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呼铁一中2025-2026学年第一学期高二10月月考
数学试卷
考试时间：120分钟；命题人：刘茹洁
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.与向量=(2,3,6)共线的单位向量是().
A(传》
B(另--)
C(作--乳和(-号》
D.(作》和(-子，-多-》
2.若向量a=(1,元，2)，方=(2，-1,2)，且与的夹角的余弦为号
,则等于()
A-2或始
B.-2
C.2
D.2或-后
3.四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E是
棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是()
A雪
B
C.D.
4.空间向量a=(1,0,1)在6=(0,1,1)上的投影向量为()
A.(分0，)
B.(受0，贤)
c(o,2)
D
o受)
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是()
D
D-
A.MN⊥CC1
B.MN⊥平面ACC1A1
C.MN//平面ABCD
D.MN//A B
6.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),万=(1，y,1),=(2,-4,2)且d1b,b/元，则a+1=()
A.2V2
B.3
C.V10
D.4
第1页，共4页
7.如图在长方体中，AB=AD=2V3,CC1=V2,则二面角C1-BD-C的大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
8.仇章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面
体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF/AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形，且AD=2EF,
则异面直线DE与BF所成角的大小为()
F
D
A君
B
c
D
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，记平面A1C1B与平面ABCD的交线为L,则下列结论正确的是(
)
D
A./平面AB1C
B.L⊥A1B
C.l与BC1所成角大小为60
D.1c平面AB1C
10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，AB=AD=AA1=1,下
列说法正确的是()
D
第2页，共4页
A.AB+AD +AA=AC
B.1A1C1=2
C.AA.BD=0
D.A B.DB=1
11.如图，棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则()
A
C
B
A.B1C1//平面A1CM
B.AN⊥A1C
CB,到平面A,CM的距离为
D.直线A,M与B,C1所成角的余弦值为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知=(53,1)，方=(-2，t,-)若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是一·
13.,B是两个平面，m,几，l是三条直线，有下列四个命题：
①若m/m,n//儿，则m/L:
②若m/m,m//a,则n/a
③若a/B,mca,则m//B.
④若m/n,a//B,则m与a所成的角和n与B所成的角相等.
其中正确的命题有」
14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF:
②AB与CM所成的角为60°：
③EF与MN是异面直线：
④MN/CD.
以上结论中正确结论的序号为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),=(1,-x,2).
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呼铁一中2025-2026学年第一学期高二10月月考
16
可咨彩
答题卡（数学）
姓名：
班级：
考场/座位号：
准考证号
[0]
[o]
[0]
[0]
注意事项
[0]
[0]
[0]
[0]
1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
1)
[1]
[1]
2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。
[2]
[2]
3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。
[3
[3]
[3
[3
[3]
[3]
4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。
]
[4
[4]
[4]
[4]
[4]
H845
5.保持答卷清洁、完整。
[5]
[
[5]
[5
[5]
[5]
[6
正确填涂
缺考标记
[81
678
同7
I
[9]
[9]
1]
[9
[91
r9
91
客观题
1[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
1[A][B][C][D]
2[A][B][C][DJ
7[A][B][C][D]
3[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
5[A][B][C][D]
1O[A][B][C][D]
填空题
2
14.
解答题
17.
15.
E
■
囚囚■
囚囚■
■
■
a

19.
18.
I
■
ㄖ■ㄖ
ㄖ■囚
■高二年级上学期第一次月考数学试卷
【答案】
1.D
2.A
3.B
4.c
5.D6.B7.A
8.D
9.AC
10.ACD 11.BCD
12.(-o,-u(-g〉
13.①③④
14.①③
15.解：(1)a小/b,
.存在实数2，使得b=a,
即-4=21,2=-λ，x=3λ，
λ=-2，X=-6
(2)a+b=(2-4,-1+2,3+x)=（-2,1,3+x),
又r(a+b)1c,
(-2)·1+1·(-x)+(3+x)2=0,
解得x=-4.
16.(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,0),
Fp=(-1,0,2),FB=(1,2,0),DE=(0,1,1)
设平面PFB的法向量元=(x,y,z),
第1页，共14页
则iF严=-x+22=0
n.FB=x+2y=0'
取x=2,得元=(2，-1,1)，
:DE.元=0，DE不在平面PFB内，
·DE//面PFB,
(2)解：：PE=(0,1,-1),平面PFB的一个法向量元=(2，-1,1)，
点E到平面PFB的距离d=PE列=I0-1-1=
6
3
“点E到平面PFB的距离为6
17.解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
·CC1⊥平面ABC,CC1⊥AC,则平行四边形A1ACC1为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点，·EF//CC1,则AC⊥EF.
·AB=BC.÷AC⊥BE,
BE∩EF=E,且BE,EFc平面BEF,
.AC⊥平面BEF
(2)由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF/CC1
又CC1⊥平面ABC,·EF⊥平面ABC.
BEC平面ABC,·EF⊥BE.
以E为原点，EA,EB,EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.
B
B
2
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
CD=(2,0,1),CB=(1,2,0),
设平面BCD的法向量为元=(a,b,c),
元-C0=02Qt6三0令a=2,则b=-1,c=4,则元=2，-1，-4)
(元CB=0’
又平面CDC1的法向量为EB=(0,2,0),
·Cos<元，EE>=E距
V21
mEB可
=-211
第2页，共14页
由图可得二面角B-CD-C1为钝角，
所以二面角B-CD-C的余弦值为-马
211
18.解：(1)因为四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=60°，CD=1,AB=3,
所以AD=4,BC=2√3.
因为PC=BC=2V3,∠PCB=60,
所以△PBC为正三角形，
因为F为BC的中点，所以PF⊥BC,
又因为平面ABCD⊥平面PCB,平面ABCD∩平面PCB=BC,PFc平面PCB,
所以PF⊥平面ABCD.
因为ADC平面ABCD,
所以PF⊥AD
(2)以F为原点建系如图，P(0,0,3),A(3,V3,0),B(0,√3,0)，D(1,-√3,0)，
设E(0,0,a@),PA=(3,V3,-3),DA=(2,2V3,0),BE=(0,-√3，a):
设面PAD的法向量为元=(x,y,z),
所以
州+60=则=-1
3
所以元=(W3,-12号)
设直线BE与平面PAD夹角为a,
则sina=
元BE
B
3-冬解得a=2,
3+同
第3页，共14页

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