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2025-2026学年度上学期
第一次学业质量监测九年级数学试卷
（时间：110分钟 满分：120分）
一 .选择题(共10小题，每小题3分，共30分）
1.
现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形。②矩形的对角线互相垂直且互相平分。③对角线相等的四边形是矩形。④对角线相等的菱形是正方形。⑤邻边相等的矩形是正方形。⑥三个角都是直角的四边形是矩形。其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
下列四条线段是成比例线段的是（ ）
A.2cm，， B.
C.4cm，6cm，5cm，10cm D.8cm，10cm，12cm，16cm
方程 (m+2) x∣m∣+3mx+1=0是关于 x 的一元二次方程， 则( )
A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠±2
5. 一个不透明的盒子里装有a 个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球；每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过大量重复试验，发现摸到白球 的频率稳定在0.4左右，则a 的值约为( )
A.10 B.12 C.18 D.15
6.若则的值是（ ）
3 B. 6 C.15 D.18
7.如图，已知 , ,EF=6,则 DF 的长( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
（第7题图） （第8题图）
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(9，0)，点C 的坐标为(0，3)，以OA，OC 为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时， AC·EF的值为( )
A.30 B.9 C.15 D.10
如图，在宽为25m、长为40m 的长方形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直), 把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设三条小路的面积为88m , 则道路的宽为（ ）
1m B. 2m C. 3m D. 4m
（第9题图） （第10题图）
10.已知△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC=6，D为BC边上的一点，且BD:DC=1:2，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取的最大值时，AG的长度是（ ）
A. 4 B. 6 C. 2 D.
二. 填空题(共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)
11. 若 ，则____________.
12. 已知x1，x2分别是一元二次方程x2-3x-5=0的两个根，则x1+x2-x1 x2=_______.
13. 如果关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________________.
14. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是____________.
15. 如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接EF，BD，则BM，MN，ND之间的数量关系为____________.
（第14题图） （第15题图）
三．解答题（本题共8小题，共75分。应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16.解方程（每题5分，共10分）
（1）x2-5x+1=0 （2）2(x-5)2+x(x-5)=0
17. (本小题8分)
阅读材料，解答问题：
解方程：x -6x +5=0
解：设x =y, 则原方程可化为y -6y+5=0. 解得y =5，y2=1.
当y=5时 ，x =5，x=± ； 当y=1时 ，x =1，x= ±1；
所以原方程有四个解：x = ，x2= - , x =1, x = -1.
以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想.
请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程：(x -2x) -2(x -2x)-3=0.
18 . (8分)
随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为除现金之外的一种常见的支付方式。在一次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”(依次用A 、B 、C表示)三种 支付方式中各选一种方式进行支付.
(1)乙使用“微信”支付的概率为 ;
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择“支付宝”支付的概率.
(8分)为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到 400万片.求该企业感冒退烧药产量的月增长率。
20. (8分)某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时 间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.求当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元.
21. (8分) 如图，矩形ABCD中，点E 为边AB上任意一点，连结CE, 点 F 为线段CE 的中点，过点F 作MN⊥CE，MN 与AB、CD 分别相交于点M、N, 连 结CM、EN.
(1) 求证：四边形CNEM为菱形；
(2) 若AB=10，AD=4， 当AE=2 时，求EM的长.
(12分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2-4ac一定为完全平方数．现规定F(a,b,c)=为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”x2-3x-4=0的两个根均为整数，其“快乐数”F(1,-3,-4)=．若有另一个“快乐方程”px2+qx+r=0(p≠0)的“快乐数”F(p,q,r)，且满足
r●F(a,b,c)=c●F(p,q,r)，则称F(a,b,c)和F(p,q,r)互为“开心数”．
(1)“快乐方程”x2-5x+6=0的“快乐数”为________；
(2)若关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+3m-6=0（m为整数，且-1(3)若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-(n+2)x+2n=0（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值．
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（13分）综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．
【问题情境】
正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP＝α(0°＜α＜135°)，∠QCE＝β．
【初步探究】
(1)如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了0°＜α＜45°时的情形，射线AP与边CD交于点F．他们得出此时α与β的关系是β＝2α．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上(如图2)时，求α，β的度数；
【深入探究】
敏学小组的同学画出45°＜α＜90°时的图形如图3，射线AP与边BC交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；
【拓展延伸】
请你借助图4进一步探究：
①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为　 　；
②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当α＝β时，CE的长为　 　．

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