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湘教版（新课标）选择性必修第一册第三章
一、单选题
1.椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则( )
A. B. C. D.
2.以下关于圆锥曲线的命题中：
双曲线与椭圆有相同焦点；
以抛物线的焦点弦过焦点的直线截抛物线所得的线段为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条；
以上命题正确的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
4.直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为( )
A. 或 B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，，则等于 ( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆和双曲线的离心率之积为，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左，右两支交于点，，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.设是抛物线的焦点，经过点且斜率为的直线与交于，两点若为坐标原点的面积为，则( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的面积是( )
A. B. C. D.
11.若曲线与曲线的图像恰有三个不同的交点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知曲线，为上一点：
的取值范围为；
的取值范围为；
不存在点，使得；
的取值范围为．
则上述命题正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知抛物线的焦点为，且，，三点都在抛物线上，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 若直线过点，为坐标原点，则
C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
14.设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为
C. 存在直线，使得、两点关于对称
D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
15.椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是
A. 的周长为 B. 椭圆的离心率为
C. 的长为 D. 的面积为
16.已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足 的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则( )
A. 关于轴、轴均对称
B. 当点不在轴上时，
C. 当时，点的纵坐标的最大值大于
D. 当，有公共点时，
三、填空题
17.已知椭圆如图，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率为______．
18.已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于，两点其中点在第一象限，设，分别为，的内心，则的取值范围是__________．
19.如图，正方形的边长为，点，在直线上．是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推，其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线则的长度为______；由上述圆弧组成的曲线与直线恰有个交点时，曲线长度的最小值为______．
20.某学习小组研究一种卫星接收天线如图所示，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处如图所示已知接收天线的口径直径为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ．
四、解答题
21.如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，
求椭圆的方程；
设点关于轴的对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值．
22.已知双曲线：的左焦点为，其一渐近线的倾斜角为，过双曲线右焦点的直线与交于、两点．
求双曲线的方程．
已知点，点，直线、与轴分别交于点、，若，求直线的方程．
23.已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，设直线的斜率分别为．
求抛物线的方程，并证明；
已知，且三点共线，若且，求直线的方程．
24.某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，单位：十米，以下同，为的中点，椭圆的焦点在对称轴上，，在椭圆上，平行交于，且在的右侧，为灯光区，用于美化环境．
若椭圆的离心率为，且，求的面积
若学校的另一条道路满足，，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路的距离都不小于，求半椭圆形状的小湖的最大面积椭圆的面积为
答案和解析
1.【答案】
【解析】
设，，因为，
则，可得，
又，，
在中，由余弦定理可得：
，
式平方减去式得：，得：．
故选：．
2.【答案】
【解析】双曲线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，
所以双曲线与椭圆有相同的焦点，正确；
不妨设抛物线为标准抛物线：，即抛物线位于轴的右侧，以轴为对称轴．
设过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离是．
而到准线的距离，到准线的距离．
又到准线的距离是梯形的中位线，故有，
由抛物线的定义可得：半径．
所以圆心到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切，正确．
平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，
当时是双曲线的一支，当时，表示射线，所以不正确；
过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点，
当直线的斜率不存在时，横坐标之和等于，不合题意；
当直线的斜率为时，只有一个交点，不合题意；
设直线的斜率为，则直线为，
代入抛物线得，；
、两点的横坐标之和等于，
，解得，
这样的直线有且仅有两条．命题正确；
综上正确。
故选C．
3.【答案】
【解析】设，，为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在三角形中，，
可得，
即有，
可得，
即为，
由，可得，
故选A．
4.【答案】
【解析】直线：与双曲线：的渐近线平行时，，与双曲线的右支只有一个交点，
直线：与双曲线：的左右两支各有一个交点，
的取值范围为，
故选D．
5.【答案】
【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标，
如图：分别过点，点作与抛物线准线垂直的直线，交准线于点，，过点作的垂线，垂足为，
，，可得，
所以，
直线的斜率为，直线方程为：，
代入抛物线方程可得：，
设，，则，
，，
可得，
解得．
故选C．
6.【答案】
【解析】设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则由已知得：，，
，解得，
双曲线的方程为，则它的渐近线为，倾斜角为和．
故答案选C．
7.【答案】
【解析】根据双曲线定义，，
因为为正三角形，所以，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理，
2
，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选D．
8.【答案】
【解析】抛物线的焦点，
设直线的方程为，
代入抛物线方程，得，
设，，
则，，
所以的面积为，解得．
故答案为．
9.【答案】
【解析】设 ，则 ，所以 ，
因为 ，即 ，故 ，
所以 ，
所以 ，故 ，即 ，
所以 ．
故选：．
10.【答案】
【解析】以 代换 ，方程 不变，
故曲线： 关于原点及轴，轴对称，
当 时，可得 ，即 ，
可得此时曲线是以 为圆心， 为半径的半圆，
由此作出曲线的图象如图所示，
所以曲线围成的图形的面积是 ，故选：
11.【答案】
【解析】曲线，即为或，
则曲线表示一条过点的直线和抛物线，
曲线，即为，
则曲线表示以为圆心，为半径的半圆其中，
如图所示：
由与联立，可得
即抛物线与曲线有且仅有个交点，
因为曲线与曲线有个不同交点，
则直线与曲线有个不同于点的交点，
由图可知当直线过点时，
由，可得，
当直线与半圆相切时，
圆心到直线的距离为，解得或，
由图可知，
故的取值范围为．
故选：．
12.【答案】
【解析】分段讨论可知曲线是由两段双曲线弧，
以及一段椭圆弧组合而成如图所示，
显然不正确；
表示点到原点距离的平方，
由图知当点位于的短轴的端点时，最小，
此时，故正确；
显然曲线在双曲线和的渐近线的下方，
则对任意点，，故正确
表示点到直线的距离，
显然直线在直线的上方且与之平行，二者之间的距离为，故，
由图知当点为直线与椭圆弧的切点时，点到直线的距离最大，
易求当时，直线与椭圆弧相切，此时直线与直线间的距离为，
所以点到的距离最大值为，即，
所以，故正确．
故选C．
13.【答案】
【解析】选ABD对于，因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确
对于，显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，，由得，所以，所以，所以，故B正确
对于，因为，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段的中点到轴距离的最小值为，故C错误
对于，显然直线，的斜率存在且不为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，又直线与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线的方程为，故D正确．
14.【答案】
【解析】由得，解得，所以，所以A错误；
过作垂直准线于，则，当、、共线时等号成立，所以B正确；
设，设中点，则，相减得到，
即，，故，点在抛物线上，不成立，所以C错误；
如图所示：为的中点，故DG，故AF为直径的圆与轴相切，所以D正确．
故选BD．
15.【答案】
【解析】由题意：为面积是的正三角形，
故且，
故，，
的周长为，故A正确
椭圆的离心率，故B错误
设，则，由知
由余弦定理：，
所以，
，故C错误、D正确，
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，设，由，得，将代入
得，
将代入得，
所以关于轴、轴均对称，故A正确
对于，当不在轴上时，与，不共线，可以作为一个三角形的三个顶点，所以，故B错误
对于，当时，，当时，，所以，，则，此时，即，故当时，存在值大于，所以的最大值大于，故C正确
对于，由，得为椭圆，易求其方程为，所以，
代入，
得，
所以，因为，所以或，
所以或舍，所以，
故D正确．
故选ACD．
17.【答案】
【解析】设圆心为，直线与圆的切点为，
过的直线和圆相切的直线为，，．
将点坐标代入，解得，即．
由题意可得，所以根据勾股定理可得
，
由题意，，
又
，
解得 或舍去，
所以椭圆的离心率为．
故答案为： ．
18.【答案】
【解析】设，，上的切点分别为、、，
则，，．
由得，
，即．
设内心的横坐标为，则点的横坐标也为，则，
得，所以轴，则为直线与轴的交点，
同理可得的内心在直线上，
设直线的倾斜角为，则，，
，
当时，
当时，由题知，，，，
因为，两点在双曲线的右支上，
，且，所以或，
且，
，
综上所述，．
故答案为．
19.【答案】
【解析】由题可知所在圆的半径为，所以的长度即个圆弧，
所以的长度为，当圆弧组成的曲线与直线恰有个交点时，
此时与直线的交点为，，，，，，曲线长度的最小，
即由下面个圆弧围成，
，，，，，，，，，，，
它们的圆弧半径依次为，，，，，，，，，，，，
所以曲线长度的最小值为．
故答案为：；．
20.【答案】
【解析】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点即抛物线的顶点与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线方程为，代入，
所以，解得，
所以抛物线方程为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为．
21.【解析】由题意可知，，，，，
，
，
即，
，
，
，
，
又，
，，，
椭圆方程为；
由得，则，
设，则有，
直线的方程为，
令，整理得，
同理可得点的横坐标，
所以点，的横坐标之积，
因为，所以．
故点，的横坐标之积为定值．
22.【解析】由题意知：
，解得，
双曲线的方程为；
设直线的方程为，联立方程，
得，
设，，
则，，
直线为，
令，得，
点为，
同理，为，
，即，
则，
得，
，
，
得，
，，
直线为，即．
23.【解析】由题抛物线 ， ，且 ，
根据抛物线的定义，可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ，且点 ，
设点 ，可得 ，同理 ，
，
所以 ， ，
所以 ；
由 ，且 三点共线，
设直线 的方程为 ，其中 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ， ，
又由 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
由知 ，所以 ，且 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．

24.【解析】以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设椭圆方程为．
由题意可知，，，
又，，，
椭圆方程为，
易知，，则百平方米．
由题意可知直线的方程为，
因为椭圆上任意一点到道路的距离都不小于，
所以椭圆面积最大时与一条平行于且距离为的直线相切，
设直线，
由两条直线之间的距离为，可得，
解得或舍，
设椭圆方程为，联立方程
得，
，，，，
即半椭圆形状的小湖的最大面积为百平方米．
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