资源简介

章末检测（二）　导数及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数f（x）＝f'（1）＋xln x，则f（e）＝（　　）
A.1＋e B.e
C.2＋e D.3
2.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（　　）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.（0，1） D.（1，2）
3.三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A.（－∞，0） B.（－∞，1）
C.（－∞，0] D.（－∞，1]
4.若函数f（x）＝（x＞1）有最大值－4，则实数a的值是（　　）
A.1 B.－1
C.4 D.－4
5.若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为（　　）
A.2πr2 B.πr2
C.4πr2 D.πr2
6.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（　　）
A.（0，1） B.（－1，0）∪（0，1）
C.（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
7.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是（　　）
A.a＜c＜b B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
8.方程－ln x－2＝0的根的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9.下列结论中正确的是（　　）
A.若y＝cos，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2
C.若y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x
10.对于函数f（x）＝excos x－x，x∈（0，π），下列结论正确的是（　　）
A.f'（x）在（0，π）上单调递减 B.f'（x）存在极小值
C.f（x）存在最大值 D.f（x）无最小值
11.已知函数f（x）＝xln x，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A.x2f（x1）＜x1f（x2）
B.x1＋f（x1）＜x2＋f（x2）
C.＜0
D.当ln x＞－1时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞2x2f（x1）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.函数f（x）＝的单调递增区间是　　　，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程是　　　　.
13.当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
14.设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有｜f（x）－g（x）｜≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.设函数f（x）＝ln x－x与g（x）＝x－2t在［，e］上是“密切函数”，则实数t的取值范围是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝.
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，－1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）＋e≥0.
16.（本小题满分15分）设函数f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立的实数a的值.
17.（本小题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）.
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ex－x2－x.
（1）若k＝0，求f（x）的最小值；
（2）若k＝1，讨论函数f（x）的单调性.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝x2－mln x，h（x）＝x2－x＋a.
（1）当a＝0时，f（x）≥h（x）在（1，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，若函数k（x）＝f（x）－h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
章末检测（二）　导数及其应用
1.A　2.B　3.A　4.B　5.A
6.C　不等式f（x）＞x可化为f（x）－x＞0，设g（x）＝f（x）－x，则g'（x）＝f'（x）－1，由题意g'（x）＝f'（x）－1＞0，∴函数g（x）在R上是增函数，又g（1）＝f（1）－1＝0，∴原不等式 g（x）＞0 g（x）＞g（1）.∴x＞1，故选C.
7.A　构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＞0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜π，∴f（e）＜f（3）＜f（π），即＜＜，故a＜c＜b.故选A.
8.C　令f（x）＝－ln x－2（x＞0），则f'（x）＝－＝，当x∈（0，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，且f（4）＝2－ln 4－2＜0，f（e6）＝e3－ln e6－2＝e3－8＞0，f（e－2）＝e－1－ln e－2－2＝＞0，结合函数零点存在定理可知函数在区间（0，4）上存在一个零点，在区间（4，＋∞）上也存在一个零点，故方程－ln x－2＝0的根的个数为2.故选C.
9.BC　对于A，y＝cos ，则y'＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故正确；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故错误.
10.AD　令g（x）＝f'（x）＝ex（cos x－sin x）－1，则g'（x）＝－2exsin x.因为当x∈（0，π）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，π）上单调递减，所以f'（x）不存在极值，所以f'（x）在（0，π）上单调递减，故A正确，B错误.易知对于任意的x∈（0，π）有g（x）＜g（0）＝0，即f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，π）上单调递减，故f（x）不存在最大值和最小值，故C错误，D正确.
11.AD　令g（x）＝＝ln x，易知g（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴当0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2），即＜，∴x2f（x1）＜x1f（x2），故A正确.令h（x）＝f（x）＋x＝xln x＋x，则h'（x）＝ln x＋2.∴当x∈（e－2，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）在（e－2，＋∞）上单调递增，当x∈（0，e－2）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，e－2）上单调递减.∴x1＋f（x1）与x2＋f（x2）无法比较大小，故B错误.∵f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，解得x＞，令f'（x）＜0，解得0＜x＜，故函数f（x）在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，故C错误.∵当x＞，即ln x＞－1时，f（x）单调递增，又由选项A知，x2f（x1）＜x1f（x2），∴x1f（x1）＋x2f（x2）－2x2f（x1）＞x1[f（x1）－f（x2）]＋x2[f（x2）－f（x1）]＝（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，故D正确.故选A、D.
12.（0，1）　y＝1　解析：f'（x）＝－（x＞0），令f'（x）＞0得0＜x＜1，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）.又f'（1）＝0，故f（x）在（1，1）处的切线方程为y＝1.
13.（2，＋∞）　解析：记f（x）＝x3－x2－x，所以f'（x）＝3x2－2x－1.令f'（x）＝0，得x＝－或x＝1.又因为f＝，f（2）＝2，f（－1）＝－1，f（1）＝－1，所以当x∈[－1，2]时，f（x）max＝2，所以m＞2.
14.［，1］　解析：因为函数f（x）＝ln x－x与g（x）＝x－2t在［，e］上是“密切函数”，所以对任意的x∈［，e］都有｜f（x）－g（x）｜≤1，即有｜ln x－x－x＋2t｜≤1，所以｜ln x－x＋2t｜≤1，所以－2t－1≤ln x－x≤1－2t.令h（x）＝ln x－x，x∈［，e］，h'（x）＝－1＝，所以当x∈（ ，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，e）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝－1，又h（ ）＝ln－＝－1－，h（e）＝ln e－e＝1－e，所以h（x）min＝1－e，所以－2t－1≤1－e且－1≤1－2t，所以≤t≤1，所以实数t的取值范围为［，1］.
15.解：（1）f'（x）＝，f'（0）＝2.
因此曲线y＝f（x）在（0，－1）处的切线方程是2x－y－1＝0.
（2）证明：当a≥1时，f（x）＋e≥（x2＋x－1＋ex＋1）e－x.
令g（x）＝x2＋x－1＋ex＋1，则g'（x）＝2x＋1＋ex＋1.
当x＜－1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞－1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（－1）＝0.因此f（x）＋e≥0.
16.解：（1）∵f（x）＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
∴f'（x）＝－2x＋a＝－，
由于a＞0，∴f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，＋∞）.
（2）由题意得，f（1）＝a－1≥e－1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要解得a＝e.
17.解：（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元.
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝（300－4r2），
从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）.
因为r＞0，又由h＞0可得0＜r＜5，
故函数V（r）的定义域为（0，5）.
（2）因为V（r）＝（300r－4r3），所以V'（r）＝（300－12r2）.
令V'（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（舍去）.
当r∈（0，5）时，V'（r）＞0，故V（r）在（0，5）上单调递增；
当r∈（5，5）时，V'（r）＜0，故V（r）在（5，5）上单调递减.
由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
18.解：（1）k＝0时，f（x）＝ex－x，f'（x）＝ex－1.
当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，
在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）的最小值为f（0）＝1.
（2）若k＝1，则f（x）＝ex－x2－x，定义域为R.
所以f'（x）＝ex－x－1，令g（x）＝ex－x－1，
则g'（x）＝ex－1，
由g'（x）＞0得x＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
由g'（x）＜0得x＜0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，
所以g（x）min＝g（0）＝0，即f'（x）min＝0，故f'（x）≥0.
所以f（x）在R上是增函数.
19.解：（1）当a＝0时，由f（x）≥h（x）在（1，＋∞）上恒成立，
得m≤在（1，＋∞）上恒成立，
令g（x）＝，则g'（x）＝，故g'（e）＝0，
当x∈（1，e）时，g'（x）＜0；
x∈（e，＋∞）时，g'（x）＞0.
故g（x）在（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增，
故当x＝e时，g（x）的最小值为g（e）＝e.
所以m≤e，所以实数m的取值范围为（－∞，e].
（2）当m＝2时，由已知可知k（x）＝x－2ln x－a，函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ（x）＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ'（x）＝1－＝，故φ'（2）＝0，
所以当x∈[1，2）时，φ'（x）＜0，所以φ（x）单调递减，
当x∈（2，3]时，φ'（x）＞0，所以φ（x）单调递增.
又φ（1）＝1，φ（3）＝3－2ln 3，φ（2）＝2－2ln 2，
且φ（1）＞φ（3）＞φ（2）＞0，
所以2－2ln 2＜a≤3－2ln 3.
所以实数a的取值范围为（2－2ln 2，3－2ln 3].
2 / 2(共37张PPT)
章末检测（二）　
导数及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数 f （ x ）＝f'（1）＋ x ln x ，则 f （e）＝（　　）
A. 1＋e B. e
C. 2＋e D. 3
解析： 　∵f'（ x ）＝ln x ＋1，∴f'（1）＝ln 1＋1＝1，则 f （ x ）
＝1＋ x ln x ，∴ f （e）＝1＋eln e＝1＋e.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 定义在R上的可导函数 f （ x ），已知 y ＝ef'（ x）的图象如图所示，
则 y ＝ f （ x ）的单调递增区间是（　　）
A. （－∞，1） B. （－∞，2）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： 　由题图知，f'（ x ）≥0的区间是（－∞，2），故函数 y
＝ f （ x ）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 三次函数 f （ x ）＝ mx3－ x 在（－∞，＋∞）上是减函数，则实数
m 的取值范围是（　　）
A. （－∞，0） B. （－∞，1）
C. （－∞，0] D. （－∞，1]
解析： 　依题意可得f'（ x ）＝3 mx2－1≤0，且 m ≠0，从而
m ＜0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 若函数 f （ x ）＝ （ x ＞1）有最大值－4，则实数 a 的值是
（　　）
A. 1 B. －1
C. 4 D. －4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　由函数 f （ x ）＝ （ x ＞1），则f'（ x ）＝
＝ ，要使得函数 f （ x ）有最大值－4，则 a
＜0，则当 x ∈（1，2）时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）在（1，2）
上单调递增，当 x ∈（2，＋∞）时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）在
（2，＋∞）上单调递减，所以当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得最大
值，即 f （ x ）max＝ f （2）＝ ＝－4，解得 a ＝－1，满足题意，
故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 若一球的半径为 r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为
（　　）
A. 2π r2 B. π r2
C. 4π r2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　设内接圆柱的底面半径为 r1，高为 t ，则侧面积 S ＝2π r1
t ＝2π r12 ＝4π r1 .∴ S ＝4π . 令（ r2
－ ）'＝0得 r1＝ r 或 r1＝－ r （舍去）或 r1＝0（舍去）.此时
S ＝4π· r · ＝4π· r · r ＝2π r2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 已知 y ＝ f （ x ）是定义在R上的函数，且 f （1）＝1，f'（ x ）＞1，
则 f （ x ）＞ x 的解集是（　　）
A. （0，1） B. （－1，0）∪（0，1）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析： 　不等式 f （ x ）＞ x 可化为 f （ x ）－ x ＞0，设 g （ x ）＝ f
（ x ）－ x ，则g'（ x ）＝f'（ x ）－1，由题意g'（ x ）＝f'（ x ）－1
＞0，∴函数 g （ x ）在R上是增函数，又 g （1）＝ f （1）－1＝0，
∴原不等式 g （ x ）＞0 g （ x ）＞ g （1）.∴ x ＞1，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 设 a ＝e， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 大小关系是（　　）
A. a ＜ c ＜ b B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
解析： 　构造函数 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ，当 x ＞e
时，f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜
π，∴ f （e）＜ f （3）＜ f （π），即 ＜ ＜ ，故 a ＜ c ＜ b .
故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 方程 －ln x －2＝0的根的个数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　令 f （ x ）＝ －ln x －2（ x ＞0），则f'（ x ）＝
－ ＝ ，当 x ∈（0，4）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减；
当 x ∈（4，＋∞）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增，且 f （4）
＝2－ln 4－2＜0， f （e6）＝e3－ln e6－2＝e3－8＞0， f （e－2）＝e
－1－ln e－2－2＝ ＞0，结合函数零点存在定理可知函数在区间
（0，4）上存在一个零点，在区间（4，＋∞）上也存在一个零
点，故方程 －ln x －2＝0的根的个数为2.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6
分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论中正确的是（　　）
B. 若 y ＝ sin x2，则y'＝2 x cos x2
C. 若 y ＝ cos 5 x ，则y'＝－5 sin 5 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　对于A， y ＝ cos ，则y'＝ sin ，故错误；对于B， y
＝ sin x2，则y'＝2 x cos x2，故正确；对于C， y ＝ cos 5 x ，则y'＝－5
sin 5 x ，故正确；对于D， y ＝ x sin 2 x ，则y'＝ sin 2 x ＋ x cos 2
x ，故错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 对于函数 f （ x ）＝e x cos x － x ， x ∈（0，π），下列结论正确的
是（　　）
A. f'（ x ）在（0，π）上单调递减
B. f'（ x ）存在极小值
C. f （ x ）存在最大值
D. f （ x ）无最小值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　令 g （ x ）＝f'（ x ）＝e x （ cos x － sin x ）－1，则g'
（ x ）＝－2e x sin x .因为当 x ∈（0，π）时，g'（ x ）＜0， g
（ x ）在（0，π）上单调递减，所以f'（ x ）不存在极值，所以f'
（ x ）在（0，π）上单调递减，故A正确，B错误.易知对于任意
的 x ∈（0，π）有 g （ x ）＜ g （0）＝0，即f'（ x ）＜0，所以函
数 f （ x ）在（0，π）上单调递减，故 f （ x ）不存在最大值和最小
值，故C错误，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 已知函数 f （ x ）＝ x ln x ，若0＜ x1＜ x2，则下列结论正确的是
（　　）
A. x2 f （ x1）＜ x1 f （ x2）
B. x1＋ f （ x1）＜ x2＋ f （ x2）
D. 当ln x ＞－1时， x1 f （ x1）＋ x2 f （ x2）＞2 x2 f （ x1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　令 g （ x ）＝ ＝ln x ，易知 g （ x ）在（0，＋
∞）上是增函数，∴当0＜ x1＜ x2时， g （ x1）＜ g （ x2），即
＜ ，∴ x2 f （ x1）＜ x1 f （ x2），故A正确.令 h
（ x ）＝ f （ x ）＋ x ＝ x ln x ＋ x ，则h'（ x ）＝ln x ＋2.∴当 x ∈（e
－2，＋∞）时，h'（ x ）＞0， h （ x ）在（e－2，＋∞）上单调递
增，当 x ∈（0，e－2）时，h'（ x ）＜0， h （ x ）在（0，e－2）上
单调递减.∴ x1＋ f （ x1）与 x2＋ f （ x2）无法比较大小，故B错
误.∵ f （ x ）＝ x ln x ，∴f'（ x ）＝ln x ＋1，令f'（ x ）＞0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解得 x ＞ ，令f'（ x ）＜0，解得0＜ x ＜ ，故函数 f （ x ）在（ 0， ）
上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，故C错误.∵当 x ＞ ，即ln
x ＞－1时， f （ x ）单调递增，又由选项A知， x2 f （ x1）＜ x1 f （ x2），
∴ x1 f （ x1）＋ x2 f （ x2）－2 x2 f （ x1）＞ x1[ f （ x1）－ f （ x2）]＋ x2[ f
（ x2）－ f （ x1）]＝（ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0，故D正确.故
选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 函数 f （ x ）＝ 的单调递增区间是 ，曲线 f
（ x ）在点（1，1）处的切线方程是 .
解析：f'（ x ）＝－ （ x ＞0），令f'（ x ）＞0得0＜ x ＜1，故函
数 f （ x ）的单调递增区间是（0，1）.又f'（1）＝0，故 f （ x ）在
（1，1）处的切线方程为 y ＝1.
（0，1）
y ＝1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 当 x ∈[－1，2]时， x3－ x2－ x ＜ m 恒成立，则实数 m 的取值范围
是 .
解析：记 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ，所以f'（ x ）＝3 x2－2 x －1.令f'
（ x ）＝0，得 x ＝－ 或 x ＝1.又因为 f ＝ ， f （2）＝2， f
（－1）＝－1， f （1）＝－1，所以当 x ∈[－1，2]时， f （ x ）
max＝2，所以 m ＞2.
（2，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. 设函数 f （ x ）与 g （ x ）是定义在同一区间[ a ， b ]上的两个函
数，若对任意的 x ∈[ a ， b ]，都有｜ f （ x ）－ g （ x ）｜≤1，则
称 f （ x ）与 g （ x ）在[ a ， b ]上是“密切函数”，区间[ a ， b ]
称为“密切区间”.设函数 f （ x ）＝ln x － x 与 g （ x ）＝ x －2 t
在［ ，e］上是“密切函数”，则实数 t 的取值范围是 　［ ，
.
［ ，
1］
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：因为函数 f （ x ）＝ln x － x 与 g （ x ）＝ x －2 t 在［ ，
e］上是“密切函数”，所以对任意的 x ∈［ ，e］都有｜ f （ x ）
－ g （ x ）｜≤1，即有｜ln x － x － x ＋2 t ｜≤1，所以｜ln x － x
＋2 t ｜≤1，所以－2 t －1≤ln x － x ≤1－2 t .令 h （ x ）＝ln x －
x ， x ∈［ ，e］，h'（ x ）＝ －1＝ ，所以当 x ∈（ ，1）
时，h'（ x ）＞0， h （ x ）单调递增，当 x ∈（1，e）时，h'（ x ）
＜0， h （ x ）单调递减，所以 h （ x ）max＝ h （1）＝－1，又 h
（ ）＝ln － ＝－1－ ， h （e）＝ln e－e＝1－e，所以 h （ x ）
min＝1－e，所以－2 t －1≤1－e且－1≤1－2 t ，所以 ≤ t ≤1，
所以实数 t 的取值范围为［ ，1］.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ .
（1）求曲线 y ＝ f （ x ）在点（0，－1）处的切线方程；
解： f'（ x ）＝ ，
f'（0）＝2.
因此曲线 y ＝ f （ x ）在（0，－1）处的切线方程是
2 x － y －1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）证明：当 a ≥1时， f （ x ）＋e≥0.
解： 证明：当 a ≥1时， f （ x ）＋e≥（ x2＋ x －1＋e x＋
1）e－ x .
令 g （ x ）＝ x2＋ x －1＋e x＋1，则g'（ x ）＝2 x ＋1＋e x＋1.
当 x ＜－1时，g'（ x ）＜0， g （ x ）单调递减；
当 x ＞－1时，g'（ x ）＞0， g （ x ）单调递增，
所以 g （ x ）≥ g （－1）＝0.
因此 f （ x ）＋e≥0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小题满分15分）设函数 f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax （ a ＞0）.
（1）求 f （ x ）的单调区间；
解： ∵ f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax ，其中 x ＞0，
∴f'（ x ）＝ －2 x ＋ a ＝－ ，
由于 a ＞0，∴ f （ x ）的单调递增区间为（0， a ），单调递
减区间为（ a ，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）求使e－1≤ f （ x ）≤e2对 x ∈[1，e]恒成立的实数 a 的值.
解： 由题意得， f （1）＝ a －1≥e－1，即 a ≥e，
由（1）知 f （ x ）在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤ f （ x ）≤e2对 x ∈[1，e]恒成立，
只要
解得 a ＝e.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不
计厚度）.设该蓄水池的底面半径为 r m，高为 h m，体积为 V m3.
假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底
面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元
（π为圆周率）.
（1）将 V 表示成 r 的函数 V （ r ），并求该函数的定义域；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 因为蓄水池侧面的总成本为100·2π rh ＝200π rh
（元），底面的总成本为160π r2元，所以蓄水池的总成本为
（200π rh ＋160π r2）元.
又根据题意200π rh ＋160π r2＝12 000π，
所以 h ＝ （300－4 r2），
从而 V （ r ）＝π r2 h ＝ （300 r －4 r3）.
因为 r ＞0，又由 h ＞0可得0＜ r ＜5 ，
故函数 V （ r ）的定义域为（0，5 ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）讨论函数 V （ r ）的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池
的体积最大.
解： 因为 V （ r ）＝ （300 r －4 r3），
所以V'（ r ）＝ （300－12 r2）.
令V'（ r ）＝0，解得 r1＝5， r2＝－5（舍去）.
当 r ∈（0，5）时，V'（ r ）＞0，故 V （ r ）在（0，5）上
单调递增；
当 r ∈（5，5 ）时，V'（ r ）＜0，故 V （ r ）在（5，5
）上单调递减.
由此可知， V （ r ）在 r ＝5处取得最大值，此时 h ＝8.
即当 r ＝5， h ＝8时，该蓄水池的体积最大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）设函数 f （ x ）＝e x － x2－ x .
（1）若 k ＝0，求 f （ x ）的最小值；
解： k ＝0时， f （ x ）＝e x － x ，f'（ x ）＝e x －1.
当 x ∈（－∞，0）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0，
所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减，
在（0，＋∞）上单调递增，
故 f （ x ）的最小值为 f （0）＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若 k ＝1，讨论函数 f （ x ）的单调性.
解： 若 k ＝1，则 f （ x ）＝e x － x2－ x ，定义域为R.
所以f'（ x ）＝e x － x －1，令 g （ x ）＝e x － x －1，
则g'（ x ）＝e x －1，
由g'（ x ）＞0得 x ＞0，所以 g （ x ）在（0，＋∞）上单
调递增，
由g'（ x ）＜0得 x ＜0，所以 g （ x ）在（－∞，0）上单
调递减，
所以 g （ x ）min＝ g （0）＝0，即f'（ x ）min＝0，
故f'（ x ）≥0.所以 f （ x ）在R上是增函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ x2－ m ln x ， h （ x ）＝ x2
－ x ＋ a .
（1）当 a ＝0时， f （ x ）≥ h （ x ）在（1，＋∞）上恒成立，求
实数 m 的取值范围；
解： 当 a ＝0时，由 f （ x ）≥ h （ x ）在（1，＋
∞）上恒成立，得 m ≤ 在（1，＋∞）上恒成立，
令 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ，故g'（e）＝0，
当 x ∈（1，e）时，g'（ x ）＜0；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
x ∈（e，＋∞）时，g'（ x ）＞0.
故 g （ x ）在（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单
调递增，
故当 x ＝e时， g （ x ）的最小值为 g （e）＝e.
所以 m ≤e，所以实数 m 的取值范围为（－∞，e].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）当 m ＝2时，若函数 k （ x ）＝ f （ x ）－ h （ x ）在区间[1，
3]上恰有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围.
解：当 m ＝2时，由已知可知 k （ x ）＝ x －2ln x － a ，
函数 k （ x ）在[1，3]上恰有两个不同零点，相当于函数
φ（ x ）＝ x －2ln x 与直线 y ＝ a 有两个不同的交点，
φ'（ x ）＝1－ ＝ ，故φ'（2）＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
所以当 x ∈[1，2）时，φ'（ x ）＜0，所以φ（ x ）单调
递减，
当 x ∈（2，3]时，φ'（ x ）＞0，所以φ（ x ）单调递增.
又φ（1）＝1，φ（3）＝3－2ln 3，φ（2）＝2－2ln 2，
且φ（1）＞φ（3）＞φ（2）＞0，
所以2－2ln 2＜ a ≤3－2ln 3.
所以实数 a 的取值范围为（2－2ln 2，3－2ln 3].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑