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2025－2026学年度上学期第一次月考九年级数学试卷
2025.10.14
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）对于的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，随的增大而增大 B．顶点坐标
C．当时，随的增大而减小 D．对称轴为
4．（本题3分）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． 且 D． 且
5．（本题3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）已知是一元二次方程的两根，则 ．
12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ．
14．（本题3分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小值，如：按照这个规定，方程的解为 ．
15．（本题3分）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米．
16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题20分）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．（本题7分）已知抛物线．
(1)开口方向：__________；
(2)顶点坐标：__________；
(3)对称轴：__________；
(4)当__________时，的最__________值是__________；
(5)当__________时，随的增大而减小．
19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根．
20．（本题8分）某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价元，则：
(1)该衬衫的销量为 件，每件可获利 元；
(2)如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？
(3)商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？
21．（本题8分）消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处．
(1)求水流抛物线的解析式；
(2)已知高楼的点C处，离地面的高度是．
①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度；
②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法．
22．（本题10分）如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，？
(2)当t为何值时，的面积是面积的一半？
23．（本题11分）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．二次函数的图象经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是该函数在第一象限内图象上的一个动点，连接、，求的面积最大时，点P的坐标，并求出的最大面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
《2025－2026学年度上学期第一次月考九年级数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B C A C B B
1．C
【分析】本题考查了二次函数“一般地，形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意；
B、化简为，是一次函数，则此项不符合题意；
C、整理为，是二次函数，则此项符合题意；
D、是一次函数，则此项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程．将一元二次方程整理成一般形式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴一次项系数是．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线，再结合各个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线，
A、当时，随的增大而增大，此选项符合题意；
B、顶点坐标，此选项不符合题意；
C、当时，随的增大而增大，此选项不符合题意；
D、对称轴是直线，此选项不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键．
由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解．
【详解】∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴ 且，即且，
解得且，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的根据．根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，即．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染x人．初始有2人患病，第一轮传染后总人数为，第二轮传染后总人数为，根据题意，两轮后总患者数为162，由此建立方程．
【详解】解：第一轮传染：初始2人，每人传染x人，新增人．总患者数为．
第二轮传染：此时有人，每人再传染x人，新增人．总患者数为．
根据题意，两轮后总患者数为162，因此方程为：．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解．
【详解】解：∵水面宽为，
∴的横坐标为
把代入
得：
∴
∴此时拱顶到水面的距离为
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系，根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可．
【详解】解：A项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项A错误，不符合题意；
B项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项B错误，不符合题意；
C项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项C正确，符合题意；
D项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点B，C的坐标分别是，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在抛物线的图像上，
∴，
∴；
故选B．
10．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图象可知，，，
∴，
∴，故①正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
根据图象知对称轴为直线，则
∴
∴故③正确；
∵对称轴为直线
∴当和时，函数值相等
根据函数图象可得当时，，
∴当时，
∴即，故④错误；
∴当时，故⑤不正确．
故选：B．
11．2029
【分析】本题考查根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用整体思想即可解决问题．
【详解】解：因为、是一元二次方程的两根，
所以，
所以
，
故答案为：2029．
12．或
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵抛物线与直线交于两点，
∴由图象可知：的解集为：或；
故答案为：或．
13．或或
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．分别把M、N点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】解：当时，
把点代入，得；
把点代入，得，
如图：
∵如果抛物线与线段没有公共点，
∴a的取值范围为或．
当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点，
综上，a的取值范围是或或．
故答案为：或或．
14．或
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
分类讨论1与x的大小，分别求出方程的解，检验即可．
【详解】解：当时，，
，即，
解得：，（舍去），
当时，，
，即，
解得：，（舍去），
综上所述，方程的解为或．
故答案为：或．
15．4
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得．
【详解】解：由题意，将代入抛物线得：，
解得或，
抛物线的对称轴为直线，
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米，
故答案为：4．
16．/
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
在中，令，得，
即；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴关于直线对称，
∴，
∴；
∵，，
∴由勾股定理得：，
即，
∴点D的横坐标为，
∴．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）首先整理成一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）移项，利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
或
解得，；
（2）
或
解得，；
（3）
或
解得，；
（4）
或
解得，．
18．(1)向上
(2)
(3)直线
(4)，小，
(5)
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握二次函数图象开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性是解题的关键．
（1）中，开口向上，，开口向下；
（2）中顶点坐标为；
（3）中是对称轴；
（4）根据顶点坐标可得二次函数最值；
（5）根据增减性即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴函数图象开口向上；
（2）解：的顶点坐标为；
（3）解：的对称轴为；
（4）解：中当时，二次函数有最小值，最小值为；
（5）解：的对称轴为，开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
19．(1)且
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）根据一元二次方程根的定义和判别式得出，，根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：原方程可变为，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又，，
解得，，
∴且；
（2）解：根据题意知：，
解得：，
则方程为，即，
则，
∴，
解得．
20．(1)，；
(2)衬衫的单价应降元．
(3)商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据数量关系列方程并求解是解题的关键．
（1）根据单价降低与销量、每件获利的关系直接推导．
（2）根据总盈利每件盈利销量列出方程，求解后结合减少库存的要求确定答案．
（3）同样根据总盈利公式列出方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定能否达到相应盈利．
【详解】（1）解：因为单价每降元，多售出件，降价元，
所以销量为件；
原来每件盈利元，降价元，
所以每件可获利元，
故答案为：，；
（2）解：根据题意，，
解得，．
因为要尽快减少库存，
所以．
答：衬衫的单价应降元．
（3）解：假设能盈利元，则，
展开得，
整理得，
两边同时除以得．
判别式，
所以方程无实数根，不能每天盈利元．
所以商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．
答：商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．
21．(1)；
(2)①水枪竖直升高的高度为；②或
【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键；
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）①先设出平移后的解析式，然后代入点坐标进行计算即可；②同①方式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过点，
，
解得：，
∴水流抛物线的解析式为：；
（2）解：①设水枪竖直升高的高度为，
∴向上平移后抛物线的解析式为：，
∵过点，
，
解得：，
答：水枪竖直升高的高度为；
②设水枪水平向左移动，
∴向左平移后抛物线的解析式为：，
∵过点，
，
解得：，，
答：水枪水平向左移动或．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得；
（2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
且，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故当t值为1或时，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
化简得，
解得，
∵，
∴，
∴当t值为3时，的面积是面积的一半．
【点睛】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，写动点移动距离表达式，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键．
23．(1)
(2)点P的坐标为，的最大面积为
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解二次函数解析式；
（2）过点P作轴于点D，交于点E，设，则，求出，由，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
将代入，则．
，，
把，代入得：
，解方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
设，则，
∴，
∴，
当时，的最大面积为，
则，
∴．
24．(1)
(2)点D的坐标为
(3)存在，点
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解；
（3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，由铅垂法可得，然后问题可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
则点A、C的坐标分别为：、，
将A，C的坐标代入抛物线得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小；
如图1，为最小；
设直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，即点D的坐标为；
（3）解：的面积存在最大值；理由如下：
过点P作轴交于点H，如图2，
由（2）可得直线的表达式为，
设点，则点，
∴，的水平宽为3，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时点．
答案第1页，共2页

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