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(共18张PPT)
4.1 课时2 无理数指数幂及其运算性质
1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程，理解无理数指数幂的含义.
2.理解指数幂的运算性质.
3.能进行指数幂(实数幂)的运算.
1
1
公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.
希帕索斯
这个无理数是一个确定的数吗？它有多大呢
=1.414213……
思考1：初中如何估算的精确近似值？
按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1,这样就得到一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值.
过剩近似值
按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值.
不足近似值
进一而舍
舍而不进
思考2：无理数指数幂是否存在？它是一个确定的数吗？
有理数
无理数
正数
下面我们先看一个幂值：
探究1： 根据 的不足近似值和过剩近似值，利用计算工具计算相应的, 的近似值填入表中，观察它们的变化趋势。
不足近似值 的近似值 过剩近似值 的近似值
1.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.4142 1.4143
1.41421 1.41422
1.414213 1.414214
1.4142135 1.4142136
1.41421356 1.41421357
1.414213562 1.414213563
第一步：打开WPS Office中的表格文档，输入数据“的不足近似值”与“的过剩近似值”;
第三步：在“的近似值”下方表格中输入公式 “=5^D4”，下拉填充.
第二步：在“的近似值”下方表格中输入公式 “”，下拉填充;
的近似值在逐渐增大， 的近似值在逐渐减小，它们好像都趋向于同一个数 .
不足近似值 5x的近似值 过剩近似值 5y的近似值
1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89
1.41 9.672 669 972 9 1.42 9.829635 328
1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808
1.414 2 9.738 305 174 1.414 3 9.739 872 62
1.414 21 9.738 461 907 1.414 22 9.738 618 643
1.414 213 9.738 508 928 1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 5 9.738 516 765 1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 56 9.738 517 705 1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 562 9.738 517 736 1.414 213 563 9.738 517 752
………… ………… ………… …………
探究2：利用计算工具计算的差值，填入表中，观察它们的变化趋势你发现了什么？
的数值越来越小，最终接近于0.
它是一个确定的实数．
我们也可以用数轴来表示上述过程：
做一做：参照以上过程，给出一个无理数指数幂，如，请说明它也是一个确定的实数.
（1）当 的不足近似值从小于 的方向逼近 时， 的近似值从小于 的方向逼近于同一个常数；
（2）当 的过剩近似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向逼近于同一个常数.
观察可发现 是一个确定的实数
无理数
＋有理数
正数
全体实数
正数
知识归纳
一般地，无理数指数幂 ax (a＞0，x为无理数) 是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂 ax (a＞0) 中指数的取值范围x 从整数拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。
无理数指数幂的意义
知识归纳
正数
有理数
（1）
（2）
（3）
（1） ;
（2） ;
（3）
正数
全体实数
实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用.
反思感悟　关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算．
例1 .计算下列各式：
1.计算下列各式：
（1）; （2）.
解：（1）原式=
（2）原式=
练一练
是一个确定的数
实数指数幂的概念及其运算性质
数
形
数形结合
极限思想
无理数指数幂是一个确定的数
指数幂的成长史：
正整数指数幂
整数指数幂
有理数指数幂
实数指数幂
负整数指数幂、零次幂
分数指数幂
无理数指数幂(共18张PPT)
4.1 课时1 n 次方根与分数指数幂
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值.
3.会对分式和分数指数幂进行转化.
4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值.
初中已经学过整数指数幂：
幂
指数
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，
乘方的结果叫做幂.
叫做的平方根.例如，就是4的平方根.
叫做的立方根.例如，就是8的立方根.
叫做16的4次方根.
叫做32的5次方根.
开方运算
乘方运算
互逆运算
4 2 = ？
？2 = 16
当n是奇数时，
正数的n 次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数。
当 n 是偶数时，
正数的n次方根有两个，它们
互为相反数；
负数没有偶次方根。
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且
知识点一：n次方根的概念及表示
(n为奇数)
(当n是偶数，且a＞0)
根指数
被开方数
根式
知识点二：n次方根的性质
例1 求下列各式的值：
(1); (2); (3); (4)
(1)=-8;
(2)=10;
(3)=|3-|=-3;
(4)=|a-b|=
解：
当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示成分数指数幂的形式？
根式表示为“分数指数幂”
我们知道，a＞0时
我们规定：
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
注意：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。
规定了分数指数幂的意义后，幂 a x 中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数。
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有性质：
例2 求下列各式的值
解：
1.把底数化成幂的形式；
2.把根式化成分数指数幂的形式；
3.当有多重根式时，要从里往外层层转化；
4.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂.
化简策略
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0)
·; (2).
解：·=·=; (2)(2)===
例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：
(1)(2)(-6)÷(-3); (2)()8;
(3)(-)÷
解：(1)(2)(-6)÷(-3)=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a
(2)()8=()8()8=
(3)(-)÷=(-)÷=÷-÷=-=-a=-a
(n为奇数)
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作=0
根式:
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质：
1.下列各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
2.填一填：
解：(1)===;
×3×=2××3××
=2××3××××=× =2×=18
(3)==
(-)=-=1-
3.计算下列各式
(1)； ×3×
(3)； )

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