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(共20张PPT)
4.3 课时2 对数的运算
1.理解对数的运算性质.
2. 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.
猜想：如果，且，，，那么
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
做一做：对于三个对数， ，．
（1）求三个对数的值；
（2）观察三个对数及它们的结果，并尝试对它们进行对数的加、减、乘、除运算，你能发现哪些规律？与同学交流，写出你们的猜想.
对数是一种运算,它与加、减、乘、除一样有自己的运算性质,请根据前面所学知识回答下列问题:
问题1: 如果，且1，，，你能用所学过知识证明下面等式成立吗
积的对数等于对数的和
试一试1：请尝试将以下关系推广到一般结论，请证明你的结论.
如果，且，，，那么
商的对数等于对数的差
发现: 这2个数还有下面的关系
如果，且，，，那么
n次幂的对数等于对数的倍
试一试2：请尝试将这个关系推广到一般结论，请证明你的结论.
如果
对数运算法则：
归纳总结
例1.求下列各式的值：
(1) (2).
解：
52
19.
1.求下列各式的值:
(1)log3(27×92);
方法一　log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7.
方法二　log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7.
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2;
(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5×lg 10+lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)ln 3+ln ;
ln 3+ln =ln=ln 1=0.
(4)log35-log315.
log35-log315=log3=log3=log33-1=-1.
练一练
例2.用表示.
解：
数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数.
合作探究：
(1)根据对数的定义，你能利用的值求的值吗？
(2)根据对数的定义，你能用表示吗？
对数换底公式
令
①
想一想：
=
(1)( ).
______.
______.
练一练
例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）
已知条件
日本：震级9.0
汶川：震级8.0
E(能量)与震级 (M)关系：
设未知量
日本地震能量
汶川地震能量
转化已知与未知
要求：
可求：
明确思路
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.由，可得
，.
于是，
利用计算工具可得，
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.这些知识是怎么获取的？
3.用到了哪些数学思想方法或数学素养？
求对数的值
实际应用
指数的运算性质
对数的运算性质
运算
转化与化归、数学运算
分析
对数的换底公式
1.判断正误.
(1) ( )
(2) ( )
(3)
(4) 3 ( )
(5) . ( )
×
×
×
√
×
2.若则 等于（ ）.
A. B. C. D.
3.设，则
A. B. C. D.
A
B
4.计算
解：法1：
原式
法2：
原式(共21张PPT)
4.3 课时1 对数的概念
1.理解对数的概念、掌握对数的性质.
2.掌握指数式与对数式的互化.
3.能应用对数的定义和性质解方程.
比一比：

解方程2x＝5
已知底数a为2、幂值为5，求指数x的运算.
=（ ）
=8
=（ ）
=32
=128
那么
=5
想一想：
（1）方程2x＝5的解存在吗？
（2）如果存在，方程2x＝5的解唯一吗？
方程2x＝5有且只有唯一的一个解
（负数和零没有对数）
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数.
对数的概念
记作
x=logaN
读作
以a为底N的对数
写作
例 =5 x是以2为底5的对数，记作log25
1.对数式log(x-1)(x+2)中实数x的取值范围是 .
练一练
1、常用对数：
2、自然对数：
以无理数e(e=2.71828…)为底的对数．把 logeN 记为 lnN.
以10为底的对数. 把 log10N 记为 lgN.
两个重要的对数
如：log102记为 ，log100.8记为 .
如：loge2记为 ，loge0.8记为 .
lg2
lg0.8
ln2
ln0.8
幂
真数
底数
底数
指数式
对数式
指数
对数
指对互化
底数a不变
x、N位置互换
例1 将下列指数形式化为对数形式， 对数形式化为指数形式：
(1) 54＝625； (2) ； (3) ＝5.73；
(4)log0.516＝－4； (5)lg0.01＝－2； (6)ln10＝2.303．
1. 对数符号的书写规范;
2. 底数a>0且a≠1，真数N>0;
3. log是记录对数的符号，类似于sin，cos···；
4. logaN是一个数，不是loga与N的乘积.
注 意
(1) log 64 x＝ ； (2) logx8＝6；
(3) lg100＝x； (4) －ln e2 ＝x.
例2 求下列各式中的x 的值：
探究：求下列各组式子的值，总结你发现的规律.
(1) log31=
0
(2) lg1=
0
0
(3) log0.51=
0
(4) ln1=
“1”的对数等于零, 即loga1= 0
对数的性质
第一组：
(1) log33=
1
(2) lg10=
1
1
(3) log0.50.5=
1
(4) lne=
底数的对数等于“ 1”,即logaa= 1
第二组：
探究：求下列各组式子的值，总结你发现的规律.
3
0.6
89
对数恒等式：
第三组：
探究：求下列各组式子的值，总结你发现的规律.
(1)=
(2)=
(3)=
证明：设=N，则b=
所以=N
对数的基本性质
1.负数和零没有对数；
2.“1”的对数等于零,即loga1=0
3.底数的对数等于“ 1”,即logaa=1
4.
对数恒等式：
5.
对数恒等式：
归纳总结
1.已知logx16=2，则x=（ ）
A. ±4 B. 4 C. 256 D. 2
2.若loga3＝m，loga5＝n，则a2m+n的值是(　　)
A．15 B．75 C．45 D．225
解：由对数的定义得：=3,=5,
∴=() .=3 ×5=45.
B
C
3.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0，则的值为( 　 )
A. 1 B. －1 C. 5 D.
4.（多选题）下列四个等式正确的是(　 　)
A．lg(lg 10)＝0 B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10 D．若ln x＝e，则x＝e2
B
AB
5. 方程lg(x -1)=lg(2x+2)的根为____________.
x=3
1. 对数的概念：
一般地，如果ax＝N，(a>0且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数记作x＝logaN，其中a叫底数，N叫真数. （真数一定为正数）
2. 对数的性质：
零和负数没有对数
底数
幂
真数
指数
以a为底N的对数
=0
=1
=n
=N
本节课你学到了哪些知识？
数学文化——“对数”的评价
布里格斯说：对数的发明，延长了天文学家的寿命.
伽利略说：给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙.
恩格斯说：对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就.
知识拓展：
知识拓展：
在物理领域，对数用于
测量声音的分贝
在地理领域，对数
用于计算地震强度
对数在现实生活中的应用
在生物领域，对数用于求“半衰期”估计生物死亡的年数
在化学领域，对数
用于求“PH”值

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