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(共23张PPT)
4.2 课时2 指数函数的图象和性质
1.掌握指数函数的图象和性质.
2.会利用指数函数的图象和性质解决问题.
指数函数的概念:
一般地，形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，a是常数，函数定义域是R.
研究函数的一般方法：
背景
概念
图像与性质
应用
为了研究指数函数，下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，首先作出指数函数图像，然后借助指数函数的图像研究指数函数性质．
x y
-2
-1.5 0.35
-1
-0.5 0.71
0
0.5 1.41
1
1.5 2.83
2
0.25
0.5
1
2
4
做一做1：请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y=2x的图像．
1
x
y
o
1
2
3
-1
-2
-3
为了得到指数函数的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.
x y
-2
-1.5 2.83
-1
-0.5 1.41
0
0.5 0.71
1
1.5 0.35
2
4
2
1
0.5
0.25
0
1
1
y=
做一做2：请同学们结合右表，在同一坐标系中画出函数的图象.
说一说1：比较函数的图象，你发现观察两个函数图象有何关系？
由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象。
函数y=图象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(-x,y)都在函数y==的图像上.
x
y
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
做一做3：选取底数的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.
说一说2：观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出指数函数的值域和性质.（提示：分01两种情况进行研究）．
指数函数y=ax的图像和性质
知识归纳
底数 a>1 0图象
定义域 值 域 过定点 性质 单调性
取 值 分 布
奇偶性 对称性
x
y
o
1
x
y
o
1
R
(0,+∞)
(0,1)
在R上是增函数
在R上是减函数
当x<0时,00时,y>1.
既不是奇函数也不是偶函数
函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
指数函数图象的其它特征：
在轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.
知识归纳
1.右图是指数函数:
① y=ax，② y=bx, ③y=cx, ④ y=d x 的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是 ( )
A.aC.1练一练
【解析】画出直线x=1与四个指数函数的交点从下往上依次为(1,b)，(1,a)，(1,d)，(1,c)，所以有0B
【例1】比较下列两个值的大小：
,; (2),; (3),
分析：对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；
对于(3)，1.7 和不能看作某一个指数函数的两个函数值，可以利用函数y=和y=的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来.
【例1】比较下列两个值的大小：
,; (2),; (3),
(2)因为0<0.8<1,所以指数函数y=是减函数.
因为->-,所以<.
(3)由指数函数的性质知>=1,<=1,所以>
(1)和1.7 可看作函数y=当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数1.7>1,所以指数函数y=是增函数，因为2.5<3,所以<1.7
(3)由指数函数的性质知>=1,<=1,所以>
练一练
比较下列各组数的大小：
(1)和; (2)和;
(3)和; (4)和(a>0,且a≠1).
【解析】(1)看作函数y=的两个函数值，由于底数1.5>1,所以函数y=在R上是增函数，因为2.5<3.2,所以<.
(2),可看作函数y=的两个函数值，因为函数y=在R上是减函数，且-1.2>-1.5,所以<.
(3)由指数函数的性质，得>=1,<=1,所以>.
(4)当a>1时，y=在R上是增函数，故>;
当0比较幂值大小的三种类型及处理方法
方法归纳
【例2】 如图4.2-7，某城市人口呈指数增长．
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．
解：（１）观察图4.3-7，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20 万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年， 人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年， 该城市人口大约会增长到160万人．
1. 指数函数概念：
2. 指数函数的图像与性质:
形如y = ax(a 0，且a 1)的函数叫做指数函数.
底数 a>1 0图象
定义域 值 域 过定点 性质 单调性
取 值 分 布
奇偶性 对称性
x
y
o
1
x
y
o
1
R
(0,+∞)
(0,1)
在R上是增函数
在R上是减函数
当x<0时,00时,y>1.
既不是奇函数也不是偶函数
函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
当x<0时,y>1；当x>0时,01.若 ,则( )
B
A. B. C. D.
D
2. 函数f(x)=+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(2,1) D.(2,2)
3.比较满足下列条件的m,n的大小：
(1)<; (2)<;
(3)<(0(a>1)
解：(1)mn;
(3)m>n; (4)m>n;
4.函数的图象如图所示，其中， 为
常数，则下列结论正确的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，(共27张PPT)
4.2 课时1 指数函数的概念
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的解析式及其求法.
概念
指数函数
实际情境
数量关系
抽象
函数形式
归纳
图象、性质
研究
实际应用
解决
对于幂,我们已经将指数的范围拓展到了实数。
无理数
＋有理数
正数
全体实数
正数
我们来学习一类新的函数——指数函数
情景1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．
A景区 B景区 年份 人次 增加量 人次 增加量
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1224 126
右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
问题1 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
先对A景区的数据进行分析
发现的规律：
1.表格中，数据的增长量基本相同，为10(左右)
2.图像中，连线近似于一条直线附近
线性增长
B景区的增加量不稳定，越来越大！
对B景区的数据进行分析
增加量=变后量-变前量
采用增长率来探究
非线性增长
：我们能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？
追问
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
注意：做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率. 增加量和增长率是刻画事物变化规律的两个重要的量.
B地景区的游客人次的年增长率都约为 1.11-1＝0.11，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么
y＝__________________________________.
1.11x （x∈[ 0，＋∞））． ①
这是一个函数，其中指数x是自变量．
1年后，游客人次是2001年的___________倍；
2年后，游客人次是2001年的___________倍；
3年后，游客人次是2001年的___________倍；
……
x年后，游客人次是2001年的___________倍．
1.111
1.112
1.113
1.11x
情景2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期“.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系？生物死亡后体内碳14含量年衰减率是多少？
5730年
若将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格.
······
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格.
若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式是：
······
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
你能求出衰减率的值吗？
追问
我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，
∴, （x∈[0，＋∞）） ②．
这也是一个函数，指数x是自变量．
像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．
你能求出的值吗？
追问
问题2 根据的上述的两个引例得到的两个方程，你是否发现他们有什么相同点？
y =1.11x , x∈[0，＋∞）
, x∈[０，＋∞）
相同点：
(1)均为幂的形式；
(2)底数是一个正的常数
(3)自变量在指数位置
指数函数
一般地，把形如的函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是
要点归纳
为什么要规定a>0且a≠1？
思考
当时,无研究意义；
当时，如时，对于在实数范围内的函数值不存在；
当时，是一个常量，没有研究的意义.
常数（大于0且不等于1）
自变量
系数为1
y＝1 · ax
一般地，把形如的函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是
要点归纳
1.下列函数是指数函数的是______.
⑧
练一练
2.函数 是指数函数，则实数a= ________.
2
解：因为 是指数函数
练一练
例1 已知指数函数,求,,的值.
分析：要求的值，应先求出的解析式，即先求的值.
解：因为,且,则,
解得,于是,
所以==1,
==
求指数函数解析式的步骤：
(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)；
(2)利用已知条件求底数a；
(3)写出指数函数的解析式．
练一练
3.若指数函数的图象经过点(2，9)，则 .
解：设，因为函数的图象经过点(2，9)，代入可得解得
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然
f (x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x)，
这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)例2 (1)在情景1中，平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况。
例2 (2)在情景2中,某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%
(2)设生物死亡年后，它体内碳14含量为,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
当=10000时,利用计算工具求得
知识归纳
在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型,设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长，该量增长到y,则(X∈N).
形如(k∈R,且k≠0,,且)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
常见的几类函数模型:
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
知识归纳
本节课你学到了哪些知识？
1.若函数(是自变量)是指数函数，则的取值范围是( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.[ D.[，+)
2.指数函数
3.指数函数那么等于( )
A.-3 B.9 C.27 D.81
4.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元),每期利率为r,本利和为y(单位：元),存期数为.
(1)本利和y关于存期数的函数解析式为______________;
(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.
【答案】(1).(2)y≈1117.68(元).
【详解】解：(1)根据题意可得;
(2)由(1)可知，当=5时，
y==≈1117.68
∴5期后的本利和约为1117.68元.

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