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四川省成都市成华区2024-2025学年八年级下学期期末学业检测数学试题
一、A卷，选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·成华期末）若分式的值为正数，则x的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵分式的分子为正数，分式值为正数，
∴分母为正数，
∴x-1＞0，
∴x>1
故答案为：A.
【分析】根据分式值为正判断x的取值范围即可.
2．（2025八下·成华期末）下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A为轴对称图形但不是中心对称图形；
B为中心对称图形但不是轴对称图形；
C为轴对称图形但不是中心对称图形；
D为轴对称图形，同时也是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】此题考查轴对称图形和中心对称图形.轴对称图形是指一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。
3．（2025八下·成华期末）关于x的两个不等式合成一个不等式组，其中两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为（　　）
A．x≥0 B．x<2 C．0≤x<2 D．0【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据不等式在数轴上的表示方法，
得解集包含0，但不含2
故答案为：C.
【分析】根据解集在数轴上的表示规则判断即可.
4．（2025八下·成华期末）能使不等式5x-1<6成立的x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：不等式的解为x<.
故答案为：A.
【分析】解不等式即可.
5．（2025八下·成华期末）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．9
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3=
故答案为：D.
【分析】将所求式子进行因式分解后代入计算即可.
6．（2025八下·成华期末）如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．AD=BC D．OA=OB
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对边分别相等，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质判断即可.
7．（2025八下·成华期末）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋粽子的售价降低2元、经测算，同样花240元，降价后可以比降价前多买10袋，求每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题可列：
故答案为：B.
【分析】根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程.
8．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长AF交BC于点G.若△ACG的面积为8，则△ABG的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作GM⊥AB交AB于点M，
∵AG为角平分线，
∴CG=GM，
∵ ∠C=90°，∠B=30° ，
∴AB=2AC，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质，△ACG与△ABG的高相等，从而判断底边AC与AB的比即可.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025八下·成华期末）把a3-a因式分解得　 　.
【答案】a（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： a3-a =a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）.
【分析】利用提取公因式和平方差公式分解因式即可.
10．（2025八下·成华期末）要使分式有意义，则x需满足的条件是　 　.
【答案】x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分时有意义，则x+2≠0，
即x≠-2
故答案为：x≠-2.
【分析】根据分式有意义的条件判断即可.
11．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB，AC的垂直平分线分别与BC交于点D，E，若BC=4，则△ADE的周长是　 　.
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由垂直平分线可知：AD=BD，AE=EC，
△ADE周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=4，
故答案为：4.
【分析】利用中垂线的性质，将周长中的AD和AE边转移即可.
12．（2025八下·成华期末）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，若OA=6，OB=3，则关于x的不等式kx+b>0（k≠0）的解集是　 　.
【答案】x＜6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解： kx+b>0 即为y>0，
根据图像，此时满足要求的点在A点左侧的一次函数图象上，
∴x<6，
故答案为：x<6.
【分析】结合图像分析即可.
13．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D为AB的中点，点E在AC边上（不与端点重合），将射线DE绕点D顺时针旋转90°后与BC交于点F，则四边形CEDF的面积是　 　.
【答案】9
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠C=90°，AC=BC，D为AB中点，
∴CD=AD=DB，∠A=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵AD=DC，
∴∠ACD=∠A=∠B=45°，
∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△FDB，
∴，
故答案为：9.
【分析】连接CD，根据ASA证明△CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积等于△CDB的面积.
三、解答题（本题共5个小题，共48分）
14．（2025八下·成华期末）
（1）求不等式的正整数解；
（2）解方程：；
【答案】（1）解：去分母得：1+x≥3x-3
移项得：x－3x≥－3－1
合并同类项得：-2x≥-4
系数化为1得：x≤2
∴原不等式的正整数解为1，2
（2）解：
去分母得：2+x(x+1)=(x+1)(x－1)
解得：x=-3
经检验，原方程的根是x=-3
【知识点】一元一次不等式的特殊解；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解不等式的基本步骤得到解集，再根据要求取出正整数解；
(2)根据解分式方程的基本步骤解出x的值，再检验x是否为增根.
15．（2025八下·成华期末）
（1）解不等式组：
（2）先化简：，然后在-2，0，1，2中选取一个合适的数作为a代入求值.
【答案】（1）解：由不等式①得：
由不等式②得：
原不等式组的解集为
（2）解：原式=
=
=
由分母不为零可知：，，所以或
当时，原式=
或当时，原式=
【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可.
16．（2025八下·成华期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，4），B（-2，2），C（-5，3）．
（1）请画出关于y轴对称的 （点A，B，C的对应点分别是）；
（2）将（1）中的绕原点O顺时针旋转得到（点的对应点分别是），请画出；
（3）在（1）（2）条件下，连接AO，，，求的面积.
【答案】（1）解：如图
就是所求作的三角形
（2）解：如图
就是所求作的三角形
（3）解：方法一：
由作图知 ，
∴直线 的解析式是
设 交 y 轴于 D，则
∴
方法二：过点A作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，两线交于点E，连接OE
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可.
17．（2025八下·成华期末）共享单车低碳环保，通过扫码开锁，循环共享，为适应共享单车出行市场需求，某共享单车公司准备购买A，B两种型号的共享单车.已知A型共享单车比B型共享单车单价少100元，用1200元购买A型共享单车的数量和用1600元购买B型共享单车的数量相同.
（1）求A，B两种型号的共享单车的单价分别是多少元？
（2）该公司计划购买A，B两种型号的共享单车共400辆，其中A型共享单车的数量
不超过B型共享单车数量的且不低于B型共享单车数量的。问当购买A型共享单车多少辆时，所需的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设A型单车的单价为x元，则B型单车的单价为元，
由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，符合题意，
，
答：A，B两种型号的单车的单价分别是300元和400元
（2）解：设购买A型单车m辆，则购买B型单车（400-m）辆，所需总费用为w元，
由题意得：w=300m+400(400-m)=-100m+160000，
由题意得： (400-m) ≤m≤(400-m)，
解得：100≤m≤160，
∵w是m的一次函数，-100<0，
∴w随着 m 的增大而减小，
∵m取正整数，
∴当m=1600时，W最少=100×160+16000=144000（元），
答：当购买A型单车160辆时，所需的总费用最少，最少费用为144000元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号共享单车的单价是x元，则B种型号共享单车的单价是（x+100）元，根据用1200元购买A型共享单车的数量和用1600元购买B型共享单车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设购买A种型号共享单车a辆，所需的总费用为w元，则购买B种型号共享单车（400-a）辆，根据A型共享单车的数量不超过B型共享单车数量的且不低于B型共享单车数量的，列出一元一次不等式，求出a的取值范围，再根据费用=单价×数量，列出一次函数式，由一次函数的性质即可得出结果．
18．（2025八下·成华期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.
（1）求证：B'E=DE：
（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；
（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：如图
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，，
∴，，
在 和 中，
∴ (AAS)，
∴
（2）解：设，
∵ 在平行四边形 ABCD 中 ，
∴，
∴，
∵ 沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
，
当 时， ，
∴60+x=120－2x，
解得x=20°，
∴∠BAC＝100°
（3）解：如图1，当∠AB'D=90°时，
由（1）得，B'E=DE，
可推出AE=B'E，则B'E为AD边上的中线，
由折叠知∠B=∠AB'E=60°，
∴△AB'E为正三角形，
∴AD=2AE=2AB'=6，∠B'AE=60°，
由（2），易证四边形AB'DC为矩形，
∴AC=B'D=，
ABCD的面积=AB·AC=；
如图2，当∠B'AD=90°时，
∠B=∠AB'E=60°，
∴ED=B'E=2B'A=6，AE=，
过A作AM⊥BC，
∵AB=3，∠B=60°，
∴AM=，
ABCD的面积=AD·AM=；
综上，平行四边形ABCD的面积是或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）设∠5=x，则，可推出，从而，解得x=20，得到∠BAC度数；
（3）由题，可分为∠AB'D=90°和∠B'AD=90°两种情况进行讨论，当∠AB'D=90°，可推得△AB'E为正三角形，从而得∠B'AD=60°，由此可得B'D即AC的长度，即可表示面积；当∠B'AD=90°时，作AM⊥BC，在Rt△ABM和Rt△B'AE中，利用60°角可求得AM和AE的长，从而得到AD和AM长，进而表示面积.
四、B卷，填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025八下·成华期末）已知，则代数式的值是　 　.
【答案】3
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】对分式中的分子分母进行因式分解化简即可.
20．（2025八下·成华期末）如图，直线l与正五边形ABCDE的边BC，AE（端点除外）分别交于点F，G，则∠1+∠2的度数等于　 　.
【答案】144°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∠1=∠BFG，∠2=∠AGF，正五边形的内角为，
∵∠A+∠B+∠BFG+∠AGF=360°，
∴ ∠1+∠2 =∠BFG+∠AGF=360°-108°-108°=144°
故答案为：144°.
【分析】∠1与∠2的对顶角与∠A，∠B的和为四边形的内角和360°，从而得解.
21．（2025八下·成华期末）对于实数a，b，我们定义运算“”为：ab=a+3b，例如52=5+3×2=11.若关于x的不等式xm<2有且只有一个正整数解，则m的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：xm，
∴x<2-3m，
∵x有且只有一个正整数解，
∴1<2-3m≤2，
∴，
故答案为：.
【分析】由 xm<2 化简得x<2-3m，根据题目要求应当满足条件1<2-3m≤2，从而得解.
22．（2025八下·成华期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；...继续操作下去，则　 　.若，则的值是　 　.
【答案】；48
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，，
，，
，，
，，
由此总结规律，当n为偶数时，有
；
若，则x=，
∴=，
故答案为：，48.
【分析】依照步骤操作，得到规律：当n为偶数时，有代入规律计算得解.
23．（2025八下·成华期末）如图，在 ABCD中，，，，将线段BC沿一条直线折叠得到线段B'C'（点B，C的对应点分别是点B'，C'）.若线段B'C'恰好落在直线AD上，则B'D的长是　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由题可知， 若线段B'C'恰好落在直线AD上 ，则此时MN∥BC∥B'C'，∠CBB'=∠NB'D=90°，
B和B'关于MN对称，
∴BB'⊥MN，且N为BB'中点，
∴BM=MB'，
又∵∠NB'A=90°，
∴BM=MB'=MA=，
∴∠A=∠MB'A=75°，∠AMB'=30°，
在△AMB'中，作AP⊥MB'，
∴AP=，MP=，
∴PB'=MB'-MP=，
∴，
∴B'D=AD-AB'=.
故答案为：.
【分析】由折叠即对称性，分析得线段B'C'恰好落在直线AD上时，△ABB'为直角△，此时AB与对称轴所在直线的交点M为直角三角形斜边上的中点，利用直角三角形斜边上中线的性质和含30°的直角三角形三边的比例关系，可求得AB'的值，从而求解B'D.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025八下·成华期末）某校在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结，若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳22米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳14米.
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米？
（2）该校决定编织大、小两种中国结共50个，所用绳长总共不超过175米，那么最多可以编织多少个大号中国结？
【答案】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：
解得：
答：编织1个大号中国结需用绳5米和编织1个小号中国结需用绳3米.
（2）解：设编织大号中国结m个，则编织小号中国结个
根据题意得：
解得：
答：最多可以编织12个大号中国结.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，1个小号中国结需用绳y米，根据“编织2个大号中国结和4个小号中国结，需用绳22米；编织1个大号中国结和3个小号中国结，需用绳14米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以编织m个大号中国结，则编织（50-m）个小号中国结，根据所用绳长总共不超过175米，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
25．（2025八下·成华期末）在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点A顺时针旋转∠B的度数得到对应线段AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F.
（1）如图1，当∠B=60°时，某同学想利用AD=AE构造全等三角形，尝试在AB上取点G，使AG=EF（或使BG=BD），参考他的思路，求证：AB=BD+EF；
（2）如图2，当∠B=45°时，线段AB，BD，EF之间又有何数量关系？写出结论并证明；
（3）当∠B=30°，AC=3，EF=2时，请直接写出CD的长.
【答案】（1）证明：在AB上取点G，使AG=EF，连接DG（若使BG=BD，证法与（2）类似)
∵EF/IBC
∴∠3＝∠B＝60°
∵∠3=∠E+∠2
∴∠E+∠2=60°
∵AD旋转∠B的度数得到AE，∠B=60°
∴∠1+∠2=60°，AE=AD
∴∠E=∠1
在和中
∴△AEF≌△DAG(SAS)
∴∠4=25°
∵∠3＝60°
∴∠4=120°
∴∠5=120°
∴∠6=120°
∵∠B=60°
∴△BDG是等边三角形
∴BD=BG
∵AB=BG+AG，AG=EF
∴AB=BD+EF
（2）解：AB， BD， EF之间的数量关系是：
证明： 过点D作BC的垂线， 交AB于点G
(若在AB上取点G， 使， 证法与(1)类似)
是等腰直角三角形，
∵∠E+∠5=∠3=45°，∠6+∠5=∠B=45°
∴∠E=∠6
在和中
∵
∴
（3）CD 的长为5 或1
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）解：如图1，在AB上取点G使得AG=EF，连接GD，
由（1）得，△AEF≌△DAG，
∴∠E=∠DAG，∠EAF=∠GDA，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFB，
∵∠EFB=∠E+∠EAF=∠DAG+∠GDA=∠BGD，
∴∠B=∠BGD，
∴BD=GD，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC= 3 ，
∴AB=6 ，BC=9，
BG=AB-AG=AB-EF=4，
∵BD=GD，∠B=30°，
∴，
∴DC=BC-BD=5；
如图2，延长BA至点G，使AG=EF， 连接GD，
同理可证BD=DG，BG=AB+AG=AB+EF=8，
∴
∴DC=BC-BD=1；
综上，CD 的长为5 或1.
【分析】（1）在AB上取点G，使BG=BD，根据等边三角形的性质得到DG=BD=BG，∠BGD=60°，根据平行线的性质得到∠EFB=∠B=60°，求得∠AFE=∠AGD=120°，根据旋转的性质得到∠EAD=60°，AE=AD，根据全等三角形的性质得到AF=DG，EF=AG，于是得到AB=AG+BG=BD+EF；
（2）过D作DG⊥BC交AB于G，得到△BDG是等腰直角三角形，求得BG=BD，由（1）知△AEF≌△DAG，根据全等三角形的性质得到AG=EF，求得AB=AG+BG=EF+BD；
（3）分EF在△ABC外侧和内侧两种情况进行讨论，同（1），在AB或AB延长线上取G使AG=EF，构造△AEF≌△△DAG，证明BD=GD，同时有∠B=30°，利用BG=BD，可求得BD的长，从而求得DC长.
26．（2025八下·成华期末）如图，直线y=x+b与x轴，y轴及直线y=-x+5分别交于点A（-2，0），B，C.
（1）求点B和点C的坐标；
（2）M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作□ABNM，连接CM，CN.
①求CM+CN的最小值；
②在点M移动过程中，∠CMN能否等于45°？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：把点 代入 得 ，
解得 ，
直线 为 ，
令 中 得 ，
，
解方程组 得 ，
（2）解：①解法一：如图，作点B关于×轴的对应点B'，连接 BM，B'M，B'C，
则B'M=BM，
∵A(－2，0)，B(0，1)，C(2，2)，
∴B'(0，-1)，AB==BC，
∵四边形ABNM是平行四边形，
∴ABMN，
∴BCMN，
∴四边形 BMNC 是平行四边形，
∴CN=BM＝B'M，
∴CM+CN=CM+B'M，
当C，M，B'三点共线时，CM+B'M有最小值，最小值为B'C的长，
∵B'(0，-1)，C（2，2)，
，
∴在点M移动过程中，CM+CN有最小值，最小值为.
解法二：如图，过点C作x轴的平行线l，将线段BN以直线l为对称轴翻折，得到对应线段B'N'，连接B'A，N'M，N'C，具体过程参考解法一.
②
过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交于F点， ∵∠CMN=45°，
易证△CME≌△QCF（AAS），
∴EC=FQ，EM=CF=2，
设M（m，0），
∴Q（4，m），
∵AB∥MN，且MN过点M
∴直线MN的解析式为，
将Q点坐标代入，
∴m=，
∴M（，0）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先求出直线AB的解析式，再求两直线交点坐标即可；
（2）①作C点关于x轴的对称点G，连接MG，则CM=MG，过点G点作GH∥AB，过点N作NH∥MG，交于H点，则四边形MGHN是平行四边形，MG=HN，根据AB∥GH，AB=GH，求出H（4，-1），则CM+CN的最小值为CH的长；
②过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交于F点，证明△CME≌△QCF，设M（m，0），则Q（4，m），Q点在直线MN上，可得m=，从而得解.
1 / 1四川省成都市成华区2024-2025学年八年级下学期期末学业检测数学试题
一、A卷，选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·成华期末）若分式的值为正数，则x的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2．（2025八下·成华期末）下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
3．（2025八下·成华期末）关于x的两个不等式合成一个不等式组，其中两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为（　　）
A．x≥0 B．x<2 C．0≤x<2 D．04．（2025八下·成华期末）能使不等式5x-1<6成立的x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025八下·成华期末）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．9
6．（2025八下·成华期末）如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．AD=BC D．OA=OB
7．（2025八下·成华期末）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋粽子的售价降低2元、经测算，同样花240元，降价后可以比降价前多买10袋，求每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长AF交BC于点G.若△ACG的面积为8，则△ABG的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025八下·成华期末）把a3-a因式分解得　 　.
10．（2025八下·成华期末）要使分式有意义，则x需满足的条件是　 　.
11．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB，AC的垂直平分线分别与BC交于点D，E，若BC=4，则△ADE的周长是　 　.
12．（2025八下·成华期末）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，若OA=6，OB=3，则关于x的不等式kx+b>0（k≠0）的解集是　 　.
13．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D为AB的中点，点E在AC边上（不与端点重合），将射线DE绕点D顺时针旋转90°后与BC交于点F，则四边形CEDF的面积是　 　.
三、解答题（本题共5个小题，共48分）
14．（2025八下·成华期末）
（1）求不等式的正整数解；
（2）解方程：；
15．（2025八下·成华期末）
（1）解不等式组：
（2）先化简：，然后在-2，0，1，2中选取一个合适的数作为a代入求值.
16．（2025八下·成华期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，4），B（-2，2），C（-5，3）．
（1）请画出关于y轴对称的 （点A，B，C的对应点分别是）；
（2）将（1）中的绕原点O顺时针旋转得到（点的对应点分别是），请画出；
（3）在（1）（2）条件下，连接AO，，，求的面积.
17．（2025八下·成华期末）共享单车低碳环保，通过扫码开锁，循环共享，为适应共享单车出行市场需求，某共享单车公司准备购买A，B两种型号的共享单车.已知A型共享单车比B型共享单车单价少100元，用1200元购买A型共享单车的数量和用1600元购买B型共享单车的数量相同.
（1）求A，B两种型号的共享单车的单价分别是多少元？
（2）该公司计划购买A，B两种型号的共享单车共400辆，其中A型共享单车的数量
不超过B型共享单车数量的且不低于B型共享单车数量的。问当购买A型共享单车多少辆时，所需的总费用最少？最少费用是多少元？
18．（2025八下·成华期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.
（1）求证：B'E=DE：
（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；
（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.
四、B卷，填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025八下·成华期末）已知，则代数式的值是　 　.
20．（2025八下·成华期末）如图，直线l与正五边形ABCDE的边BC，AE（端点除外）分别交于点F，G，则∠1+∠2的度数等于　 　.
21．（2025八下·成华期末）对于实数a，b，我们定义运算“”为：ab=a+3b，例如52=5+3×2=11.若关于x的不等式xm<2有且只有一个正整数解，则m的取值范围是　 　.
22．（2025八下·成华期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；...继续操作下去，则　 　.若，则的值是　 　.
23．（2025八下·成华期末）如图，在 ABCD中，，，，将线段BC沿一条直线折叠得到线段B'C'（点B，C的对应点分别是点B'，C'）.若线段B'C'恰好落在直线AD上，则B'D的长是　 　.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025八下·成华期末）某校在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结，若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳22米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳14米.
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米？
（2）该校决定编织大、小两种中国结共50个，所用绳长总共不超过175米，那么最多可以编织多少个大号中国结？
25．（2025八下·成华期末）在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点A顺时针旋转∠B的度数得到对应线段AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F.
（1）如图1，当∠B=60°时，某同学想利用AD=AE构造全等三角形，尝试在AB上取点G，使AG=EF（或使BG=BD），参考他的思路，求证：AB=BD+EF；
（2）如图2，当∠B=45°时，线段AB，BD，EF之间又有何数量关系？写出结论并证明；
（3）当∠B=30°，AC=3，EF=2时，请直接写出CD的长.
26．（2025八下·成华期末）如图，直线y=x+b与x轴，y轴及直线y=-x+5分别交于点A（-2，0），B，C.
（1）求点B和点C的坐标；
（2）M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作□ABNM，连接CM，CN.
①求CM+CN的最小值；
②在点M移动过程中，∠CMN能否等于45°？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵分式的分子为正数，分式值为正数，
∴分母为正数，
∴x-1＞0，
∴x>1
故答案为：A.
【分析】根据分式值为正判断x的取值范围即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A为轴对称图形但不是中心对称图形；
B为中心对称图形但不是轴对称图形；
C为轴对称图形但不是中心对称图形；
D为轴对称图形，同时也是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】此题考查轴对称图形和中心对称图形.轴对称图形是指一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据不等式在数轴上的表示方法，
得解集包含0，但不含2
故答案为：C.
【分析】根据解集在数轴上的表示规则判断即可.
4．【答案】A
【知识点】判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：不等式的解为x<.
故答案为：A.
【分析】解不等式即可.
5．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3=
故答案为：D.
【分析】将所求式子进行因式分解后代入计算即可.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对边分别相等，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质判断即可.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题可列：
故答案为：B.
【分析】根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作GM⊥AB交AB于点M，
∵AG为角平分线，
∴CG=GM，
∵ ∠C=90°，∠B=30° ，
∴AB=2AC，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质，△ACG与△ABG的高相等，从而判断底边AC与AB的比即可.
9．【答案】a（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： a3-a =a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）.
【分析】利用提取公因式和平方差公式分解因式即可.
10．【答案】x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分时有意义，则x+2≠0，
即x≠-2
故答案为：x≠-2.
【分析】根据分式有意义的条件判断即可.
11．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由垂直平分线可知：AD=BD，AE=EC，
△ADE周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=4，
故答案为：4.
【分析】利用中垂线的性质，将周长中的AD和AE边转移即可.
12．【答案】x＜6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解： kx+b>0 即为y>0，
根据图像，此时满足要求的点在A点左侧的一次函数图象上，
∴x<6，
故答案为：x<6.
【分析】结合图像分析即可.
13．【答案】9
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠C=90°，AC=BC，D为AB中点，
∴CD=AD=DB，∠A=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵AD=DC，
∴∠ACD=∠A=∠B=45°，
∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△FDB，
∴，
故答案为：9.
【分析】连接CD，根据ASA证明△CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积等于△CDB的面积.
14．【答案】（1）解：去分母得：1+x≥3x-3
移项得：x－3x≥－3－1
合并同类项得：-2x≥-4
系数化为1得：x≤2
∴原不等式的正整数解为1，2
（2）解：
去分母得：2+x(x+1)=(x+1)(x－1)
解得：x=-3
经检验，原方程的根是x=-3
【知识点】一元一次不等式的特殊解；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解不等式的基本步骤得到解集，再根据要求取出正整数解；
(2)根据解分式方程的基本步骤解出x的值，再检验x是否为增根.
15．【答案】（1）解：由不等式①得：
由不等式②得：
原不等式组的解集为
（2）解：原式=
=
=
由分母不为零可知：，，所以或
当时，原式=
或当时，原式=
【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可.
16．【答案】（1）解：如图
就是所求作的三角形
（2）解：如图
就是所求作的三角形
（3）解：方法一：
由作图知 ，
∴直线 的解析式是
设 交 y 轴于 D，则
∴
方法二：过点A作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，两线交于点E，连接OE
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可.
17．【答案】（1）解：设A型单车的单价为x元，则B型单车的单价为元，
由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，符合题意，
，
答：A，B两种型号的单车的单价分别是300元和400元
（2）解：设购买A型单车m辆，则购买B型单车（400-m）辆，所需总费用为w元，
由题意得：w=300m+400(400-m)=-100m+160000，
由题意得： (400-m) ≤m≤(400-m)，
解得：100≤m≤160，
∵w是m的一次函数，-100<0，
∴w随着 m 的增大而减小，
∵m取正整数，
∴当m=1600时，W最少=100×160+16000=144000（元），
答：当购买A型单车160辆时，所需的总费用最少，最少费用为144000元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号共享单车的单价是x元，则B种型号共享单车的单价是（x+100）元，根据用1200元购买A型共享单车的数量和用1600元购买B型共享单车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设购买A种型号共享单车a辆，所需的总费用为w元，则购买B种型号共享单车（400-a）辆，根据A型共享单车的数量不超过B型共享单车数量的且不低于B型共享单车数量的，列出一元一次不等式，求出a的取值范围，再根据费用=单价×数量，列出一次函数式，由一次函数的性质即可得出结果．
18．【答案】（1）证明：如图
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，，
∴，，
在 和 中，
∴ (AAS)，
∴
（2）解：设，
∵ 在平行四边形 ABCD 中 ，
∴，
∴，
∵ 沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
，
当 时， ，
∴60+x=120－2x，
解得x=20°，
∴∠BAC＝100°
（3）解：如图1，当∠AB'D=90°时，
由（1）得，B'E=DE，
可推出AE=B'E，则B'E为AD边上的中线，
由折叠知∠B=∠AB'E=60°，
∴△AB'E为正三角形，
∴AD=2AE=2AB'=6，∠B'AE=60°，
由（2），易证四边形AB'DC为矩形，
∴AC=B'D=，
ABCD的面积=AB·AC=；
如图2，当∠B'AD=90°时，
∠B=∠AB'E=60°，
∴ED=B'E=2B'A=6，AE=，
过A作AM⊥BC，
∵AB=3，∠B=60°，
∴AM=，
ABCD的面积=AD·AM=；
综上，平行四边形ABCD的面积是或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）设∠5=x，则，可推出，从而，解得x=20，得到∠BAC度数；
（3）由题，可分为∠AB'D=90°和∠B'AD=90°两种情况进行讨论，当∠AB'D=90°，可推得△AB'E为正三角形，从而得∠B'AD=60°，由此可得B'D即AC的长度，即可表示面积；当∠B'AD=90°时，作AM⊥BC，在Rt△ABM和Rt△B'AE中，利用60°角可求得AM和AE的长，从而得到AD和AM长，进而表示面积.
19．【答案】3
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】对分式中的分子分母进行因式分解化简即可.
20．【答案】144°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∠1=∠BFG，∠2=∠AGF，正五边形的内角为，
∵∠A+∠B+∠BFG+∠AGF=360°，
∴ ∠1+∠2 =∠BFG+∠AGF=360°-108°-108°=144°
故答案为：144°.
【分析】∠1与∠2的对顶角与∠A，∠B的和为四边形的内角和360°，从而得解.
21．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：xm，
∴x<2-3m，
∵x有且只有一个正整数解，
∴1<2-3m≤2，
∴，
故答案为：.
【分析】由 xm<2 化简得x<2-3m，根据题目要求应当满足条件1<2-3m≤2，从而得解.
22．【答案】；48
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，，
，，
，，
，，
由此总结规律，当n为偶数时，有
；
若，则x=，
∴=，
故答案为：，48.
【分析】依照步骤操作，得到规律：当n为偶数时，有代入规律计算得解.
23．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由题可知， 若线段B'C'恰好落在直线AD上 ，则此时MN∥BC∥B'C'，∠CBB'=∠NB'D=90°，
B和B'关于MN对称，
∴BB'⊥MN，且N为BB'中点，
∴BM=MB'，
又∵∠NB'A=90°，
∴BM=MB'=MA=，
∴∠A=∠MB'A=75°，∠AMB'=30°，
在△AMB'中，作AP⊥MB'，
∴AP=，MP=，
∴PB'=MB'-MP=，
∴，
∴B'D=AD-AB'=.
故答案为：.
【分析】由折叠即对称性，分析得线段B'C'恰好落在直线AD上时，△ABB'为直角△，此时AB与对称轴所在直线的交点M为直角三角形斜边上的中点，利用直角三角形斜边上中线的性质和含30°的直角三角形三边的比例关系，可求得AB'的值，从而求解B'D.
24．【答案】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：
解得：
答：编织1个大号中国结需用绳5米和编织1个小号中国结需用绳3米.
（2）解：设编织大号中国结m个，则编织小号中国结个
根据题意得：
解得：
答：最多可以编织12个大号中国结.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，1个小号中国结需用绳y米，根据“编织2个大号中国结和4个小号中国结，需用绳22米；编织1个大号中国结和3个小号中国结，需用绳14米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以编织m个大号中国结，则编织（50-m）个小号中国结，根据所用绳长总共不超过175米，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
25．【答案】（1）证明：在AB上取点G，使AG=EF，连接DG（若使BG=BD，证法与（2）类似)
∵EF/IBC
∴∠3＝∠B＝60°
∵∠3=∠E+∠2
∴∠E+∠2=60°
∵AD旋转∠B的度数得到AE，∠B=60°
∴∠1+∠2=60°，AE=AD
∴∠E=∠1
在和中
∴△AEF≌△DAG(SAS)
∴∠4=25°
∵∠3＝60°
∴∠4=120°
∴∠5=120°
∴∠6=120°
∵∠B=60°
∴△BDG是等边三角形
∴BD=BG
∵AB=BG+AG，AG=EF
∴AB=BD+EF
（2）解：AB， BD， EF之间的数量关系是：
证明： 过点D作BC的垂线， 交AB于点G
(若在AB上取点G， 使， 证法与(1)类似)
是等腰直角三角形，
∵∠E+∠5=∠3=45°，∠6+∠5=∠B=45°
∴∠E=∠6
在和中
∵
∴
（3）CD 的长为5 或1
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）解：如图1，在AB上取点G使得AG=EF，连接GD，
由（1）得，△AEF≌△DAG，
∴∠E=∠DAG，∠EAF=∠GDA，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFB，
∵∠EFB=∠E+∠EAF=∠DAG+∠GDA=∠BGD，
∴∠B=∠BGD，
∴BD=GD，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC= 3 ，
∴AB=6 ，BC=9，
BG=AB-AG=AB-EF=4，
∵BD=GD，∠B=30°，
∴，
∴DC=BC-BD=5；
如图2，延长BA至点G，使AG=EF， 连接GD，
同理可证BD=DG，BG=AB+AG=AB+EF=8，
∴
∴DC=BC-BD=1；
综上，CD 的长为5 或1.
【分析】（1）在AB上取点G，使BG=BD，根据等边三角形的性质得到DG=BD=BG，∠BGD=60°，根据平行线的性质得到∠EFB=∠B=60°，求得∠AFE=∠AGD=120°，根据旋转的性质得到∠EAD=60°，AE=AD，根据全等三角形的性质得到AF=DG，EF=AG，于是得到AB=AG+BG=BD+EF；
（2）过D作DG⊥BC交AB于G，得到△BDG是等腰直角三角形，求得BG=BD，由（1）知△AEF≌△DAG，根据全等三角形的性质得到AG=EF，求得AB=AG+BG=EF+BD；
（3）分EF在△ABC外侧和内侧两种情况进行讨论，同（1），在AB或AB延长线上取G使AG=EF，构造△AEF≌△△DAG，证明BD=GD，同时有∠B=30°，利用BG=BD，可求得BD的长，从而求得DC长.
26．【答案】（1）解：把点 代入 得 ，
解得 ，
直线 为 ，
令 中 得 ，
，
解方程组 得 ，
（2）解：①解法一：如图，作点B关于×轴的对应点B'，连接 BM，B'M，B'C，
则B'M=BM，
∵A(－2，0)，B(0，1)，C(2，2)，
∴B'(0，-1)，AB==BC，
∵四边形ABNM是平行四边形，
∴ABMN，
∴BCMN，
∴四边形 BMNC 是平行四边形，
∴CN=BM＝B'M，
∴CM+CN=CM+B'M，
当C，M，B'三点共线时，CM+B'M有最小值，最小值为B'C的长，
∵B'(0，-1)，C（2，2)，
，
∴在点M移动过程中，CM+CN有最小值，最小值为.
解法二：如图，过点C作x轴的平行线l，将线段BN以直线l为对称轴翻折，得到对应线段B'N'，连接B'A，N'M，N'C，具体过程参考解法一.
②
过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交于F点， ∵∠CMN=45°，
易证△CME≌△QCF（AAS），
∴EC=FQ，EM=CF=2，
设M（m，0），
∴Q（4，m），
∵AB∥MN，且MN过点M
∴直线MN的解析式为，
将Q点坐标代入，
∴m=，
∴M（，0）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先求出直线AB的解析式，再求两直线交点坐标即可；
（2）①作C点关于x轴的对称点G，连接MG，则CM=MG，过点G点作GH∥AB，过点N作NH∥MG，交于H点，则四边形MGHN是平行四边形，MG=HN，根据AB∥GH，AB=GH，求出H（4，-1），则CM+CN的最小值为CH的长；
②过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交于F点，证明△CME≌△QCF，设M（m，0），则Q（4，m），Q点在直线MN上，可得m=，从而得解.
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