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(共19张PPT)
4.3 课时2 对数的运算
1.理解对数的运算性质.
2. 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,体会换底公式的数学意义.
4.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.
底数
幂
真数
以a为底N的对数
3.对数的性质
1.对数式与指数式的互化
2.logaN表示什么意义？
a的多少次方等于N
(a>0，且a≠1)
(1)
(2)
(3)
(4)
指数
做一做：计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？
猜想：如果，且，，，那么
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
如何证明它们呢？
(1)
(2)
(3)
根据对数和指数间的关系可得：
证明：
提示：logaN表示a的多少次方等于N
证明1：
.
设,
,
,
.
你能运用这个结论，证明 吗？
(4) ()
证明2：
证明：
n个相乘
提示：
n个相乘
n个相加
你能运用已有的两个结论，证明 吗？
证明3：
证明：
提示：
对数的运算性质：
“乘法”变“加法”
“乘方”变“乘法”
“除法”变“减法”
知识归纳
例1 求下列各式的值.
(1)log3e+log3;
log3e+log3=log3=log33=1.
(2)lg 50-lg 5;
lg 50-lg 5=lg =lg 10=1.
(3)lg +2lg 2.
lg +2lg 2=lg 5-lg 2+2lg 2
=lg 5+lg 2=lg 10=1.
训练1 求下列各式的值:
(1)log3(27×92);
方法一　log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7.
方法二　log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7.
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2;
(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5×lg 10+lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)ln 3+ln ;
ln 3+ln =ln=ln 1=0.
(4)log35-log315.
log35-log315=log3=log3=log33-1=-1.
练一练
例2 已知lg 2=a,lg 3=b,则lg =　　　　 (结果用含a,b的代数式表示).
b+3a-1
lg =lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2)=lg 3+lg 22-1+lg 2=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1.
训练2 用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg(xyz);
lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.
(2)lg ;
lg =lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z.
(3)lg .
lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z)=lg x-2lg y-lg z.
练一练
数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数.
探究：
(1)利用计算工具求的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用的值求的值吗？
(3)根据对数的定义，你能用表示
吗？
设则于是
如 在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值.由换底公式，可得.
利用计算工具，可得，由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到了2001年的2倍.类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数.
根据性质③得，即
对数换底公式
补充：
(1)对数运算性质①的推广：
(2)由换底公式得到的常用结论：
① ②
③; ④.
例3. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.
由，可得
，.
于是，
利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却 是后者的约32倍.
2.换底公式:
“上在上,下在下”;“底相同”
1.对数的运算性质：
“乘法”变“加法”
“乘方”变“乘法”
“除法”变“减法”
1.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式中正确的为（ ）
A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn
C.logax=-loga D.=logax
√
根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0,a>0,且a≠1,n∈R)知C正确.
2. 2log510+log50.25等于( )
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.4
√
原式=log5100+log50.25=log525=2.
3.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为（ ）
A.a-b2　　　B.a-2b　　　C.　　　D.
√
∵lg 3=a,lg 7=b,
∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.
4.=　　　.
解：原式===2.
2(共24张PPT)
4.3 课时1 对数的概念
1.理解对数的概念、掌握对数的性质.
2.掌握指数式与对数式的互化.
3.能应用对数的定义和性质解方程.
说一说：以下方程中x的值是多少？
2x=3
11x=2
10x=5
如何求x的值
求x的值的本质 → 已知底数a和幂N，求指数x.
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
x=logaN
底数
真数
1.对数的概念：
以a为底N的对数.
写法：
读作：
以2为底5的对数
以4为底21的对数
以2为底9.3的对数
例如：
写法：
读作：
常用对数：
自然对数：
以无理数e(e=2.71828…)为底的对数．把 logeN 记为 lnN
例：log102记为lg2，log100.8记为lg0.8
例：loge2记为ln2，loge0.8记为ln0.8
以10为底的对数. 把 log10N 记为 lgN
2.两个重要对数
名称
式子
a
x
N
底数
底数
指数
对数
幂
真数
底数不变
指对互换
3.指数式与对数式的关系
真数N 的取值范围：
对数x
的取值范围：
底数a的取值范围：
负数和零没有对数
例1 若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是（ ）
A.[2,+∞) B.(2,3)∪(3,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
√
求对数式的范围 logab 求字母的范围.
注 意
1.在M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为（ ）
A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞) D.(3,4)
√
练一练
例2 将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4;
24=16.
(2)log327=3;
33=27.
(3)ln 10=2.303;
e2.303=10.
(4)43=64;
log464=3.
(5)3-2=;
log3=-2.
(6)10-3=0.001.
lg 0.001=-3.
2.2-3=化为对数式为（ ）
A.lo2=-3 B.lo(-3)=2
C.log2=-3 D.log2(-3)=
√
练一练
例3 求下列各式中x的值:
(1)-lg x=2;
由-lg x=2得lg x=-2,
∴x=10-2=.
(2)logx=-3;
由logx=-3得x-3==4-3,
∴x=4.
(3)x=lo27;
由x=lo27得=27,即3-x=33,
∴-x=3即x=-3.
(4)ln =x.
由ln =x得ex=,即ex=e-2,
∴x=-2.
求对数式logaN(a>0,且a≠1,N>0)的值的步骤：
(1)设logaN=m.
(2)将logaN=m写成指数式am=N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
方法归纳
3. 求下列各式中x的值.
(1)log3x=-3;
由题意得x=3-3=.
(2)logx49=4;
由x4=49,x>0且x≠1,得x=.
(3)lg 0.000 01=x;
由10x=0.000 01=10-5,得x=-5.
(4)ln =-x.
由e-x==,得x=-.
练一练
问题1 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，把ax＝N改写为对数式后，真数的值能是0或负数吗？
真数的值不可能为0或负数.
思考与交流
(2)当对数的底数与真数相等时，即 logaa等于多少？
(3)根据下列两个式子，你能总结出怎样的结论？
因为24＝16，所以4＝log216，于是2log216＝16；
因为3x＝10，所以x＝log310，于是3log310＝10.
问题2：
(1)由=1，=1,=1，=1你发现了什么？=？
对数的性质：
(1)loga1= (a>0,且a≠1).
(2)logaa= (a>0,且a≠1).
(3)负数和0没有对数.
(4)对数恒等式:= ;logaax= (a>0,且a≠1,N>0).
0
1
N
x
知识归纳
例4 (1)求下列各式的值.
①log981=　　　.
2
方法一　设log981=x,所以9x=81=92,
故x=2,即log981=2.
方法二　log981=log992=2.
②log0.41=　　　.
0
③ln e2=　　　.
2
(2)求下列各式中x的值.
①log2(log2x)=0;
∵log2(log2x)=0,
∴log2x=20=1,∴x=21=2.
②log3(lg x)=1.
∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,
∴x=103=1 000.
4.求下列各式中x的值.
(1)x=log28;
x=log28=log223=3.
(2)x=ln e;
x=ln e=1.
(3)x=;
x==6.
(4)log8[log7(log2x)]=0.
∵log7(log2x)=1,
∴log2x=7,∴x=27=128.
练一练
1.对数的概念.
2.对数式与指数式的互化.
3.对数的性质.
本节课你学到哪些知识？
1.正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)(－2)4＝16可化为log(－2)16＝4.( )
(2)对数运算的实质是求幂指数.( )
(3)对数的真数必须是非负数.( )
(4)若log6 3＝m，则6＝3m.( )
×
×
×
√
2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.100=1与lg 1=0
B.2=与log27=-
C.log39=与=3
D.log55=1与51=5
√
3.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是（ ）
A.(-∞,5) B.(-3,5)
C.(-3,-2)∪(-2,5) D.(-3,+∞)
√
解：要使对数log(a+3)(5-a)有意义,
则解得-3故实数a的取值范围是(-3,-2)∪(-2,5).
4.已知lob=c,则有（ ）
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
√
5.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　.
解：原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.
0

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