值为f（e1－a）＝，
①当a＝1时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，e）上单调递减.
又f（1）＝0，故f（x）在区间（0，e]上只有一个零点.
②当a＜1时，1－a＞0，e1－a＞1，
则f（e1－a）＝＜0，所以f（x）在区间（0，e]上无零点.
综上，当a＝1时，f（x）在区间（0，e]上只有一个零点，当a＜1时，f（x）在区间（0，e]上无零点.
【例2】　解：（1）对f（x）求导得f'（x）＝3ax2－b，
由题意得
解得a＝，b＝4（经检验满足题意）.
∴f（x）＝x3－4x＋4.
（2）由（1）可得f'（x）＝x2－4＝（x－2）（x＋2）.
令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2.
∴当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜2时，f'（x）＜0.
因此，当x＝－2时，f（x）取得极大值，
当x＝2时，f（x）取得极小值－.
∴函数f（x）＝x3－4x＋4的大致图象如图所示.
由图可知，实数k的取值范围是（ －，）.
跟踪训练
1.解：f（x）＝xex－ax－aln x＋a＝xex－a（ln ex＋ln x－1）＝xex－a[ln（xex）－1].
令t＝xex，x＞0，则t'＝（x＋1）ex＞0，所以t＝xex在（0，＋∞）上单调递增，且t＞0，t与x是一一对应的关系.
则函数f（x）的零点的个数可转化为关于t的方程t－a（ln t－1）＝0的根的个数，即关于t的方程＝的根的个数.
令g（t）＝，则g'（t）＝.令g'（t）＝0可得t＝e2，当t在区间（0，＋∞）内变化时，g'（t），g（t）随t的变化情况如表：
t （0，e2） e2 （e2，＋∞）
g'（t） ＋ 0 －
g（t） ↗ ↘
又g（e2）＝＞0，t→＋∞时，g（t）→0，t→0时，g（t）→－∞，
所以要使f（x）有两个零点，则0＜＜，即a＞e2.
所以实数a的取值范围为（e2，＋∞）.
2.解：（1）由题意，f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝2a2x＋a－＝＝，
则当x＞时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知函数f（x）的最小值为f，
要使y＝f（x）的图象与x轴没有公共点，只需f（x）的最小值恒大于0，即f＞0恒成立，
故a2·＋a·－3ln ＋1＞0，得a＞，
所以a的取值范围为.
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