资源简介

第7节　抛物线
基础练
1.(2025·河南安阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(1,4),则C的焦点坐标为(　　)
A.(8,0) B.(4,0)
C.(0,4) D.(0,8)
【答案】 B
【解析】 代入点(1,4),得42=2p·1,解得p=8,所以抛物线C:y2=16x的焦点坐标为(4,0).
故选B.
2.下列四个抛物线中,开口朝下且焦点到准线的距离为5的是(　　)
A.y2=-10x B.x2=-10y
C.y2=-5x D.x2=-5y
【答案】 B
【解析】 四个抛物线中,只有抛物线x2=-10y与x2=-5y的开口朝下,又p=5,所以x2=-10y符合题意.故选B.
3.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,|OP|=4,
则|PF|=(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】 B
【解析】 由题意可知抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,设P(m,n)(m≥0),则解得n=4或n=-12(舍去),则|PF|=n+2=6.故选B.
4.已知点P是抛物线C:y2=4x上的动点,点P到y轴的距离为d,Q(-3,3),则|PQ|+d的最小值为(　　)
A.5 B.+1
C.-1 D.4
【答案】 D
【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).点P到直线x=-1的距离
等于|PF|,所以点P到y轴的距离d=|PF|-1,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|-1.所以当F,P,Q三点
共线时,|PQ|+|PF|取得最小值|QF|.因为Q(-3,3),F(1,0),所以|QF|=5,所以|PQ|+d的最小值为5-1=4.故选D.
5.如图,O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,P为C上一点,若|PF|=8,则△POF的面积为(　　)
A.4 B.4 C.8 D.12
【答案】 B
【解析】 由题意可知抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,如图,过点P作准线x=-2的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知|PM|=|PF|=8,设P(x,y),则x-(-2)=8,解得x=6,
将x=6代入y2=8x,解得y=±4,所以△POF的面积为|y|·|OF|=×4×2=4.故选B.
6.(2025·陕西宝鸡模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F且倾斜角为,若抛物线C上存在点M与点N(-,0)关于直线l对称,则抛物线C的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-
【答案】 A
【解析】 由题意可知,点F的坐标为(,0).设点M(x0,y0),则|MF|=|NF|,即x0+=-(-),得x0=,又MN⊥l,所以kMN·tan =-1,即kMN===,得y0=,因此()2=2p×,解得p=1,
故抛物线C的准线方程为x=-=-.故选A.
7.在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该条抛物线为“安全抛物线”.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40 m,碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80 m,则这次爆破中,“安全抛物线”的焦点到其准线的距离为　　 　　m.
【答案】 80
【解析】 以抛物线最高点为坐标原点,平行于地面为x轴,建立如图所示的平面直角
坐标系,
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意得A(80,-40),将其代入抛物线方程得6 400=80p,解得p=80,故“安全抛物线”的焦点到其准线的距离为80 m.
8.在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=2p1x(p1>0)与x2=2p2y(p2>0)在第一象限的交点为A,若OA的斜率为2,则=　　　 　.
【答案】
【解析】 设A(x,y),
由y2=2p1x =,
x2=2p2y =,
则kOA=2==
故得A(4p2,p1),
代入抛物线得=2p1·4p2 =.
9.(2025·安徽亳州模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,第一象限内的点A在E上,AB垂直于l于点B,BF交y轴于点C,若|AF|=2|BC|=4,则p=　　 　　.
【答案】 2
【解析】 设准线l与x轴交于点M,因为O为MF的中点,y轴平行于准线,所以C为BF的中点,因为|AF|=|AB|,所以AC⊥BF,如图所示,
因为|AF|=2|BC|=4,所以∠CAF=30°,所以∠BAF=60°,故A(+2,2),代入E:y2=2px(p>0)可得12=2p(+2),化简得p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去),故p=2.
10.(2025·甘肃白银模拟)已知M是抛物线y2=2x上一点.
(1)设点A的坐标为(2,0),求|MA|的最小值;
(2)若点M到直线x-y+1=0的距离最小,求出点M的坐标及距离的最小值.
【解】 (1)设点M(x0,y0),所以=2x0,|MA|2=(x0-2)2+(y0-0)2=-4x0+4+2x0=(x0-1)2+3≥3,
所以当x0=1时,(|MA|min)2=3,所以|MA|min=.
(2)点M到直线x-y+1=0的距离d===,当y0=1时,dmin=,此时点M的坐标为(,1).
强化练
11.(2025·北京西城模拟)点F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=(　　)
A.2 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由y2=2x,得p=1,所以F(,0),准线方程为x=-,
因为++=0,所以F为△ABC的重心,所以=,x1+x2+x3=,再由抛物线的定义可得|FA|=x1-(-),|FB|=x2-(-),|FC|=x3-(-),
所以||+||+||=x1++x2++x3+=x1+x2+x3+=+=3.故选C.
12.(2025·陕西渭南模拟)若点A在焦点为F的抛物线y2=-8x上,且|AF|=4,点P为直线x=2上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　　　.
【答案】 4
【解析】 如图,由题意可知抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),准线方程为x=2,设A(x0,y0),
则|AF|=2-x0=4,解得x0=-2,代入得=16,解得y0=±4,不妨设A(-2,4),F(-2,0)关于直线x=2的对称点为F′(6,0),则|PF|=|PF′|,
因此|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|≥|AF′|,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值为=4.
13.已知圆C:(x+a)2+y2=r2(a>0),圆心C到抛物线E:y2=-2x的准线的距离为,圆C截直线l:x+3y+2=0所得弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)若P,Q分别为圆C与抛物线E上的点,求P,Q两点间距离的最小值.
【解】 (1)抛物线E:y2=-2x的准线为x=,
圆C:(x+a)2+y2=r2(a>0)的圆心C(-a,0),因为a>0,所以-(-a)=,解得a=7,
又C(-7,0)到直线l的距离d==,
所以2=,则r2=d2+=3,所以圆C:(x+7)2+y2=3.
(2)如图,设Q(x0,y0),则=-2x0,
所以|CQ|====,
当x0=-6时,|CQ|取最小值,又圆C的半径为,
所以圆C与抛物线E无公共点,且|PQ|的最小值为-.
拓展练
14.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
【答案】 A
【解析】如图,设直线l1的倾斜角为θ,θ∈(0,),则直线l2的倾斜角为+θ,由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|==,|DE|==,
所以|AB|+|DE|=+==≥16,当且仅当sin 2θ=1,即θ=时,等号成立,
即|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.
15.设M(t2,t)为抛物线C:y2=x上的动点.
(1)若点M的纵坐标为,求点M与抛物线C的焦点之间的距离;
(2)过点M(t2,t)分别作两条直线交抛物线C于P(1,1),Q(1,-1)两点,交直线x=-1于A(xA,yA),
B(xB,yB)两点,求yA·yB的值.
【解】 (1)由抛物线C:y2=x,可得F(,0),因为点M(t2,t)的纵坐标为,即t=,
可得t2=2,即点M(2,),根据抛物线的定义,可得|MF|=2+=2+=.
(2)如图所示,由点M(t2,t),且P(1,1),Q(1,-1),可得kPM=,kQM=,
所以PM的直线方程为y-1=(x-1),QM的直线方程为y+1=(x-1),
当x=-1时,可得yA=,yB=,所以yA·yB=·=-1.第7节　抛物线
基础练
1.(2025·河南安阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(1,4),则C的焦点坐标为(　　)
A.(8,0) B.(4,0)
C.(0,4) D.(0,8)
2.下列四个抛物线中,开口朝下且焦点到准线的距离为5的是(　　)
A.y2=-10x B.x2=-10y
C.y2=-5x D.x2=-5y
3.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,|OP|=4,
则|PF|=(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
4.已知点P是抛物线C:y2=4x上的动点,点P到y轴的距离为d,Q(-3,3),则|PQ|+d的最小值为(　　)
A.5 B.+1
C.-1 D.4
5.如图,O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,P为C上一点,若|PF|=8,则△POF的面积为(　　)
A.4 B.4 C.8 D.12
6.(2025·陕西宝鸡模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F且倾斜角为,若抛物线C上存在点M与点N(-,0)关于直线l对称,则抛物线C的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-
7.在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该条抛物线为“安全抛物线”.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40 m,碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80 m,则这次爆破中,“安全抛物线”的焦点到其准线的距离为　　 　　m.
8.在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=2p1x(p1>0)与x2=2p2y(p2>0)在第一象限的交点为A,若OA的斜率为2,则=　　　 　.
9.(2025·安徽亳州模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,第一象限内的点A在E上,AB垂直于l于点B,BF交y轴于点C,若|AF|=2|BC|=4,则p=　　 　　.
10.(2025·甘肃白银模拟)已知M是抛物线y2=2x上一点.
(1)设点A的坐标为(2,0),求|MA|的最小值;
(2)若点M到直线x-y+1=0的距离最小,求出点M的坐标及距离的最小值.
强化练
11.(2025·北京西城模拟)点F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=(　　)
A.2 B.2 C.3 D.4
12.(2025·陕西渭南模拟)若点A在焦点为F的抛物线y2=-8x上,且|AF|=4,点P为直线x=2上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　　　.
13.已知圆C:(x+a)2+y2=r2(a>0),圆心C到抛物线E:y2=-2x的准线的距离为,圆C截直线l:x+3y+2=0所得弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)若P,Q分别为圆C与抛物线E上的点,求P,Q两点间距离的最小值.
拓展练
14.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
15.设M(t2,t)为抛物线C:y2=x上的动点.
(1)若点M的纵坐标为,求点M与抛物线C的焦点之间的距离;
(2)过点M(t2,t)分别作两条直线交抛物线C于P(1,1),Q(1,-1)两点,交直线x=-1于A(xA,yA),
B(xB,yB)两点,求yA·yB的值.

展开更多......

收起↑