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浙江省温州市2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”
和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（　　 ）
A．9 B．4 C．5 D．13
【答案】A
【分析】设第三边为x，根据三角形三边关系定理得出9﹣4＜x＜9+4，再逐个判断即可．
【解答】解：设第三边为x，
则9﹣4＜x＜9+4，
5＜x＜13，
符合的数只有9，
故选：A．
3．（3分）若a＜b，则下列式子中一定成立的是（　　 ）
A．3+a＞3+b B．＞ C．3a＞2b D．a﹣3＜b﹣3
【答案】D
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：A．不等式的两边同时加上3，即，故本选项不符合题意；
B．不等式的两边同时除以3，即，故本选项不合题意；
C．不等式的两边不是同时乘同一个数，故本选项不合题意；
D．不等式的两边同时减去3，即，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　 ）
A．钝角三角形中有两个锐角
B．如果，那么
C．若，则，，
D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键．
先写出逆命题，后逐一判断正误即可．
【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意；
B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意；
C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意；
D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意；
故选：D
5.（3分）在中它的三边分别为a，b，c，条件：
①； ②；
③；④；中，
能确定是直角三角形的条件有（　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴不是直角三角形，故②不符合题意；
∵，
∴最大的角为，
∴不是直角三角形，故③不符合题意；
∵，
设，
此时，
∴不是直角三角形，故④不符合题意；
能确定是直角三角形的条件有1个．
故选：A
（3分）如图，中，过点作，取边中点，连结．
若，，则长为（　　 ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质．先根据题意得出的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：，
是直角三角形，
点为边的中点，，
，
，
．
故选：C．
（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．
借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，
两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，
若，则的度数是（　　 ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，可得，根据题意得，求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又
∴
∴，解得，,
∴，
故选：C．
（3分）如图，中，的中垂线交于E，交于D，
若，则的周长为（　　 ）
A．14 B．16 C．20 D．18
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14．
故选：A
（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，
则下列四个结论：
①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；
③∠BDE＝∠CDF； ④AE＝AF．
其中正确的有（　　 ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案．
【详解】∵平分,
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．
∵,平分，
∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确．
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故选D．
（3分）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．
如图，已知正方形和正方形，，，三点在一条直线上．
现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形．
若正方形和正方形的面积之和为260，阴影部分的面积为148，
则的长为（　　 ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，设，，根据正方形的性质及得，进而可得，将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形得，再利用面积的数量关系即可求解，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
设，，
，
四边形、四边形和都是正方形，
，，，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，
，
，
，
，
即，
，
故选A．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. （3分）用不等式表示“x 与 5 的差不大于 1”：_________．
【答案】x5≤1．
【解析】
【分析】“x与5的差”表示为x-5，“不大于1”即“≤1”，据此可得答案．
【详解】解：用不等式表示“x与5的差不大于1”为x-5≤1，
故答案为：x-5≤1．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
，，
，
．
故答案为：．
13．（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 　 　．
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
14．关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，先根据不等式的性质求解，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解决，再根据仅有两个整数解进行判定，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组仅有两个整数解，
∴，
故答案为： ．
15.（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，则点D到AB的距离为 　 　cm．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出CD＝DE，求出CD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝7cm，BD＝4cm，
∴CD＝BC﹣BD＝2cm，
∴DE＝3cm，
即D到AB的距离为3cm，
故答案为：7．
（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.
若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
【答案】76
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长．
【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12，
“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：，
这个风车的外围周长是，
故答案为：76．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，
求∠DCE的度数．
【答案】15°
【分析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．
【详解】∵∠A＝∠B＝∠ACB，
设∠A＝x，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
18．（6分）解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上．
(1) (2)
【答案】(1)，数轴表示见解析
(2)，数轴表示见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）以及在数轴上表示不等式（组）的解集：
（1）先移项，则合并可得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集；
（2）分别解两个不等式得到和，则利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后用数轴表示其解集．
【详解】（1），
移项，得，
合并，得，
解集在数轴表示为：
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
所以原不等式组的解集为，
用数轴表示为：
19．（8分）如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上．
(1)画出与关于直线l成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)求边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)边上的高为．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B关于直线l的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）先计算出的长，然后利用面积法求边上的高．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积；
（3）解：设边上的高为h，
∵，
∴，
解得，
即边上的高为．
（8分）如图,点B．F. C． E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l的异侧,
测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.
求证：△ABC≌△DEF；
若BE=13m，BF=4m，求FC的长度．
【答案】（1）见解析；（2）5m．
【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根据AAS即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF；（AAS）
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=13m，BF=4m，
∴FC=BE-BF-EC=13-4-4=5m．
（10分）如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，
且AE＝CF，CE，BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；
（2）解：∵由（1）知∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE+∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．
△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
(2) 爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
(3) 秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的．
(3)0.6
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△CEO≌△ODB；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；
（3）由（2）可得点D距地面的高度是1.2m，用勾股定理求出OA的长，再求出AD的长，即可求得秋千的起始位置A处与距地面的高．
【详解】（1）△CEO与△ODB全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△CEO和△ODB中，
，
∴△CEO≌△ODB（AAS）；
（2）∵△CEO≌△ODB，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴DE＝OD OE＝CE BD＝2.4 1.8＝0.6（m），
由题意，点B距地面的高度是1.2m，
所以，点D距地面的高度是1.2m，
点E距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m）
所以，点C距地面的高度是1.8m．
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的．
（3）在Rt△BOD中，（m），
∴OA=3（m），
∴AD=OA-OD=3-2.4=0.6（m）
由（2）得，点D距地面的高度是1.2m，
∴秋千的起始位置A处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m），
答：秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m．
23．（12分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价-进价）
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？
【答案】(1)甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
(2)有两种购货方案：方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
【分析】（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得： ．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件．
根据题意得 ．
解不等式组，得．
∵a为非负整数，
∴a取66，67．
∴相应取94，93．
∴有两种购货方案：
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
24.（12分）在和中，，，且．
如图1，连结，，判断和的关系，并说明理由；
(2) 如图2，若点A在线段延长线上，，，求线段的长度；
(3) 如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理即可求证垂直关系；
（2）连接，同上可证明：，，设，则，在中建立方程，利用平方根解方程即可；
（3）由勾股定理得：，则的周长，故有最小值时，的周长有最小值，根据垂线段最短，得到时，有最小值，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
证明：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
同上可证明：，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：由上同理可知：，
∵，
∴由勾股定理得：，
的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为．
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全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”
和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　 ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（　　 ）
A．9 B．4 C．5 D．13
3．（3分）若a＜b，则下列式子中一定成立的是（　　 ）
A．3+a＞3+b B．＞ C．3a＞2b D．a﹣3＜b﹣3
4．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　 ）
A．钝角三角形中有两个锐角
B．如果，那么
C．若，则，，
D．若，则
5.（3分）在中它的三边分别为a，b，c，条件：
①； ②；
③；④；中，
能确定是直角三角形的条件有（　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3分）如图，中，过点作，取边中点，连结．
若，，则长为（　　 ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．
借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，
两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，
若，则的度数是（　　 ）

A． B． C． D．
（3分）如图，中，的中垂线交于E，交于D，
若，则的周长为（　　 ）
A．14 B．16 C．20 D．18
（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，
则下列四个结论：
①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；
③∠BDE＝∠CDF； ④AE＝AF．
其中正确的有（　　 ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
（3分）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．
如图，已知正方形和正方形，，，三点在一条直线上．
现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形．
若正方形和正方形的面积之和为260，阴影部分的面积为148，
则的长为（　　 ）
A．22 B．20 C．18 D．16
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. （3分）用不等式表示“x 与 5 的差不大于 1”：_________．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
13．（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 　 　．
14．关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ．
15.（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，则点D到AB的距离为 　 　cm．
（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.
若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，
求∠DCE的度数．
18．（6分）解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上．
(1) (2)
19．（8分）如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上．
(1)画出与关于直线l成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)求边上的高．
（8分）如图,点B．F. C． E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l的异侧,
测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.
求证：△ABC≌△DEF；
若BE=13m，BF=4m，求FC的长度．
（10分）如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，
且AE＝CF，CE，BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．
（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．
△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
(2) 爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
(3) 秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
23．（12分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价-进价）
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？
24.（12分）在和中，，，且．
如图1，连结，，判断和的关系，并说明理由；
(2) 如图2，若点A在线段延长线上，，，求线段的长度；
(3) 如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值．
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