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2025年秋季九年级数学训练题（一）
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列等式中，是一元二次方程的是 ()
B. x+3=-2x C. x+3=-2y
2.二次函数 图象的顶点坐标为()
A.(-2, 1) B.(2, 1) C.(2, - 1) D. (-2, - 1)
3.已知关于x的一元二次方程 有一个根为x=0，则a的值为()
A. 0或-1 B. - 1 C. 1 D. 0
4.把二次函数 的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为()
A. y=2(x-3) -4 B. y=2(x+3) -4 C. y=2(x+3) +4 D. y=2(x-3) +4
5.对于一元二次方程 某学习小组给出了下列结论：
甲：两根之和是-4 乙：两根之积是5
丙：没有实数根 丁：有两个不相等的实数根
老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是 ()
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 关于二次函数y=-3(x-2) +5, 下列说法正确的是 ( )
A.其图象的开口向上 B.其图象的对称轴为直线x=-2
C.其最小值为5 D.当x<2时，y随x的增大而增大
7.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()
A. k<4 B. k>-4 C. k<4且k≠0 D. k>-4且k≠0
8. 已知点 (-1, ), (2, ),(4, ) 都在抛物线 上, 则, , 的大小关系是( )
9.我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等.问方(面)圆径各若干 ”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块(如图所示)，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少 设正方形田的边长为x，则可列出方程为 ()
10.已知二次函数 的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是()
x .. -1 0 1 2 3 4 …
y 5 0 -3 -4 -3 0 …
2025年秋季九年级数学训练题(一)(共4页)第1页
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是直线x=2
C. 当x=5时, y=5
D. 若A (1.2, y ), B (4.3, y ) 是图象上两点, 则y >y
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11.写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式： .
12.一个等腰三角形的底边长是6，两腰长是一元二次方程. 的一个根，则此三角形的周长是 .
13.已知x ，x 分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为 .
14. 若实数x, y满足( 则 的值为 .
15. 函数 在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 .
三、解答题(共9小题)
16.(本题满分8分)解下列一元二次方程：
17.(本题满分8分)根据条件求二次函数的解析式：
(1)已知抛物线的顶点坐标为(2，8)，与y轴的交点坐标为(0，10).
(2)抛物线 经过点A (-1, 0), B (2, 3).
18.(本题满分6分)如图是某校九年级班级门口的优秀事迹展示板.该展示板的长为40cm，宽为36cm.勤奋小组的同学负责将6张全等的、面积为 的矩形贴纸按两行三列粘贴在展示板上，要求贴纸之间及贴纸粘贴区域与展板边缘的距离均相等.请你帮勤奋小组的同学计算出该相等的距离为多少.
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19.(本题满分9分)已知二次函数
(1)求二次函数 图象的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中，直接画出二次函数. 的图象；
(3)当120.(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程
(1)若方程有一个解为0，求k的值；
(2)求证：方程有两个不相等的实数根.
21.(本题满分8分)如图，已知二次函数 的图象与x轴交于.A(-2,0),B(1, 0) 两点.
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P 在该二次函数的图象上，且△PAB 的面积为6，求点 P 的坐标.
22.(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程. 有实数根.
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x ，x ，且满足 求k的值.
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23.(本题满分8分)根据以下素材，完成下列任务.
背景素材
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升.
素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆.
素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元.
问题解决
任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.
24.(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线. 经过点A(-3,-4),与y轴交于点B (0, - 1).
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，且P 点横坐标为m(-3①连接 PA, PB, 求△PAB面积的最大值;
②过点 P 作 PN⊥x轴，垂足为N，过点 P 向抛物线的对称轴作垂线，垂足为M.记f=PM+PN, 求f关于m的函数解析式.
2025年秋季九年级数学训练题 (一)(共4页)第4页2025年秋季九年级数学训练题（一)
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列等式中，是一元二次方程的是（)
A.x2+3=-2x
B.x+3=-2x
C.x+3=-2y
+3=-2
D.1
2.二次函数y=2x-2)2-1图象的顶点坐标为（)
A.(-2,1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)
3.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2一2x十a2+a=0有一个根为x=0,则a的值为(
)
A.0或-1
B.-1
C.1
D.0
4.把二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应
的二次函数表达式为()
A.y=2x-3)2-4B.y=2x+3)2-4C.y=2x+3)2+4
D.y=2x-3)2+4
5.对于一元二次方程x2一4x十5=0，某学习小组给出了下列结论：
甲：两根之和是一4
乙：两根之积是5
丙：没有实数根
丁：有两个不相等的实数根
老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
6.关于二次函数y=一3(x一2)2+5，下列说法正确的是()
A.其图象的开口向上
B.其图象的对称轴为直线x=一2
C.其最小值为5
D.当x<2时，y随x的增大而增大
7.关于x的一元二次方程62一4x一1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（)
A.k<4
B.k>-4
C.k<4且0
D.k>-4且0
8.已知点（一1，y1),(2,2),（4,y3)都在抛物线y=一x2+2x十c上，则y1,2,的大
小关系是()
A.y3B.y1C.y2D.y19.
我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只
云方面圆径适等.问方（面）圆径各若干？”意思是：
现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示)，面积之和
为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问
正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田
的边长为x,则可列出方程为（)
A
+7a2=252
B.2+
=252C.x2+元x2=252
D.2x2+2πx2=252
10.已知二次函数y=ax2+bx十c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（)
-1
0
2
3
4
…
5
0
-3
-4
-30
2025年秋季九年级数学训练题（一)（共4页)第1页2025年秋季九年级数学训练题（一)
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分)
1.A.2.C.3.D.4.B.
5.C.
6.D.7.D.8.A.9.B.
10.D
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分)
11.y=-x2+1（答案不唯一).12.14.13.6.14.8.
15.-1或
三、解答题（共9小题）
16.（本题满分8分，每小题4分)
解：(1)x2-2x-8=0,(x-4)(x+2)=0,所以x1=4,x2=-2:
(2)3x2+x-5=0,△=12-4x3×(-5)=61>0,则=1
2×3
所以x=1+,
69
17.(本题满分8分，每小题4分)
解：(1)设抛物线对应的函数表达式为v=a(x一2)2+8，
把(0,10)代入上式，得a(0-2)2+8=10,解得a=
.抛物线对应的函数表达式为y=,(x-2)2+8=x2-2x+10.
-1-b+c=0
(2)将A,B两点坐标代入函数解析式得：
-4+2b+c=3
解得您子所以抛物线的表达式为)=一+2x+3:
18.(本题满分6分)
解：设该相等的距离为xcm,∴.(40-4x)(36一3x)=96×6.
x1=18(不符合题意，舍去)，2=4.
答：该相等的距离为4cm.
19.(本题满分9分，每小题3分)
解：(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴.该二次函数图象顶点坐标为(2，一1)：
(2)如图：
2-10
2
43
(3)由图象可知，当120.(本题满分8分，每小题4分)
解：(1)由条件可知：02-(2k+1)×0+2+k=0,
即2+k=0,解得：=0,2=一1，k的值为0或一1.
(2)证明：.△=b2-4ac=[-（2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
∴.方程有两个不相等的实数根.
21.(本题满分8分，每小题4分)
解：(1)把A(-2,0),B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：
〔-4-2b+c=0
(-1+b+c=0
解得伦2：÷二次函数解析式为)=一一x+2:
(2)设点P坐标为(m,-m2-m+2),
,△PAB的面积为6，AB=1-(一2)=3，
∴SAPIB-4B-lyP-2×3x-m2-m+2=6,∴m2+m-2=4,
即m2+m-2=4或m2+m-2=-4,
解m2+m-2=4得m=一3或m=2;方程m2+m一2=-4无实数解.
P(-3,-4)或(2，-4).
22.(本题满分8分，每小题4分)
解：(1).一元二次方程x2+2x十2+k=0有实数根，
∴.△=42-4(2+k)≥0..k≤0.
(2)由题意，方程x2+2kx十2+k=0的两个实数根分别为x1,x2,
.x1+x2=-2k,x1x2=k2+k.
∴x+x=(x1+x2）2-2x12=4K2-2k2-2k=2k2-2k.
x2+x号=12,2k2-2k=12,即k2-k-6=0.∴.k=-2或k=3.
又.结合（1)得，≤0，k=-2.
23.(本题满分8分，每小题4分)
解：(1)设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
根据题意得：3(1+x)2=5.07,
解得：x1=0.3=30%,2=一2.3（不符合题意，舍去)，
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%：
(2)设每辆汽车的售价下调y万元.
则每辆汽车的销售利润为(10一y)万元，平均每周可售出(8+2y)辆，
根据题意得：(10-y)(8+2y)=96,整理得：y2-6y+8=0.解得：y1=2,2=4,
又，此次销售尽量让利于顾客，∴y=4,此时，每辆汽车的售价为21万元.
答：下调后每辆汽车的售价为21万元.
24.(本题满分12分，每小题4分)
解：(1)将点A,点B的坐标分别代入y=x2+bx十c得：
3+64,解得：一，该抛物线的函数表达式为)=+4-1：
c=-1
(2)①设直线AB的解析式为y=x十n(k0),将点A,点B的坐标分别代入得：
十4，解得：你直线B的解折式为y=一，
n=-1
如图，过点P作PQ⊥x轴交AB于Q,

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