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(共15张PPT)
4.2 课时1 指数函数的概念
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的解析式及其求法.
脑洞大开：已知一张纸的厚度是0.1mm，地球到月球的距离是3.8×105km.
有人说，连续多次对折，它的厚度可以达到地球与月球之间的距离！你相信吗？
问题1：请同学们拿出一张A4纸，进行多次对折，你最多能折几次呢？请完成下表，并找出对折次数和纸的层数之间的关系.
对折次数
所得层数
关系
x
1 2 3 4
...
21 22 23 24
...
y
2 4 8 16
...
2x
该关系中y是x的函数吗？
问题2：还是这张A4纸，设白纸的面积为单位1，进行多次对折，完成下表，找出对折次数和对折后每层的面积的关系.
对折次数
每层面积
关系
x
1 2 3 4
...
...
y
...
该关系中y是x的函数吗？
问题3：观察两个函数，说说它们有何共同特征.
共同特征:
1.函数解析式都是指数幂的形式
2.底数都是常数
3.指数都是自变量x
你还能举出具有这样
特征的函数吗？
共同特征:
1.函数解析式都是指数幂的形式
2.底数都是常数
3.指数都是自变量x
一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
注意a的范围!
例1：下列函数中哪些是指数函数？
判断一个函数是否为指数函数的方法：
2、底数是常数，指数是自变量;
4、指数x的系数必须为1，且只有x一项.
1、底数满足且
3、一项;
分析：要求的值，应先求出的解析式，即先求的值.
解：因为,且=π,则,解得,于是
,所以=,====
例2 已知指数函数,求,,
的值.
问题解决：已知一张纸的厚度是0.1mm，地球到月球的距离是，将纸连续折叠多次后，它的厚度能达到地月间的距离吗？折叠次数是多少？
设对折次数为x，所得纸的层数为y，厚度为z，用计算器计算：
对折40次，纸的厚度超过了地月之间的距离.
当时
当时
当时
(km)
指
数
爆
炸
7
3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长.
（1）湖泊中的蓝藻量y与天数x之间的函数关系为 ；
（2）经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的 倍.
（可以使用计算工具）
6.16
令则
1.指数函数的概念：
一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R．
2.指数函数需要注意的几个点：
①指数函数的定义域是实数集；
②自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
③底数只能有一项，且其系数必须为1；
④底数的范围是且.
(3)幂函数与指数函数的区别.(共16张PPT)
4.2 课时2 指数函数的图象和性质
1.掌握指数函数的图象和性质.
2.会利用指数函数的图象和性质解决问题.
1.指数函数的概念：
一般地，形如 的函数叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
y＝ax(a＞0且a≠1)
2.幂函数图象与性质的研究方法：
思考与交流：类比幂函数性质的研究过程与方法，你能否给出指数函数的图象和性质的研究方法？
1.绘制图象
研究方法:
2.观察图象
3.发现性质
研究方向：
定义域、值域、特殊点、单调性等
描点法
由特殊到一般;数形结合
观察角度：
图象位置、公共点、变化趋势等
P(x,)
P′(-x,）
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... ...
... ...
1
2
4
8
1
2
4
8
问题1：比较函数y=与函数y=的图象，它们之间有什么关系？
活动1 完成下表，并用描点法在方格纸中画出函数y=2x和的图象.
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称
位置:
公共点:
变化趋势:
... -2 -1 0 1 2 ...
... ...
... ...
1
3
9
1
3
9
（0,1）
当0当a>1时，图象均呈上升趋势
特殊
一般
图象都在x轴上方
活动2 在同一直角坐标系中继续画出函数y=3x的图象，再根据对称性，画出函数的图象.
问题2 ：观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
底数 a>1 0图象
定义域
值 域
过定点
性质 单调性
取 值 分 布
奇偶性
对称性
x
y
o
1
x
y
o
1
R
(0,+∞)
(0,1)
在R上是增函数
在R上是减函数
当x<0时,00时,y>1.
当x<0时,y>1；当x>0时,0既不是奇函数也不是偶函数
指数函数y=ax的图像和性质
归纳总结
函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
,即x=0时,y=a0=1
解：(1)∵在定义域上单调递增
而，∴.
(2)∵在定义域上单调递减
而，∴.
【例1】比较下列两个值的大小：
,; (2),; (3),
(3)∵在定义域上单调递增
而0.3>0,∴
又∵在定义域上单调递减
而,∴
综上，.
比较幂的大小的方法：
归纳总结
1.比较下列两个值的大小：
_______
_______
解：(1) >
(2)因为底数指数都不同，所以借中间量1比较
∵>=1 <=1
∴>
练一练
【例2】如图，某城市人口呈指数增长．
(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；
(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
解:(1)该城市人口经过20年约10万人,经过40年约为20万人，
即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，
所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
解:(2)因为倍增期为20年，所以每经过20年,人口将翻一番.
因此,从80万人开始,经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
1.已知0C
2.比较大小：
______
______
3.设 ,则（ ）
A. B. C. D.
,,
D
4.[2024·山西吕梁]已知函数 （其中，，
且）的图象恒过定点，则 .
知识点
指数函数图象和性质并利用性质解决相关的实际问题
思想方法
特殊到一般
转化与化归
数形结合
分类讨论
类比
核心素养
数学建模
数学抽象
数学运算
逻辑推理

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