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2025-2026年湖南省武冈市部分学校九年级数学10月份月考试卷
（考试范围：人教版九年级上册第21-22章）
班级 姓名 准考证号码
（本试题卷共26题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若二次函数．当≤ 3时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．= 3 B．>3 C．≥ 3 D．≤ 3
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+5
C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+5
5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A． B． C．或 D．或
6．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
7．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
8．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
9．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分。
11．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 .
12．已知关于的方程是一元二次方程，则______，这个一元二次方程是__________________.
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．已知，则 ．
15．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
16．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为 ．
17．［较难］一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式.根据示例，在实数范围内分解因式:______________________.
18．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则________.
解答题： 本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．用适当的方法解方程：．
20．解方程：．
21．梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光融合变幻出无穷的水幕．若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条拋物线，垂直于水平面的喷水管高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米．如图所示，以喷水管底部的位置O点为原点，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少多少米？
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
23．长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由．
24．我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题：
（1）二次函数的“W”函数图象如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；
①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（ ）
②当时，函数取最小值1；（ ）
③当或时，y随x的增大而减小．（ ）
（2）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值；
（3）在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围．
25．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为，在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
26．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．
2025-2026年湖南省武冈市部分学校九年级数学10月份月考试卷
参考答案
1．【答案】C
【分析】
由题知道二次函数对称轴为，开口向上，根据二次函数图像的性质，当x在对称轴左边的时候随的增大而减小，即可得解．
【详解】
解：由题知二次函数对称轴为，开口向上，
根据二次函数图像的性质：只需满足即可满足题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了顶点式的二次函数图像的性质；掌握好二次函数图像的性质时本题的关键．
2．【答案】B
【分析】利用解一元二次方程——配方法进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选．
3．【答案】A
【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选A.
4．【答案】C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；
再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1．
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
又∵，，
∴，
∴，
即，
解得，或，
∵，
∴，
故此题答案为A．
6．【答案】D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故此题答案为D．
7．【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得；
综上可得的最大值和最小值分别是，．
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】根据二次函数各项系数与图象的关系，逐个判断即可．
【详解】解∶∵对称轴
∴，2a+b=0；故②正确；
∴a,b异号，
∴ab＜0，故①正确；
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；
根据图示知，当m=1时，有最大值,
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）,故④正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．
故此题答案为A．
9．【答案】C
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故此题答案为C．
10．【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】
解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
11．【答案】（1,4）
【详解】解：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线，
解得，b=2，c=3，
所以，
即该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
12．【答案】；
【解析】 方程是一元二次方程，，，， 这个方程为，故答案为，.
13．【答案】且
【分析】一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程整理得，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得，且，
∴的取值范围是且．
14．【答案】3．
【分析】
先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】
解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
【点睛】
本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算．
15．【答案】﹣3
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．
【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
16．【答案】
【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．
【详解】解：连接PB，
对于抛物线y=-x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，
∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为（-2，0），
所以BD=
17．【答案】
【解析】根据题意求方程的根.，的根为，即，，
.
18．【答案】
【解析】由，得，.设.当时，；当时，.将代入，得，即，由，解得，的最大值为，最小值为.因此，，，则.故答案为.
【思路分析】
先将转化为，设，则，把化成关于的一元二次方程的形式，由一元二次方程有实数解，可得，得到关于的不等式，求得的取值范围，从而得到，的值，即可得解.
19．【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵，
则，
∴．
∴方程的解为，．
20．【答案】【解】，，，或，，．
21．【答案】（1）
（2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意并列出二次函数表达式是解决本题的关键．
（1）根据题意运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意令，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得抛物线经过点，且顶点为点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入表达式得，解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：将代入函数表达式得，
解得，，
，不符合题意，故舍去，
为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米．
22．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【详解】（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
23．【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意建立一元二次方程，根据根的判别式判断方程的根的情况，即可判断每日的利润能否达到480元．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：不能，理由如下：
假如当每日利润为480元时，由题意得，
整理得，，
∵，
∴此方程无实数根，
∴超市销售这种海带每日的利润不能达到480元．
24．【答案】（1）①√；②×；③√
（2）
（3）或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与x轴的交点坐标，正方形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，根据题中函数定义求解是解题的关键；
（1）先求出二次函数的顶点、与x轴的交点横坐标，由题中定义可得它的“W”函数图象的“平衡点”，
与x轴的交点坐标，由此可判定①，再结合图象可判定②和③；
（2）先用含的式子表示出线段，的长，再由以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，可得，代入含的式子解方程即可；
（3）先确定二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大的图象部分，再分类讨论，综合可得结果．
【详解】（1）二次函数，顶点为，
它的“W”函数图象的“平衡点”为．
当时，，解得，，
它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确；
由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误；
由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确.
（2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为，
由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为，
，
当时，，
解方程得，，
，
由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分，
当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，，
即，解得，，
，
．
（3）当时，，
解得，，
如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况：
①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大，
则，
解得．
②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大，
则，
解得．
综上所述，实数h的取值范围为或．
25．【答案】（1），，；
（2）抛物线和的顶点坐标分别为，；的表达式为；的表达式为；
（3）
【详解】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，解得或（在对称轴右侧，舍），
∴，由抛物线对称性可得．
26．【答案】(1)
(2)P（，）
(3)证明见解析
【分析】（1）把A、C坐标代入可得关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值即可得答案；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，直线解析式为，根据（1）中解析式可知D、B两点坐标，可得CD//AB，利用ASA可证明△DCB≌△ECB，可得CE=CD，即可得出点E坐标，利用待定系数法可得直线BP的解析式，联立直线BP与抛物线解析式求出交点坐标即可得答案；
（3）如图，连接MD，MF，设Q（m，-m2+2m+3），F（m，t），根据CD、QF为⊙M的弦可得圆心M是CD、QF的垂直平分线的交点，即可表示出点M坐标，根据MD=MF，利用两点间距离公式可得（）2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理可得t=2，即可得答案．
【详解】（1）∵A（﹣1，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+2x+c图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：．
（2）如图，设BP与y轴交于点E，直线解析式为，
∵点D（m，3）在抛物线上，
∴，
解得：，（与点C重合，舍去），
∴D（2，3），
∴CD//AB，CD=2，
当y=0时，，
解得：，，
∴B（3，0），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，
在△DCB和△ECB中，
∵，
∴△DCB≌△ECB，
∴CE=CD=2，
∴OE=OC-CE=1，
∴E（0，1），
∴，
解得：，
∴直线BP的解析式为，
联立直线BP与抛物线解析式得：，
解得：（舍去），，
∴P（，）．
（3）如图，连接MD，MF，设Q（m，-m2+2m+3），F（m，t），
∵CD、QF为⊙M的弦，
∴圆心M是CD、QF的垂直平分线的交点，
∵C（0，3），D（2，3），QF//y轴，
∴M（1，），
∵MD=MF，
∴2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，
整理得：t=2，
∴点F在定直线y=2上．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、二次函数与一次函数的交点问题及圆的性质，综合性强，熟练掌握相关知识及定理是解题关键．
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