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(共60张PPT)
第4节
科学测量：用单摆测量重力加速度
01
基础知识落实
02
必备技能培养
03
教学效果检测
目 录
01
PART
基础知识落实
一、实验目的
1. 用单摆测量重力加速度。
2. 会使用秒表测量时间。
3. 能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。
二、实验器材
长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒
表、游标卡尺。
三、实验原理与设计
单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆
摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。
用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到
的便是振动周期。
四、实验步骤
1. 取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台
上，让摆球自由下垂，如图所示。
2. 用刻度尺测量摆线长度l线，用游标卡尺测量小球的直径d。测量多次，
取平均值，计算摆长l＝l线＋。
3. 将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在
竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，
测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。
4. 改变摆长，重复实验多次。
5. 将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测
得的当地重力加速度。
五、数据处理
1. 公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，
最后求出g的平均值，设计如表所示的实验表格。
实验次
数 摆长l/m 周期T/s 加速度g/（m·s－2） g的平均值/（m·s－2）
1
2 3 2. 图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2-l图像，即以T2为纵轴，以l为横
轴，其斜率k＝。由图像的斜率即可求出重力加速度g。
六、误差分析
1. 本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固
定，是单摆还是复摆。球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖
直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些方
面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差，达到忽略不计的程度。
2. 本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量。因此，要注意测
准时间（周期），要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数
的方法，不能多记或漏记全振动次数。为了减小偶然误差，进行多次测量
后取平均值。
02
PART
必备技能培养
题型一｜实验原理与操作
【典例1】　某实验小组的同学用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加
速度”的实验。
（1）实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图乙所示，其读数
为 mm；测量单摆周期时秒表读数如图丙所示，其读数
为 s。
解析：根据游标卡尺的读数，摆球的直径为10 mm＋0.1×5 mm＝10.5 mm
由题图丙所示，其读数为t＝120 s＋23.3 s＝143.3 s。
10.5
143.3
（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有 。
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉动摆球，使摆线相距平
衡位置有较大的角度
d.拉动摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，在释放摆球的同
时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单
摆周期T
abe
e.拉动摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，释放摆球，当摆球振
动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，
则单摆周期T＝
解析：根据用单摆测量重力加速度的实验要求应选a、b、e。

解析：根据单摆的周期公式T＝2π
其中有l＝l线＋
联立解得g＝。

在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）用游标卡尺测实验所用的匀质小球的直径D，如图所示，则小球的直
径D是 mm。
解析：小球的直径为D＝12 mm＋5×0.1 mm＝12.5 mm。
12.5
（2）下列做法正确的是 。（填正确答案的标号）
A. 为减少误差应选用轻质小球
B. 记录摆球完成一次全振动的时间
C. 选用的细线应细、质量小，且不易伸长
D. 从摆球到达最高位置时开始计时
解析：为减少误差应选用密度较大、体积较小的小球，A错误；应记录摆
球完成30～50次全振动的时间，再计算周期，B错误；选用的细线应细、
质量小，且不易伸长，C正确；计时起点应从摆球经过最低点时开始计
时，D错误。
C



解析：根据单摆周期公式可得T＝2π
整理得l＝T2－
可知，图线的斜率为＝
故重力加速度的表达式为g＝
当T2＝0时，l＝－，可知纵轴截距的绝对值是小球的半径。
题型二｜数据处理与误差分析
【典例2】　某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的
操作：

2.07
l＝l0＋
解析：游标卡尺是10分度的卡尺，则摆球直径为d＝20 mm＋7×0.1 mm＝
20.7 mm＝2.07 cm
（2）用秒表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时
并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如
图乙所示，该单摆的周期T＝ s（结果保留3位有效数字）；
解析：数到60次时，经过了30个周期，秒表的读数为1 min 7.4 s，则周期为T＝＝≈2.25 s。
2.25
（3）①测量出多组周期T、摆长l数值后，画出T2-l图像如图丙，造成图线
不过坐标原点的原因可能是 （从下面选项中选择填）；
A. 摆球的振幅过小
B. 将l0计为摆长l
C. 将（l0＋d）计为摆长l
D. 摆球质量过大
B
②这样将使根据图像得出的g测量值 （选填“偏大”“偏
小”或“不受影响”）。
不受影响
解析：①题图丙图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm就会通过坐标
原点，故相同的周期下，摆长偏小，可能是把摆线长当成了摆长，故A、
C、D错误，B正确。
②由于T2-l图像的斜率不受影响，则g测量值不受影响。

解析：由题意可得周期为T＝＝
则由T＝2π
可得g＝l＝l。
l
（5）本实验测得的重力加速度一般略微偏小，是由于系统误差造成的
是 。
A. 小球经过平衡位置时计时，因观察不准，造成较大的周期测量误差
B. 小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差
C. 单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
C
解析：小球经过平衡位置时计时，因观察不准，造成较大的周期测量误
差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心
位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差，这样测得的重力加速度
可能偏大，也可能偏小，故B错误；单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，
造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π可知，重力加速度的测量
值偏小，故C正确。
某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
（1）实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此
之外，还需要的器材有 。
A. 长度约为1 m的细线
B. 长度约为30 cm的细线
C. 直径约为2 cm的钢球
D. 直径约为2 cm的木球
E. 最小刻度为1 cm的直尺
F. 最小刻度为1 mm的直尺
ACF
解析：细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。
（2）该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的
时间，如图甲所示，秒表的读数为 s。
解析：秒表的读数为95.1 s。
95.1
（3）下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/（m·s－2） 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T＝ s，g＝ m/s2。
2.01
9.76
解析：周期为T＝＝ s＝2.01 s，根据单摆周期公式得g＝，
代入数据得g＝9.76 m/s2。
（4）该同学经测量得到多组摆长l和对应的周期T，画出l-T2 图线，然后在
图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g
＝ 。
解析：根据单摆周期公式得l＝，所以l-T2图像的斜率为＝，解得g＝4π2。
4π2
题型三｜实验拓展与创新
【典例3】　甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量当地重力加速度，
（1）甲组同学采用如图1所示的实验装置。由于没有游标卡尺，无法测量
小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周
期T和l的数据，作出l-T2 图像，如图2所示，实验得到的l-T2图线是
（填“a”“b”或“c”）。小球的直径是 cm。
c
1.2
解析：由单摆的周期公式可得T＝2π
得l＝T2＋
则由数学关系得斜率为k＝
截距b＝
图线的截距为正，则图像为c
因截距为b＝＝0.6 cm
则d＝1.2 cm。
（2）乙组同学在图1所示装置的基础上再增加一个速度传感器，将摆球拉
开一个小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球在摆动过程中速度
随时间变化的关系，如图3所示，该单摆的周期T＝ s。改变摆线长
度l后多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-l图线（l为摆线长），
并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.024（s2）。由此可以得出当地的重
力加速度g＝ m/s2（取π2＝9.86，计算结果保留3位有效数字）。
2.0
9.76
解析：该单摆的周期T＝2.0 s
由单摆的周期公式T＝2π得T2＝＋
结合T2＝4.04l＋0.024（s2）
图线的斜率＝4.04
解得g＝9.76 m/s2。
创新角度分析
本实验的创新点
（1）甲组同学由于无法测量小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的
距离作为摆长l，故实验得到的l-T2图线斜率为k＝、截距b＝。
（2）乙组同学利用速度传感器记录的摆球在摆动过程中v-t 图像获得单摆
的周期T。
利用单摆周期公式T＝2π变形式T2＝＋和方程T2＝4.04l＋
0.024（s2）对照，应用数学的待定系数法求解g值。
在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中
（1）该实验中用于测量时间的工具是 ；
解析：该实验中用于测量时间的工具为秒表，所以B正确，A、C错误。
B
（2）如图甲所示，小明用游标卡尺测量小球的直径为 mm；
解析：游标卡尺的读数为：主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝14 mm＋
4×0.1 mm＝14.4 mm。
14.4
（3）手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙
所示，小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动
时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示，某次实验测得单摆4
次全振动的时间为7.203 s，已知单摆摆长为0.8 m，可以计算出当地的重
力加速度为 m/s2。（结果保留3位有效数字）
9.74
解析：根据单摆的周期公式T＝2π，
T＝＝1.8 s
得g＝＝ m/s2＝9.74 m/s2。
03
PART
教学效果检测
1. （2025·福建福州高二下期中）（1）在用单摆测定当地重力加速度的实
验中，下列器材和操作最合理的是（　C　）
C
解析：单摆的细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，小
球的直径与细线的长度相比也能够忽略，即细线的弹性小，小球的密度
大，可知，合理的是细丝线与铁球构成的装置，且悬点用铁夹夹住固定。
故选C。
（2）某同学课后想利用身边的器材再做一遍“单摆测量重力加速度”的实验。他找了一块外形不规则的小金属块代替小球进行实验。
①如图甲所示，实验过程中他先将金属块用细线系好，结点为M，将细线
的上端固定于O点。
②利用刻度尺测出O、M间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测
出金属块做简谐运动的周期T。
③在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2-l图像如图
乙所示。
④根据作出T2-l的图像可得重力加速度的测量值为 m/s2。（π2＝
9.87，计算结果保留三位有效数字）
9.87
解析：令金属块重心到结点的间距为d，则摆长为L＝l＋d
根据单摆周期公式T＝2π，把L＝l＋d代入上式，解得T2＝l＋，结
合题图乙有＝ s2/m，解得g＝9.87 m/s2。
（3）相比于实验室作出的T2-l图像，该同学在家做实验的T2-l图像明显不
过原点，其中横轴截距绝对值的意义为 。
解析：根据上述有T2＝l＋，结合题图乙解得d＝4.00 cm
可知，横轴截距绝对值表示金属块重心到结点M的间距。
金属块重心到结点M的间距
（4）实验过程中，某同学利用公式T＝2π直接计算得出重力加速度g误
将摆球51次全振动的时间记为50次，则重力加速度的计算值会 。
（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）
解析：单摆运动的周期T＝，根据单摆周期公式T＝2π，有T＝2π，
解得g＝
若将摆球51振动的时间记为50次，则周期的测量值偏大，可知，重力加速
度的计算值偏小。
偏小
2. 用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
（1）对测量原理的理解正确的是 。
C
解析：根据单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝，测出单
摆的摆长l与周期T，可以求出重力加速度，但重力加速度与摆长l和周期T
无关，A、B选项错误，C选项正确。
解析：重力加速度g＝，单摆周期与摆球质量无关，组装单摆时，选择的摆球质量偏大不会导致g的测量值偏大，A选项错误；测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长，所测摆长l偏小，所测g偏小，B选项错误；测量周期时，把n次全振动误认为是（n＋1）次全振动，所测周期T偏小，所测g偏大，C选项正确。
（2）若测量结果得到的g值偏大，可能是因为 。
A. 组装单摆时，选择的摆球质量偏大
B. 测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C. 测量周期时，把n次全振动误认为是（n＋1）次全振动
C
（3）下表是某同学记录的实验数据，并做了部分处理。
组次 1 2 3 4 5 6
摆长l/cm 40.00 50.00 60.00 80.00 100.00 120.00
50次全振动时
t/s 63.0 74.0 77.5 89.5 100.0 109.5
周期T/s 1.26 1.48 1.55 1.79 2.19
周期的平方
T2/s2 1.59 2.01 2.40 3.20 4.80
请计算第5组实验中的T2＝ s2。
4.00
解析：由表中实验数据可知，完成50次全振动需要的时间为100.0
s，则周期T＝2.0 s，T2＝2.02＝4.00 s2。
（4）将上表数据输入计算机，可得到图乙所示的l-T2图像，图线经过坐标
原点，斜率k＝0.25 m/s2。
由此求得重力加速度g＝ m/s2。（π2＝9.87，此空答案保留3位有
效数字）
解析：根据单摆周期公式T＝2π可知，摆长l＝T2，l-T2图像的斜率k＝，解得g＝9.87 m/s2。
9.87
3. 在探究单摆运动的实验中：
（1）图甲是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图乙是与力
传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，根据图乙的信息可得，从t＝0
时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻为 s，摆长为 m
（取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2）。
1.3
0.64
解析：摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆
到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s；
根据图像，单摆的周期为T＝2×（0.9－0.1）s＝1.6 s
根据T＝2π，解得l＝0.64 m。
（2）单摆振动的回复力是 。
A. 摆球所受的重力
B. 摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
C. 摆线对摆球的拉力
D. 摆球重力在垂直摆线方向上的分力
D
解析：单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，故选D。
（3）某同学的操作步骤如下，其中正确的是 。
A. 取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B. 用米尺量得细线长度l线，摆长为l线再加上摆球半径
C. 在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球
D. 让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力
加速度
AB
解析：取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，
A正确；用米尺量得细线长度l线，摆长为l线再加上摆球半径，B正确；实验
时应在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，C错误；实验时应让小球在竖
直面内摆动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。
4. 伽利略曾经提出和解决了这样一个问题：一根细绳悬挂在黑暗的城堡
中，人们看不到它的上端，只能摸到它的下端。为了测出细绳的长度，在
细绳的下端系一个金属球，使之在竖直平面内做小角度的摆动。主要实验
步骤如下：
①将一小球系于细绳的下端制成单摆，让单摆在竖直平面内做小角度
摆动；
②当小球通过平衡位置时启动秒表（记为第1次），在小球第n1次通过平衡
位置时止动秒表，读出秒表时间为t1；
③将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时
间为t2。
回答下列问题：
（1）要达到测出细绳长度的目的，首先要测量当地的重力加速度。测量
重力加速度还需要测量的物理量是 （填字母）。
A. 小球的质量m
B. 细绳摆动的角度θ
C. 截去的细绳长度Δl
D. 小球的直径d
C
（2）测得的当地重力加速度g＝ 。

解析：（1）（2）根据公式T＝2π可知，当小球通过平衡位置时启动秒表（记为第1次），在小球第n1次通过平衡位置时停止秒表，读出秒表时间为t1，有＝2π，将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次
通过平衡位置的时间为t2，
有＝2π
联立两式得g＝。
由此式可知，需要测量的物理量有Δl，故选C。
（3）细绳截去一段前，细绳的长度l绳＝ （当地重力加
速度用g表示，小球的直径用d表示）。
解析：根据公式T＝2π，细绳截去一段前，有＝2π，细
绳的长度l绳＝－。
－
THANKS
演示完毕 感谢观看第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度
一、实验目的
1.用单摆测量重力加速度。
2.会使用秒表测量时间。
3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。
二、实验器材
长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。
三、实验原理与设计
单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。
用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。
四、实验步骤
1.取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。
2.用刻度尺测量摆线长度l线，用游标卡尺测量小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋。
3.将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。
4.改变摆长，重复实验多次。
5.将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度。
五、数据处理
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值，设计如表所示的实验表格。
实验次数 摆长l/m 周期T/s 加速度g/（m·s－2） g的平均值/（m·s－2）
1 g＝
2
3
2.图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2-l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝。由图像的斜率即可求出重力加速度g。
六、误差分析
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固定，是单摆还是复摆。球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差，达到忽略不计的程度。
2.本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量。因此，要注意测准时间（周期），要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记全振动次数。为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值。
题型一｜实验原理与操作
【典例1】　某实验小组的同学用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图乙所示，其读数为　　　　mm；测量单摆周期时秒表读数如图丙所示，其读数为　　　　s。
（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有　　　　。
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉动摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d.拉动摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e.拉动摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
（3）若测出单摆的周期T、摆线长l线、摆球直径d，则当地的重力加速度g＝　　　　（用测出的物理量表示）。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）用游标卡尺测实验所用的匀质小球的直径D，如图所示，则小球的直径D是　　　　　　mm。
（2）下列做法正确的是　　　　。（填正确答案的标号）
A.为减少误差应选用轻质小球
B.记录摆球完成一次全振动的时间
C.选用的细线应细、质量小，且不易伸长
D.从摆球到达最高位置时开始计时
（3）实验时改变摆长，测出几组摆线长度为l和对应的周期T的数据作出l-T2图像。如图，利用图中给出的坐标求出重力加速度，其表达式g＝　　　　　，若该同学实验操作步骤完全正确，那么纵轴截距的绝对值是　　　　　　。（用D表示）
题型二｜数据处理与误差分析
【典例2】　某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径d为　　　cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测得摆线长为l0，得到摆长l表达式为　　　　；
（2）用秒表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期T＝　　　　s（结果保留3位有效数字）；
（3）①测量出多组周期T、摆长l数值后，画出T2-l图像如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是　　　　（从下面选项中选择填）；
A.摆球的振幅过小
B.将l0计为摆长l
C.将（l0＋d）计为摆长l
D.摆球质量过大
②这样将使根据图像得出的g测量值　　　（选填“偏大”“偏小”或“不受影响”）。
（4）某同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距离l；计时开始后，从小球第一次通过平衡位置到第n次通过平衡位置所用时间为t，则重力加速度g＝　　　　（用l、n、t及常数表示）。
（5）本实验测得的重力加速度一般略微偏小，是由于系统误差造成的是　　　　。
A.小球经过平衡位置时计时，因观察不准，造成较大的周期测量误差
B.小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差
C.单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
（1）实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有　　　　。
A.长度约为1 m的细线
B.长度约为30 cm的细线
C.直径约为2 cm的钢球
D.直径约为2 cm的木球
E.最小刻度为1 cm的直尺
F.最小刻度为1 mm的直尺
（2）该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为　 　　s。
（3）下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/（m·s－2） 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T＝　　 　　　s，g＝　　　　m/s2。
（4）该同学经测量得到多组摆长l和对应的周期T，画出l-T2 图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g＝　　　　。
题型三｜实验拓展与创新
【典例3】　甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量当地重力加速度，
（1）甲组同学采用如图1所示的实验装置。由于没有游标卡尺，无法测量小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出l-T2 图像，如图2所示，实验得到的l-T2图线是　　　　（填“a”“b”或“c”）。小球的直径是　　　　cm。
（2）乙组同学在图1所示装置的基础上再增加一个速度传感器，将摆球拉开一个小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球在摆动过程中速度随时间变化的关系，如图3所示，该单摆的周期T＝　　　s。改变摆线长度l后多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-l图线（l为摆线长），并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.024（s2）。由此可以得出当地的重力加速度g＝　　　　m/s2（取π2＝9.86，计算结果保留3位有效数字）。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
创新角度分析
本实验的创新点
（1）甲组同学由于无法测量小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，故实验得到的l-T2图线斜率为k＝、截距b＝。
（2）乙组同学利用速度传感器记录的摆球在摆动过程中v-t 图像获得单摆的周期T。
利用单摆周期公式T＝2π变形式T2＝＋和方程T2＝4.04l＋0.024（s2）对照，应用数学的待定系数法求解g值。
在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中
（1）该实验中用于测量时间的工具是　　 　；
（2）如图甲所示，小明用游标卡尺测量小球的直径为　　　mm；
（3）手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙所示，小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示，某次实验测得单摆4次全振动的时间为7.203 s，已知单摆摆长为0.8 m，可以计算出当地的重力加速度为　 　　　m/s2。（结果保留3位有效数字）
1.（2025·福建福州高二下期中）（1）在用单摆测定当地重力加速度的实验中，下列器材和操作最合理的是（　　）
（2）某同学课后想利用身边的器材再做一遍“单摆测量重力加速度”的实验。他找了一块外形不规则的小金属块代替小球进行实验。
①如图甲所示，实验过程中他先将金属块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。
②利用刻度尺测出O、M间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出金属块做简谐运动的周期T。
③在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2-l图像如图乙所示。
④根据作出T2-l的图像可得重力加速度的测量值为　　　　　m/s2。（π2＝9.87，计算结果保留三位有效数字）
（3）相比于实验室作出的T2-l图像，该同学在家做实验的T2-l图像明显不过原点，其中横轴截距绝对值的意义为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
（4）实验过程中，某同学利用公式T＝2π直接计算得出重力加速度g误将摆球51次全振动的时间记为50次，则重力加速度的计算值会　　　　　。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）
2.用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
（1）对测量原理的理解正确的是　　　　。
A.由g＝可知，T一定时，g与l成正比
B.由g＝可知，l一定时，g与T2成反比
C.单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，由g＝可算出当地的重力加速度
（2）若测量结果得到的g值偏大，可能是因为　　　　。
A.组装单摆时，选择的摆球质量偏大
B.测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C.测量周期时，把n次全振动误认为是（n＋1）次全振动
（3）下表是某同学记录的实验数据，并做了部分处理。
组次 1 2 3 4 5 6
摆长l/cm 40.00 50.00 60.00 80.00 100.00 120.00
50次全振动时t/s 63.0 74.0 77.5 89.5 100.0 109.5
周期T/s 1.26 1.48 1.55 1.79 2.19
周期的平方T2/s2 1.59 2.01 2.40 3.20 4.80
请计算第5组实验中的T2＝　　　　s2。
（4）将上表数据输入计算机，可得到图乙所示的l-T2图像，图线经过坐标原点，斜率k＝0.25 m/s2。
由此求得重力加速度g＝　　　　m/s2。（π2＝9.87，此空答案保留3位有效数字）
3.在探究单摆运动的实验中：
（1）图甲是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，根据图乙的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻为　　　　s，摆长为　　　　m（取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2）。
（2）单摆振动的回复力是　　　　。
A.摆球所受的重力
B.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
（3）某同学的操作步骤如下，其中正确的是　　　　。
A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度l线，摆长为l线再加上摆球半径
C.在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
4.伽利略曾经提出和解决了这样一个问题：一根细绳悬挂在黑暗的城堡中，人们看不到它的上端，只能摸到它的下端。为了测出细绳的长度，在细绳的下端系一个金属球，使之在竖直平面内做小角度的摆动。主要实验步骤如下：
①将一小球系于细绳的下端制成单摆，让单摆在竖直平面内做小角度摆动；
②当小球通过平衡位置时启动秒表（记为第1次），在小球第n1次通过平衡位置时止动秒表，读出秒表时间为t1；
③将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时间为t2。
回答下列问题：
（1）要达到测出细绳长度的目的，首先要测量当地的重力加速度。测量重力加速度还需要测量的物理量是　　　（填字母）。
A.小球的质量m
B.细绳摆动的角度θ
C.截去的细绳长度Δl
D.小球的直径d
（2）测得的当地重力加速度g＝　　　　　。
（3）细绳截去一段前，细绳的长度l绳＝　　　　　（当地重力加速度用g表示，小球的直径用d表示）。
第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度
【必备技能培养】
【典例1】　（1）10.5　143.3　（2）abe　（3）
解析：（1）根据游标卡尺的读数，摆球的直径为10 mm＋0.1×5 mm＝10.5 mm
由题图丙所示，其读数为t＝120 s＋23.3 s＝143.3 s。
（2）根据用单摆测量重力加速度的实验要求应选a、b、e。
（3）根据单摆的周期公式T＝2π
其中有l＝l线＋
联立解得g＝。
素养训练
　（1）12.5　（2）C　（3）　
解析：（1）小球的直径为D＝12 mm＋5×0.1 mm＝12.5 mm。
（2）为减少误差应选用密度较大、体积较小的小球，A错误；应记录摆球完成30～50次全振动的时间，再计算周期，B错误；选用的细线应细、质量小，且不易伸长，C正确；计时起点应从摆球经过最低点时开始计时，D错误。
（3）根据单摆周期公式可得T＝2π
整理得l＝T2－
可知，图线的斜率为＝
故重力加速度的表达式为g＝
当T2＝0时，l＝－，可知纵轴截距的绝对值是小球的半径。
【典例2】　（1）2.07　l＝l0＋　（2）2.25　（3）①B　
②不受影响　（4）l　（5）C
解析：（1）游标卡尺是10分度的卡尺，则摆球直径为d＝20 mm＋7×0.1 mm＝20.7 mm＝2.07 cm
摆长表达式为l＝l0＋。
（2）数到60次时，经过了30个周期，秒表的读数为1 min 7.4 s，则周期为T＝＝≈2.25 s。
（3）①题图丙图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小，可能是把摆线长当成了摆长，故A、C、D错误，B正确。
②由于T2-l图像的斜率不受影响，则g测量值不受影响。
（4）由题意可得周期为T＝＝
则由T＝2π
可得g＝l＝l。
（5）小球经过平衡位置时计时，因观察不准，造成较大的周期测量误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B错误；单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏小，故C正确。
素养训练
（1）ACF　（2）95.1　（3）2.01　9.76　（4）4π2
解析：（1）细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。
（2）秒表的读数为95.1 s。
（3）周期为T＝＝ s＝2.01 s，根据单摆周期公式得g＝，代入数据得g＝9.76 m/s2。
（4）根据单摆周期公式得l＝，所以l-T2图像的斜率为＝，解得g＝4π2。
【典例3】　（1）c　1.2　（2）2.0　9.76
解析：（1）由单摆的周期公式可得T＝2π
得l＝T2＋
则由数学关系得斜率为k＝
截距b＝
图线的截距为正，则图像为c
因截距为b＝＝0.6 cm
则d＝1.2 cm。
（2）该单摆的周期T＝2.0 s
由单摆的周期公式T＝2π得T2＝＋
结合T2＝4.04l＋0.024（s2）
图线的斜率＝4.04
解得g＝9.76 m/s2。
素养训练
（1）B　（2）14.4　（3）9.74
解析：（1）该实验中用于测量时间的工具为秒表，所以B正确，A、C错误。
（2）游标卡尺的读数为：主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝14 mm＋4×0.1 mm＝14.4 mm。
（3）根据单摆的周期公式T＝2π，T＝＝1.8 s
得g＝＝ m/s2＝9.74 m/s2。
【教学效果检测】
1.（1）C　（2）④9.87　（3）金属块重心到结点M的间距　（4）偏小
解析：（1）单摆的细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，小球的直径与细线的长度相比也能够忽略，即细线的弹性小，小球的密度大，可知，合理的是细丝线与铁球构成的装置，且悬点用铁夹夹住固定。故选C。
（2）令金属块重心到结点的间距为d，则摆长为L＝l＋d
根据单摆周期公式T＝2π，把L＝l＋d代入上式，解得T2＝l＋，结合题图乙有＝ s2/m，解得g＝9.87 m/s2。
（3）根据上述有T2＝l＋，结合题图乙解得d＝4.00 cm
可知，横轴截距绝对值表示金属块重心到结点M的间距。
（4）单摆运动的周期T＝，根据单摆周期公式T＝2π，有T＝2π，解得g＝
若将摆球51振动的时间记为50次，则周期的测量值偏大，可知，重力加速度的计算值偏小。
2.（1）C　（2）C　（3）4.00　（4）9.87
解析：（1）根据单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝，测出单摆的摆长l与周期T，可以求出重力加速度，但重力加速度与摆长l和周期T无关，A、B选项错误，C选项正确。
（2）重力加速度g＝，单摆周期与摆球质量无关，组装单摆时，选择的摆球质量偏大不会导致g的测量值偏大，A选项错误；测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长，所测摆长l偏小，所测g偏小，B选项错误；测量周期时，把n次全振动误认为是（n＋1）次全振动，所测周期T偏小，所测g偏大，C选项正确。
（3）由表中实验数据可知，完成50次全振动需要的时间为100.0 s，则周期T＝2.0 s，T2＝2.02＝4.00 s2。
（4）根据单摆周期公式T＝2π可知，摆长l＝T2，l-T2图像的斜率k＝，解得g＝9.87 m/s2。
3.（1）1.3　0.64　（2）D　（3）AB
解析：（1）摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s；
根据图像，单摆的周期为T＝2×（0.9－0.1）s＝1.6 s
根据T＝2π，解得l＝0.64 m。
（2）单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，故选D。
（3）取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A正确；用米尺量得细线长度l线，摆长为l线再加上摆球半径，B正确；实验时应在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，C错误；实验时应让小球在竖直面内摆动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。
4.（1）C　（2）　（3）－
解析：（1）（2）根据公式T＝2π可知，当小球通过平衡位置时启动秒表（记为第1次），在小球第n1次通过平衡位置时停止秒表，读出秒表时间为t1，有＝2π，将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球n2次通过平衡位置的时间为t2，
有＝2π
联立两式得g＝。
由此式可知，需要测量的物理量有Δl，故选C。
（3）根据公式T＝2π，细绳截去一段前，有＝2π，细绳的长度l绳＝－。
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