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2025-2026学年第一学期九年级第一次综合训练题(数学科)
全卷总分：120分 考试时间：120分钟 (202510)
一.选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
B 2x+1=0 D.
2.用配方法解方程 变形后的结果正确的是( )
3.若关于 x的一元二次方程 无实数根，则m的取值范围是( )
A. m>1 B. m≥1 C. m<1 D. m≤1
4.如图(1)，一根木棍AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，若测得木棍AB长为6米，且点 P是木棍AB的中点，则O，P两点间的距离为( )
A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米
5.如图(2)，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相等 B.测量一组邻角是否互补
C.测量两组对边是否分别相等 D.测量三个内角是否都是直角
6.观察下列表格，估计一元二次方程 的正数解在( )
x -1 0 1 2 3 4
-7 -5 -1 5 13 23
A. - 1和0之间 B. 1和2之间 C. 0和1之间 D. 2和3之间
7.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图 (3)所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( )
A. (1) 处可填∠A=90° B.(2) 处可填AD=AB
8.如图(4)是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m ，求车道的宽度(单位：m).设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为( )
A. (40-2x)(22-x)=520 B. (40-x)(22-x)=520
C. (40-x)(22-2x)=520 D. (40-x)(22+x)=520
9.如图(5)所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时，已知AB=4cm，则剪下来图形的周长为( )
B. 4 cm
10.如图(6), 矩形 ABCD的对角线相交于点 O, 过点 O作 OE⊥AC, 交AB于点 E, 连接CE, 若矩形 ABCD的周长是20cm, 则△BCE的周长是( )
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 40cm
二.填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分.)
11.一元二次方程： 的一次项系数是 .
12.一个菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则这个菱形的面积是 cm .
13.若a 是方程 的一个根，则a +3a+2024= .
14. 如图(7) , 矩形 OABC的顶点B的坐标为(3,2), 则对角线AC= .
15. 如图(8), 在矩形 ABCD 中, AC=60cm, ∠BAC=60°, 点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，同时点 F从点 C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点 A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 E，F运动的时间是 t秒(0三.解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分.)
16.解方程:
17.如图,已知矩形ABCD中,∠BAD 和∠ADC的平分线交于 BC边上一点 E.点F为矩形外一
18.如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点 B在射线AE上.
四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分.)
19.提出问题：为解方程 我们可以令 于是原方程可转化为 0，解此方程得 y =4, y =-1(不符合要求，舍去). 当时，
∴原方程的解为
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想.
解决问题：
(1)运用上述换元法解方程：
(2)若实数x满足方程 则 的值是 .
20.根据以下素材，探索完成任务。
素 材 1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一 车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份 生产100个, 6月份生产144个.
素 材 2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月 销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任 务 1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任 务 2 为使月销售利润达到 10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定 为多少元
21.实践操作
(1)在矩形纸片ABCD中AB =6, BC=10.
①将矩形纸片折叠，使点A落在点 P处，折痕为DE.如图D，若点 P恰好在边BC上，连接AP, 则AP的长度是 ;
②将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点 E处如图①.设DE与BC相交于点 F，求BF的长；
(2)若AB=6, BC=8. 将矩形纸片折叠, 使点B与D重合如图②, 求折痕GH的长.
五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分.)
22.阅读材料：
(3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：x 和x 是关于x的方程 的两个实数根，且 求a的值.
23.如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点 A逆时针旋转α交直线 CD 于点 F.
(1)如图①, 若四边形 ABCD为菱形, ∠B=60°, α=60°, 则AE与AF之间的数量关系是 ;
(2)如图②, 若四边形 ABCD为正方形, α=45°, 连接EF, 当点 E在 BC的延长线上时, 试猜想线段BE、DF与 EF之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形 ABCD为正方形, α=45°, 连接EF, 当 时,求 EF的长.答案和解析
一、选择题
答案：D
解析：一元二次方程标准形式为 。选项D需补全，如为 则为正确选项。
答案：C
解析：以 为例，配方法变形为 。
答案：A
解析：若方程无实根，判别式 ，解得 。
答案：D
解析：O为墙角，P为AB中点，在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，故OP=3米。
答案：D
解析：矩形的判定条件为三个内角是直角（实际只需一个直角+对边相等，但选项D最严谨）。
答案：B
解析：由表格，, ，根在1和2之间。
答案：C
解析：(3)处AD=CB只能证明平行四边形，无法确保菱形或矩形。
答案：A
解析：车道的宽为x，则剩余长 ，宽 ，面积方程 。
答案：B
解析：折叠后形成等腰直角三角形，边长为4√2 cm，周长 。
答案：A
解析：OE垂直平分AC，△BCE周长=BE+EC+BC= (BE+EA)+BC=AB+BC= 周长=10cm。
二、填空题
答案：2
解析：方程如 ，一次项系数为2。
答案：24
解析：菱形面积=对角线乘积÷2= 。
答案：2025
解析：由方程 ，原式= 。
答案：
解析：矩形对角线AC=OB，点B(3,2)，则OB长度 。
答案：t=10秒
解析：菱形AEOF需满足AE=AF且EF⊥AO，列方程 ，解得 。
三、解答题
16. 解方程：
答案：
解析：用求根公式或配方法解 。
17. 证明正方形
解析：
∠BAD和∠ADC的平分线交于E，则∠EAD=45°，同理∠EDA=45°。
四边形AEDF为平行四边形，且邻边相等且角为直角，故为正方形。
18. 菱形补充与周长
解析：
(1) 作AC的垂直平分线交AE于D，连接ABCD即为菱形。
(2) 周长=4×边长=4×6=24（利用30°角计算边长）。
四、解答题
19. 换元法解方程
(1) 答案： 或
解析：令 ，方程化为 ，解后回代。
(2) 答案：22
解析：令 ，方程化为 ，解得 或 ，原式 。
20. 任务1与任务2
任务1：增长率20%
解析：，解得 。
任务2：售价50元
解析：设涨价x元，列方程 ，解得 （取整后定价50元）。
21. 几何折叠问题
(1)① 答案：8
解析：AP为矩形对角线的一半，勾股定理得 。
② 答案：BF=6
解析：利用折叠性质及勾股定理，设BF=x，解 。
(2) 答案：5
解析：GH为BD的垂直平分线，BD=10，GH= BD=5。
五、解答题
22. 根与系数关系
(1) 解析：方程 ，根为2和3，和5（=5/1），积6（=6/1），验证成立。
(2) 答案：
解析：根3和-2，则方程为 。
(3) 答案：a=1或a=5
解析：由韦达定理，, ，结合 ，解得a值。
23. 几何旋转问题
(1) 答案：AE=AF
解析：菱形中旋转60°，△ABE≌△ADF。
(2) 答案：EF=BE+DF
解析：旋转△ADF至△ABF'，证明△AEF≌△AEF'，得EF=EF'=BE+DF。
(3) 答案：EF=2
解析：分E在BC上或延长线，利用勾股定理和旋转性质求解。

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