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高二年级9月月考数学参考答案：
一、单选题。
1、D 2、A 3、C 4、A 5、D
6、B 7、C 8、D
二、多选题。
9、ABC 10、ACD 11、BD
三、填空题
12、4 13、 14、8
四、解答题。
15．
解析：(1)边过两点,,
由两点式,得,即,
故边的方程是.
(2)设的中点为,
则,,所以,
又边的中线过点,
所以,即,
所以边上的中线所在直线的方程为.
16、解析：(1)依题意,,解得,
因为前3组的频率和为,
前4组的频率和为,
所以所求上四分位数（第75百分位数）为
(2)由频率分布直方图可知年龄在和的频率分别为,,
所以年龄在的投资者应抽取3人,记为A,B,C
年龄在的投资者应抽取2人,记为a,b,
则任取2人,所有的情况为：,,,,,,,,,共10种,
满足条件的为,,,,,,共7种.
故至少有1人年龄在的概率为.
17、解析：（1）连接,与相交于点N,连接,如下图:
因为四边形为矩形,故N为的中点.
又D为的中点,故,
又平面,平面,
所以平面
（2）取的中点,连接,则,
由于平面,故平面,
故以D为坐标原点,DA,DB,DM所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:
因为,,
所以,,,,,
设平面的法向量为,
则,
解得,令得,故,
又
设直线与平面所成的角为,
所以,
故直线与平面所成角正弦值为.
18、解析：（1）由题意可知直线,易知直线l过定点,当直线l过原点时,可得,当时,直线l不经过第二象限.
（2）由题意可知,
直线与x轴、y轴正半轴的交点分别是,,
,
当时,由得:,
即:,或,
即:直线l的方程为或.
19解析：（1）证明:（方法一）取的中点O,连接OC,.
由题意得平面平面,,
所以.
因为平面平面,平面,
所以平面.
因为平面,所以.
因为,,,
所以,
则,所以,即.
又,所以平面.
因为平面,所以.
（方法二）,.
设.由题可知,,
则
,
所以.
（2）过点O作的平行线,交于点D.因为平面,且,平面,所以,.
又因为,所以OA,OC,OD两两互相垂直,故以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,
则,,,.
设平面的法向量为,则即
则,令,则,故.
设平面的法向量为,则即则,令,则,故.
设二面角的平面角为,则,
所以,即二面角的正弦值为.曲靖市罗平县八壹高级中学2025~2026学年上学期9月考试
高二数学答题卡
一、单选题（40分）。（请用2B铅笔填涂）
二、多选题（18分）。
三、填空题（15分）。（请在各试题的答题区内作答）
C
G
B
A
E
A
B
Ci
A
B
-------
C
D
A曲靖市罗平县八壹高级中学2025~2026学年上学期9月考试
高二数学 试卷
考试时间：120 分钟 满分：150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则( )
A. B. C. D.
3．已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知,且与的夹角为,则( )
A. B. A.1 D.2
5．经过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
6．直线，，则“”是“”的( )条件
A.必要不充分 B.充要
C.充分不必要 D.既不充分也不必要
7．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
8．已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
A.若斜率，则 B.若，则
C.若倾斜角，则 D.若，则
10．如图是某公司2020年和2024年支出的比例分配图，其中这两年用于文体活动的支出费用相等，则( )
A.2024年总支出比2020年增长 B.用于宣发的支出2024年比2020年多
C.用于水电的支出2024年与2020年相等 D.用于工资的支出2024年比2020年增长
11．如右上图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A.直线可能与平面相交 B.三棱锥与三棱锥的体积之和为
C.的周长的最小值为 D.当点M是的中点时，与平面所成角最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,若,则x等于________ 。
13．直线倾斜角为,且过点,则________ 。
14．已知直线恒过定点A，点A也在直线上，其中m，n均为正数，则的最小值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知在中,,,.
(1) 求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程.
16．（15分）近几年随着疫情的影响,经济发展速度放缓,投资渠道有限,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.
(1)求a的取值,以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）；
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行投资调查,求至少有1人年龄在的概率.
17．（15分）如图,在正三棱柱中,是棱的中点.
（1）证明:平面; （2）若,,求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知直线.
（1）若直线l不经过第二象限,求的取值范围;
（2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,当的面积为时（O为坐标原点）,求此时相应的直线l的方程.
19．如图,在正三棱柱中,,E为的中点.
（1）证明:. （2）求二面角的正弦值.

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