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模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在等差数列{an}中，a4＝2，a8＝14，则a15＝（　　）
A.32　 B.－32
C.35 D.－35
2.已知函数f（x）＝aln x＋2，f'（e）＝2，则a的值为（　　）
A.－1 B.1
C.2e D.e2
3.ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B，C三组纸张尺寸.设型号为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的纸张的面积分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，B6的纸张的面积分别是b1，b2，b3，b4，b5，b6，已知＝ai－1ai（i＝1，2，3，4，5，6），则的值为（　　）
A. B.
C. D.2
4.函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为（　　）
A.1，－3 B.1，3
C.－1，3 D.－1，－3
5.已知等差数列{an}的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（　　）
A.3 B.6
C.9 D.12
6.若函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A.（3，＋∞） B.[－3，＋∞）
C.（－3，＋∞） D.（－∞，－3）
7.已知函数f（n）＝n2cos（nπ），且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（　　）
A.0 B.－100
C.100 D.10 200
8.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），且f（x＋2）为偶函数，f（4）＝6，则不等式f（x）＜5ex＋1的解集是（　　）
A.（0，＋∞） B.（－∞，－1）
C.（－∞，0） D.（1，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1（2－an）＝2（an≠2），则（　　）
A.a3＝ B.{an}是周期数列且周期为4
C.S4＝ D.S21＝
10.函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f'（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（　　）
A.在（1，2）上函数f（x）单调递增
B.在（3，4）上函数f（x）单调递减
C.在（1，3）上函数f（x）有极大值
D.x＝3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点
11.已知f（x）＝ex·x3，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）在R上是增函数 B.f（log52）＜f＜f（ln π）
C.方程f（x）＝－1有实数根 D.存在实数k，使得方程f（x）＝kx有3个实数根
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列{an}的通项公式：an＝　　　　 　.
13.若曲线y＝在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝　　　.
14.已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列，则{an}的公比为　　　　；设Sn＝＋＋…＋，则Sn的表达式为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）.
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，　　　.是否存在正整数k，使得Sk＞2 023？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.
从①q＝2；②q＝；③q＝－2，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－ln x－2.
（1）判断函数的单调性；
（2）若对于任意的x∈（1，＋∞），都有xln x＋x＞k（x－1），求整数k的最大值.
18.（本小题满分17分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1（n∈N＋）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an·log3a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
19.（本小题满分17分）设函数f（x）＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f（x）的极值点；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈（1，＋∞）时，f（x）≥k（x－1）恒成立，求实数k的取值范围.
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1.C　2.C　3.C　4.A　5.C　
6.B　因为f（x）＝x3＋ax－2，所以f'（x）＝3x2＋a，因为函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）＝3x2＋a≥0在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，又x∈[1，＋∞）时，（－3x2）max＝－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞）.
7.B　f（n）＝n2cos（nπ）＝＝（－1）n·n2.由an＝f（n）＋f（n＋1）＝（－1）n·n2＋（－1）n＋1·（n＋1）2＝（－1）n[n2－（n＋1）2]＝（－1）n＋1·（2n＋1），得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋（－5）＋7＋（－9）＋…＋199＋（－201）＝－2×50＝－100.故选B.
8.A　∵y＝f（x＋2）为偶函数，∴y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝0对称，∴y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（4）＝f（0），又∵f（4）＝6，∴f（0）＝6，设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），∴f'（x）－f（x）＋1≤0，即g'（x）≤0且不恒等于零，∴y＝g（x）在定义域R上是减函数，∵f（x）＜5ex＋1等价于g（x）＜5.又∵g（0）＝＝＝5，∴不等式f（x）＜ex＋1的解集等于g（x）＜g（0）的解集，又∵g（x）在R上是减函数，∴x＞0，∴f（x）＜ex＋1的解集为（0，＋∞）.
9.BCD　由an＋1（2－an）＝2（an≠2）可得an＋1＝，所以a2＝＝－4，a3＝＝，A错；a4＝＝，a5＝＝＝a1，所以数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝，C正确；S21＝5×＋＝，D正确.
10.ABC　由题图可知，当1＜x＜2时，f'（x）＞0，当2＜x＜4时，f'（x）＜0，当4＜x＜5时，f'（x）＞0，∴x＝2是函数f（x）的极大值点，x＝4是函数f（x）的极小值点，故A、B、C正确，D错误.
11.BCD　f（x）＝ex·x3，∴f'（x）＝ex（x3＋3x2）.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－3.当x＜－3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－3时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，A错误.又0＜log52＜＜＜1＜ln π，∴f（log52）＜f＜f（ln π），B正确.∵f（0）＝0，f（－3）＝e－3·（－3）3＝－＜－1，∴f（x）＝－1有实数根，C正确.设f（x）＝kx，显然x＝0是方程的根，当x≠0时，k＝＝ex·x2，设g（x）＝ex·x2，则g'（x）＝x（x＋2）ex，令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2.当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－2） －2 （－2，0） 0 （0，＋∞）
g'（x） ＋ 0 － 0 ＋
g（x） ↗ ↘ 0 ↗
画出y＝g（x）的大致图象，如图，
∴当0＜k＜时，g（x）＝k有3个实数根，此时f（x）＝kx有4个实根，当k＝时，g（x）＝k有2个实根，此时f（x）＝kx有3个实根，∴D正确.故选B、C、D.
12.2n－4（答案不唯一）　解析：前3项之和小于第3项，则a1＋a2＜0 2a1＋2＜0 a1＜－1，设a1＝－2，d＝2，则an＝2n－4.
13.64　解析：因为y'＝－，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝－（x－a），令x＝0得y＝，令y＝0得x＝3a，所以三角形的面积S＝··3a＝18，解得a＝64.
14.　Sn＝2n＋2－4　解析：∵ 等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，∴a3a5a7＝512，则＝512，∴a5＝8.由题意得a3－1＋a7－9＝2（a5－3），即a3＋a7＝20，∴a5q－2＋a5q2＝20，∴q－2＋q2＝，∵等比数列{an}递增，则q＝，∴an＝a5qn－5＝8×（）n－5＝（）n＋1，∴＝2n＋1，∴Sn＝＋＋…＋＝＝2n＋2－4.
15.解：（1）f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.
由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
（2）∵曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.
16.解：设数列{an}的首项为a1.
选择①：当q＝2时，由a3＝12得，a1＝＝3.
∴Sn＝＝＝3×2n－3，则Sk＝3×2k－3.
由Sk＞2 023得，3×2k－3＞2 023，即2k＞≈675.3.
∵29＝512，210＝1 024，k∈N＋，∴kmin＝10.
∴当a3＝12，q＝2时，存在最小正整数k＝10，使得Sk＞2 023.
选择②：当q＝时，由a3＝12得，a1＝＝48，
∴Sn＝＝＝96－96×，
则Sk＝96－96×.
由Sk＞2 023得，96－96×＞2 023，
即＜－，不等式无解，则k不存在.
∴当a3＝12，q＝时，不存在最小正整数k，使得Sk＞2 023.
选择③：当q＝－2时，由a3＝12得，a1＝＝3，
∴Sn＝＝＝1－（－2）n，
则Sk＝1－（－2）k.
由Sk＞2 023得，1－（－2）k＞2 023，即（－2）k＜－2 022.
当k为偶数时，2k＜－2 022，无解.
当k为奇数时，－2k＜－2 022，即2k＞2 022.
又∵k∈N＋，∴kmin＝11，
∴当a3＝12，q＝－2时，存在最小正整数k＝11，使得Sk＞2 023.
17.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝1－＝，
令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1，
所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
（2） x∈（1，＋∞），xln x＋x＞k（x－1） k＜，
令g（x）＝，x＞1，则g'（x）＝，
由（1）知，f（x）＝x－ln x－2在（1，＋∞）上单调递增，且f（3）＝1－ln 3＜0，f（4）＝2－ln 4＞0，
则f（x）在区间（3，4）内存在唯一的零点x0，使f（x0）＝x0－ln x0－2＝0，即ln x0＝x0－2，
则当x∈（1，x0）时，f（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）在（x0，＋∞）上单调递增，
于是得g（x）min＝g（x0）＝＝＝x0∈（3，4），因此k＜g（x）min＝x0∈（3，4），
所以整数k的最大值为3.
18.解：（1）∵数列{an}满足2Sn＝an＋1，　①
∴2Sn－1＝an（n≥2），　②
①－②，得2an＝an＋1－an，
即（an＋1－3an）＝0（n≥2），可得an＋1＝3an（n≥2），
由a1＝1，2a1＝2S1＝a2，解得a2＝3，∴a2＝3a1，
∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n－1.
（2）由（1）知an＝3n－1，则bn＝an·log3a2n＝3n－1·log332n－1＝（2n－1）·3n－1，
则Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1，　③
3Tn＝1×31＋3×32＋…＋（2n－3）×3n－1＋（2n－1）×3n，　④
③－④，得－2Tn＝1＋2×（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）×3n＝1＋2×－（2n－1）×3n＝－2＋（2－2n）×3n，
∴Tn＝（n－1）×3n＋1.
19.解：（1）f'（x）＝3（x2－2），令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝.
当x∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，f'（x）＞0，
当x∈（－，）时，f'（x）＜0，
因此x1＝－，x2＝分别为f（x）的极大值点、极小值点.
（2）由（1）可知y＝f（x）图象的大致形状及走向如图所示.
要使直线y＝a与y＝f（x）的图象有3个不同交点，需5－4＝f（）＜a＜f（－）＝5＋4.
则方程f（x）＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为（5－4，5＋4）.
（3）法一　f（x）≥k（x－1），即（x－1）（x2＋x－5）≥k（x－1），
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在（1，＋∞）上恒成立，
令g（x）＝x2＋x－5，
由二次函数的性质得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝－3，
所以所求k的取值范围为（－∞，－3].
法二　直线y＝k（x－1）过定点（1，0）且f（1）＝0，
曲线f（x）在点（1，0）处切线斜率f'（1）＝－3，
由（2）中图知要使x∈（1，＋∞）时，f（x）≥k（x－1）恒成立需k≤－3.
故实数k的取值范围为（－∞，－3].
3 / 3(共40张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在等差数列{ an }中， a4＝2， a8＝14，则 a15＝（　　）
A. 32 B. －32
C. 35 D. －35
解析： 　∵{ an }是等差数列，∴ d ＝ ＝3，∴ a15＝ a4＋11 d
＝2＋11×3＝35.
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2. 已知函数 f （ x ）＝ a ln x ＋2，f'（e）＝2，则 a 的值为（　　）
A. －1 B. 1
C. 2e D. e2
解析： 　由 f （ x ）＝ a ln x ＋2得，f'（ x ）＝ ，∴f'（e）＝ ＝
2，解得 a ＝2e.故选C.
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3. ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定
义了A，B，C三组纸张尺寸.设型号为A0，A1，A2，A3，A4，
A5，A6的纸张的面积分别为 a0， a1， a2， a3， a4， a5， a6，它们
组成一个公比为 的等比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，
B6的纸张的面积分别是 b1， b2， b3， b4， b5， b6，已知 ＝ ai－1 ai
（ i ＝1，2，3，4，5，6），则 的值为（　　）
D. 2
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解析： 　∵ a5＝ a4× ， ＝ a4· a5，∴ ＝ a4· a4× ，又 a4＞
0， b5＞0，∴ ＝ ，故选C.
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4. 函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx 在 x ＝1处有极值－2，则 a ， b 的值分别为
（　　）
A. 1，－3 B. 1，3
C. －1，3 D. －1，－3
解析： 　∵f'（ x ）＝3 ax2＋ b ，由题意知f'（1）＝0， f （1）＝
－2，∴∴ a ＝1， b ＝－3.
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5. 已知等差数列{ an }的公差不为零，其前 n 项和为 Sn ，若 S3， S9，
S27成等比数列，则 ＝（　　）
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
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解析： 　由题意，知 ＝ S3× S27，即［ ］2＝
× ，整理得81 ＝3 a2×27 a14，所以
（ a1＋4 d ）2＝（ a1＋ d ）（ a1＋13 d ），解得 d ＝2 a1，所以 ＝
÷ ＝ ＝ ＝ ＝9.
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6. 若函数 f （ x ）＝ x3＋ ax －2在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数
a 的取值范围是（　　）
A. （3，＋∞） B. [－3，＋∞）
C. （－3，＋∞） D. （－∞，－3）
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解析： 　因为 f （ x ）＝ x3＋ ax －2，所以f'（ x ）＝3 x2＋ a ，因为
函数 f （ x ）＝ x3＋ ax －2在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'
（ x ）＝3 x2＋ a ≥0在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，即 a
≥－3 x2在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，又 x ∈[1，＋
∞）时，（－3 x2）max＝－3，所以实数 a 的取值范围是[－3，＋
∞）.
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7. 已知函数 f （ n ）＝ n2 cos （ n π），且 an ＝ f （ n ）＋ f （ n ＋1），
则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝（　　）
A. 0 B. －100 C. 100 D. 10 200
解析： 　 f （ n ）＝ n2 cos （ n π）＝＝（－1）
n · n2.由 an ＝ f （ n ）＋ f （ n ＋1）＝（－1） n · n2＋（－1） n＋1·（ n
＋1）2＝（－1） n [ n2－（ n ＋1）2]＝（－1） n＋1·（2 n ＋1），得
a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝3＋（－5）＋7＋（－9）＋…＋199＋（－
201）＝－2×50＝－100.故选B.
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8. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），满足f'（ x ）－ f
（ x ）≤－1（其中“＝”不恒成立），且 f （ x ＋2）为偶函数， f
（4）＝6，则不等式 f （ x ）＜5e x ＋1的解集是（　　）
A. （0，＋∞） B. （－∞，－1）
C. （－∞，0） D. （1，＋∞）
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解析： 　∵ y ＝ f （ x ＋2）为偶函数，∴ y ＝ f （ x ＋2）的图象关
于直线 x ＝0对称，∴ y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝2对称，∴ f
（4）＝ f （0），又∵ f （4）＝6，∴ f （0）＝6，设 g （ x ）＝
，则g'（ x ）＝ ，∵f'（ x ）－ f （ x ）≤－1
（其中“＝”不恒成立），∴f'（ x ）－ f （ x ）＋1≤0，即g'（ x ）
≤0且不恒等于零，∴ y ＝ g （ x ）在定义域R上是减函数，∵ f
（ x ）＜5e x ＋1等价于 g （ x ）＜5.又∵ g （0）＝ ＝ ＝
5，∴不等式 f （ x ）＜e x ＋1的解集等于 g （ x ）＜ g （0）的解集，
又∵ g （ x ）在R上是减函数，∴ x ＞0，∴ f （ x ）＜e x ＋1的解集为
（0，＋∞）.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6
分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知 Sn 为数列{ an }的前 n 项和，若 a1＝ ，且 an＋1（2－ an ）＝2
（ an ≠2），则（　　）
B. { an }是周期数列且周期为4
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解析： 　由 an＋1（2－ an ）＝2（ an ≠2）可得 an＋1＝ ，所
以 a2＝ ＝－4， a3＝ ＝ ，A错； a4＝ ＝ ， a5＝
＝ ＝ a1，所以数列{ an }是周期数列且周期为4，B正确； S4＝ a1＋
a2＋ a3＋ a4＝ ，C正确； S21＝5× ＋ ＝ ，D正确.
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10. 函数 f （ x ）的定义域为R，它的导函数 y ＝f'（ x ）的部分图象如
图所示，则下面结论正确的是（　　）
A. 在（1，2）上函数 f （ x ）单调递增
B. 在（3，4）上函数 f （ x ）单调递减
C. 在（1，3）上函数 f （ x ）有极大值
D. x ＝3是函数 f （ x ）在区间[1，5]上的极小值点
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解析： 　由题图可知，当1＜ x ＜2时，f'（ x ）＞0，当2＜ x
＜4时，f'（ x ）＜0，当4＜ x ＜5时，f'（ x ）＞0，∴ x ＝2是函数 f
（ x ）的极大值点， x ＝4是函数 f （ x ）的极小值点，故A、B、C
正确，D错误.
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11. 已知 f （ x ）＝e x · x3，则下列结论正确的是（　　）
A. f （ x ）在R上是增函数
C. 方程 f （ x ）＝－1有实数根
D. 存在实数 k ，使得方程 f （ x ）＝ kx 有3个实数根
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解析： 　 f （ x ）＝e x · x3，∴f'（ x ）＝e x （ x3＋3 x2）.令f'
（ x ）＝0，得 x ＝0或 x ＝－3.当 x ＜－3时，f'（ x ）＜0， f （ x ）
单调递减，当 x ＞－3时，f'（ x ）≥0， f （ x ）单调递增，A错误.
又0＜log52＜ ＜ ＜1＜ln π，∴ f （log52）＜ f ＜ f （ln
π），B正确.∵ f （0）＝0， f （－3）＝e－3·（－3）3＝－ ＜
－1，∴ f （ x ）＝－1有实数根，C正确.设 f （ x ）＝ kx ，显然 x ＝
0是方程的根，当 x ≠0时， k ＝ ＝e x · x2，设 g （ x ）＝e
x · x2，则g'（ x ）＝ x （ x ＋2）e x ，令g'（ x ）＝0，得 x ＝0或 x ＝－
2.当 x 变化时，g'（ x ）， g （ x ）的变化情况如下表：
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x （－∞，－2） －2 （－2，0） 0 （0，＋
∞）
g'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
g （ x ） ↗ ↘ 0 ↗
画出 y ＝ g （ x ）的大致图象，如图，
∴当0＜ k ＜ 时， g （ x ）＝ k 有3个实
数根，此时 f （ x ）＝ kx 有4个实根，当 k＝ 时， g （ x ）＝ k 有2个实根，此时 f （ x ）＝ kx 有3个实根，∴D正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列{ an }的
通项公式： an ＝ .
解析：前3项之和小于第3项，则 a1＋ a2＜0 2 a1＋2＜0 a1＜－
1，设 a1＝－2， d ＝2，则 an ＝2 n －4.
2 n －4（答案不唯一）
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13. 若曲线 y ＝ 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角
形的面积为18，则 a ＝ .
解析：因为y'＝－ ，所以曲线 y ＝ 在点 处的切
线方程为 y － ＝－ （ x － a ），令 x ＝0得 y ＝ ，令 y
＝0得 x ＝3 a ，所以三角形的面积 S ＝ · ·3 a ＝18，解得 a ＝
64.
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14. 已知递增等比数列{ an }的第三项、第五项、第七项的积为512，
且这三项分别减去1，3，9后成等差数列，则{ an }的公比为
；设 Sn ＝ ＋ ＋…＋ ，则 Sn 的表达式为
.

Sn ＝2 n＋2－
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解析：∵ 等比数列{ an }的第三项、第五项、第七项的积为512，
∴ a3 a5 a7＝512，则 ＝512，∴ a5＝8.由题意得 a3－1＋ a7－9＝2
（ a5－3），即 a3＋ a7＝20，∴ a5 q－2＋ a5 q2＝20，∴ q－2＋ q2＝
，∵等比数列{ an }递增，则 q ＝ ，∴ an ＝ a5 qn－5＝8×
（ ） n－5＝（ ） n＋1，∴ ＝2 n＋1，∴ Sn ＝ ＋ ＋…＋
＝ ＝2 n＋2－4.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ x3＋（1－ a ） x2－ a （ a
＋2） x ＋ b （ a ， b ∈R）.
（1）若函数 f （ x ）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－
3，求 a ， b 的值；
解： f'（ x ）＝3 x2＋2（1－ a ） x － a （ a ＋2）.
由题意得
解得 b ＝0， a ＝－3或 a ＝1.
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（2）若曲线 y ＝ f （ x ）存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值
范围.
解： ∵曲线 y ＝ f （ x ）存在两条垂直于 y 轴的切线，
∴关于 x 的方程f'（ x ）＝3 x2＋2（1－ a ） x － a （ a ＋2）＝
0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4（1－ a ）2＋12 a （ a ＋2）＞0，
即4 a2＋4 a ＋1＞0，∴ a ≠－ .
∴ a 的取值范围为 ∪ .
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16. （本小题满分15分）已知{ an }是公比为 q 的无穷等比数列，其前 n
项和为 Sn ，满足 a3＝12， 　　　.是否存在正整数 k ，使得 Sk ＞2
023？若存在，求出 k 的最小值；若不存在，请说明理由.
从① q ＝2；② q ＝ ；③ q ＝－2，这三个条件中任选一个，补充
在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：设数列{ an }的首项为 a1.
选择①：当 q ＝2时，由 a3＝12得， a1＝ ＝3.
∴ Sn ＝ ＝ ＝3×2 n －3，
则 Sk ＝3×2 k －3.
由 Sk ＞2 023得，3×2 k －3＞2 023，
即2 k ＞ ≈675.3.
∵29＝512，210＝1 024， k ∈N＋，∴ kmin＝10.
∴当 a3＝12， q ＝2时，存在最小正整数 k ＝10，使得 Sk ＞2 023.
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选择②：当 q ＝ 时，
由 a3＝12得， a1＝ ＝48，
∴ Sn ＝ ＝
＝96－96× ，
则 Sk ＝96－96× .
由 Sk ＞2 023得，96－96× ＞2 023，
即 ＜－ ，不等式无解，则 k 不存在.
∴当 a3＝12， q ＝ 时，不存在最小正整数 k ，使得 Sk ＞2 023.
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选择③：当 q ＝－2时，由 a3＝12得， a1＝ ＝3，
∴ Sn ＝ ＝
＝1－（－2） n ，
则 Sk ＝1－（－2） k .
由 Sk ＞2 023得，1－（－2） k ＞2 023，即（－2） k ＜－2 022.
当 k 为偶数时，2 k ＜－2 022，无解.
当 k 为奇数时，－2 k ＜－2 022，即2 k ＞2 022.
又∵ k ∈N＋，∴ kmin＝11，
∴当 a3＝12， q ＝－2时，存在最小正整数 k ＝11，使得 Sk ＞
2 023.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ x －ln x －2.
（1）判断函数的单调性；
解： f （ x ）的定义域为（0，＋∞），求导得f'（ x ）
＝1－ ＝ ，
令f'（ x ）＞0，则 x ＞1，
令f'（ x ）＜0，则0＜ x ＜1，
所以 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调
递减.
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（2）若对于任意的 x ∈（1，＋∞），都有 x ln x ＋ x ＞ k （ x －
1），求整数 k 的最大值.
解： x ∈（1，＋∞）， x ln x ＋ x ＞ k （ x －1） k ＜
，令 g （ x ）＝ ， x ＞1，则g'（ x ）＝
，
由（1）知， f （ x ）＝ x －ln x －2在（1，＋∞）上单调递
增，且 f （3）＝1－ln 3＜0， f （4）＝2－ln 4＞0，
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则 f （ x ）在区间（3，4）内存在唯一的零点 x0，使 f （ x0）
＝ x0－ln x0－2＝0，即ln x0＝ x0－2，
则当 x ∈（1， x0）时， f （ x ）＜0，g'（ x ）＜0， g （ x ）
在（1， x0）上单调递减，
当 x ∈（ x0，＋∞）时， f （ x ）＞0，g'（ x ）＞0， g （ x ）
在（ x0，＋∞）上单调递增，
于是得 g （ x ）min＝ g （ x0）＝ ＝
＝ x0∈（3，4），因此 k ＜ g （ x ）min＝ x0∈（3，4），
所以整数 k 的最大值为3.
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18. （本小题满分17分）设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，已知 a1＝1，2
Sn ＝ an＋1（ n ∈N＋）.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： ∵数列{ an }满足2 Sn ＝ an＋1，　①
∴2 Sn－1＝ an （ n ≥2），　②
①－②，得2 an ＝ an＋1－ an ，
即 （ an＋1－3 an ）＝0（ n ≥2），
可得 an＋1＝3 an （ n ≥2），
由 a1＝1，2 a1＝2 S1＝ a2，解得 a2＝3，∴ a2＝3 a1，
∴数列{ an }是首项为1，公比为3的等比数列，则 an ＝3 n－1.
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（2）设 bn ＝ an ·log3 a2 n ，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
解： 由（1）知 an ＝3 n－1，则 bn ＝ an ·log3 a2 n ＝3 n－
1·log332 n－1＝（2 n －1）·3 n－1，
则 Tn ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2 n －1）×3 n－1，　③
3 Tn ＝1×31＋3×32＋…＋（2 n －3）×3 n－1＋（2 n －1）
×3 n ，　④
③－④，得－2 Tn ＝1＋2×（31＋32＋…＋3 n－1）－（2 n －
1）×3 n ＝1＋2× －（2 n －1）×3 n ＝－2＋（2－2 n ）
×3 n ，∴ Tn ＝（ n －1）×3 n ＋1.
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19. （本小题满分17分）设函数 f （ x ）＝ x3－6 x ＋5， x ∈R.
（1）求 f （ x ）的极值点；
解： f'（ x ）＝3（ x2－2），令f'（ x ）＝0，
得 x1＝－ ， x2＝ .
当 x ∈（－∞，－ ）∪（ ，＋
∞）时，f'（ x ）＞0，
当 x ∈（－ ， ）时，f'（ x ）＜0，
因此 x1＝－ ， x2＝ 分别为 f （ x ）
的极大值点、极小值点.
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（2）若关于 x 的方程 f （ x ）＝ a 有3个不同实根，求实数 a 的取值
范围；
解： 由（1）可知 y ＝ f （ x ）图象的大致形状及走向如
图所示.
要使直线 y ＝ a 与 y ＝ f （ x ）的图象有3个不同交点，需5－4
＝ f （ ）＜ a ＜ f （－ ）＝5＋4 .
则方程 f （ x ）＝ a 有3个不同实根时，所求实数 a 的取值范
围为（5－4 ，5＋4 ）.
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（3）已知当 x ∈（1，＋∞）时， f （ x ）≥ k （ x －1）恒成立，
求实数 k 的取值范围.
解： 法一　 f （ x ）≥ k （ x －1），
即（ x －1）（ x2＋ x －5）≥ k （ x －1），
因为 x ＞1，所以 k ≤ x2＋ x －5在（1，＋∞）上恒成立，
令 g （ x ）＝ x2＋ x －5，
由二次函数的性质得 g （ x ）在（1，＋∞）上单调递增，所
以 g （ x ）＞ g （1）＝－3，
所以所求 k 的取值范围为（－∞，－3].
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法二　直线 y ＝ k （ x －1）过定点（1，0）且 f （1）＝0，
曲线 f （ x ）在点（1，0）处切线斜率f'（1）＝－3，
由（2）中图知要使 x ∈（1，＋∞）时， f （ x ）≥ k （ x －1）恒成立
需 k ≤－3.
故实数 k 的取值范围为（－∞，－3].
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谢 谢 观 看！
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