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广东省深圳市福田外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八下·深圳期中）下列四个前沿的Al大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·深圳期中）如果，下列不等式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．3－2a＞3－2b
3．（2025八下·深圳期中）不等式在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·深圳期中）下列命题：①如果，那么；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2025八下·深圳期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·深圳期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到若点M是AB边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点M'，则线段MM'长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·深圳期中）关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·深圳期中）如图，等边三角形ABC的边长为6，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①；②；③四边形ODBE的面积始终等于；④周长的最小值为8．上述结论中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·深圳期中）分解因式：a2+a=　 　．
10．（2025八下·深圳期中）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　；
11．（2025八下·深圳期中）新定义：对于实数，表示运算：ab-c，如=2×3-4=6-4=2，若值大于1，x的取值范围是　 　；
12．（2025八下·深圳期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　 　度．
13．（2025八下·深圳期中）如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去…若点的坐标是，则点的横坐标为　 　．
三、解答题（共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题12分）
14．（2025八下·深圳期中）分解因式：
（1）；
（2）
（3）
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组
16．（2025八下·深圳期中）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
⑴以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出．
⑵作出关于坐标原点成中心对称的．
⑶在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为 ▲ ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
17．（2025八下·深圳期中）“满筐圆实骗珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元．
（1）求每千克红提和青提进价各是多少元．
（2）若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大？最大利润是多少？
18．（2025八下·深圳期中）如图所示，在中，垂直平分AC，交AC于点，交BC于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的周长．
19．（2025八下·深圳期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.
反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数-1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： ▲ ．
（2）理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① ▲ ；
② ▲ ．
（3）探究与拓展
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成mn乘积作为一列，分解成pq乘积作为第二列，分解成jk乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 ▲ ．
②若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
20．（2025八下·深圳期中）综合与探究
（1）模型建立：如图1，等腰Rt中，，直线ED经过点，过点作于点，过点作于点．
求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段AB绕点逆时针旋转，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图3，长方形ABCO，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段BC上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，正确，不符合题意；
B：，正确，不符合题意；
C：，正确，不符合题意；
D：3－2a<3－2b，错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
解得：x≤-1
故答案为：A
【分析】先解不等式，再将解集在数轴上表示即可.
4．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；逆命题；平方根的性质
【解析】【解答】解：①逆命题为：如果，那么，真命题
②逆命题为：全等的两个直角三角形的两个锐角分别相等，真命题
③如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，假命题
④到这条线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题
故答案为：B
【分析】根据等式的性质，全等三角形判定与性质，有理数的平方根的性质，线段垂直平分线判定与性质，命题的逆命题，真假命题的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图象可得：
当时，则
故答案为：C
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合图象即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4
∴
∵将绕点逆时针旋转得到
∴CM=CM'，∠ACM'=90°
∴△CMM'为等腰直角三角形
∴
∴CM长度最小时，线段MM'长度最小
当CM⊥AB时，CM的长度最小
∵
∴
即CM的最小值为
∴线段MM'的长度的最小值为
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AB，根据旋转性质可得CM=CM'，∠ACM'=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△CMM'为等腰直角三角形，则，CM长度最小时，线段MM'长度最小，当CM⊥AB时，CM的长度最小，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≤2
解不等式②得：x>a-2
∴不等式组的解集为a-2∵不等式组恰有4个整数解，即为-1，0，1，2
∴-2≤a-2<-1
解得：
故答案为：B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，列出关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点O是△ABC的中心
∴OB=OC
∵OB，OC平分∠ABC和∠ACB
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°
∵∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°
∴∠BOD=∠COE
在△BOD和△COE中
∴△BOD≌△COE
∴BD=CE，OD=OE，①正确
∴
∴，③正确
作OH⊥DE，则DH=EH
∵∠DOE=120°
∴∠ODE=∠OEH=30°，OH=OE，
∴
∴
即随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值
∴，②错误
∵BD=CE
∴△BDE的周长
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时
∴△BDE的周长的最小值，④错误
故答案为：B
【分析】连接OB，OC，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由题意可得OB=OC，根据角平分线定义可得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再根据角之间的关系可得∠BOD=∠COE，再根据全等三角形判定定理可得△BOD≌△COE，则BD=CE，OD=OE，可判断①；根据三角形面积可得，可判断③；作OH⊥DE，则DH=EH，根据角之间的关系可得∠ODE=∠OEH=30°，OH=OE，，则，再根据三角形面积可得。可判断②；根据三角形周长可得△BDE的周长，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时，即可求出答案.
9．【答案】a（a+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
10．【答案】40°或100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当40°为顶角时，底角为
当40°为底角时，顶角为180°-2×40°=100°
故答案为：40°或100°
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和即可求出答案.
11．【答案】x＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=-2x-(-3)>1
解得：x＜1
故答案为：x＜1
【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
12．【答案】108
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：108．
【分析】连接、，根据角平分线定义可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABC，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠OBC，再根据角平分线性质可得，根据三角形外心性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图象可知，在直线上，且
由条件可知OB=1
当y=1时，，解得：
∴
取AO中点D，连接BD，
∴AD=OD=BD=1
∴OB=OD=BD
∴∠DOB=60°
∴∠OAB=30°
观察图象可知，
解得：
∴OO10的纵坐标
∴
∴的横坐标为
故答案为：
【分析】观察图象可知，在直线上，且，由条件可知OB=1，当y=1时，，则，根据勾股定理可得AO，取AO中点D，连接BD，则AD=OD=BD=1，根据等边三角形性质可得∠DOB=60°，则∠OAB=30°，观察图象可知，，则，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解.
（2）第2个括号提负号，再提公因式进行因式分解.
（3）提公因式，结合完全平方公式进行因式分解.
15．【答案】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
16．【答案】解：⑴如图，即为所求；
⑵如图，即为所求；
⑶如图，点即为所求，点的坐标为
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，由A，A2关于y轴对称，连接A2C1交y轴于点P
∴PA=PA2
则，此时的周长最短
【分析】（1）根据旋转性质作图即可求出答案.
（2）根据中心对称图形性质作图即可求出答案.
（3）由A，A2关于y轴对称，连接A2C1交y轴于点P，则PA=PA2，再根据三角形周长作图即可.
17．【答案】（1）解：设每千克红提的进价是x元，则每千克青提的进价是y元，由题意得：
解得：
答：每千克红提的进价是9元，则每千克青提的进价是12元；
（2）解：设购买红提千克，则购买青提千克，由题意得：
解得：
设利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
此时，，
答：购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元.
（备注：方案合理即可给分）
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克红提的进价是x元，则每千克青提的进价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买红提千克，则购买青提千克，根据题意建立不等式，解不等式可得，设利润为元，根据题意列出函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：垂直平分AC
．
（2）解：由（1）可知
的周长
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，再根据等边对等角可得，根据垂直平分线性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）由（1）可知，根据边之间的关系可得，再根据三角形周长即可求出答案.
19．【答案】（1）或
（2）①；
②
（3）①
②由阅读材料可知：
或．
所以
或，
答：的值为54或-89.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（2）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（3）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
（2）解：①如图，过作轴于点，
在中，令可求得，令可求得，
，
同（1）得，
，
，
，
且，
设直线AC解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线AC解析式为；2分
②如图，当时，，
过点作于，过点作于，
设点的坐标为，
则，
，
点坐标为，
，
，
点坐标
如图，当时，，同理得点坐标
如图，当时，，
同理得点坐标（2，1）
综上可知满足条件的点的坐标分别为或或（2，1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）①过作轴于点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，即，设直线AC解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，，过点作于，过点作于，设点的坐标为，则，根据全等三角形性质可得，则点坐标为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；当时，，同理得点坐标；当时，，同理得点坐标.
1 / 1广东省深圳市福田外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八下·深圳期中）下列四个前沿的Al大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·深圳期中）如果，下列不等式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．3－2a＞3－2b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，正确，不符合题意；
B：，正确，不符合题意；
C：，正确，不符合题意；
D：3－2a<3－2b，错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·深圳期中）不等式在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
解得：x≤-1
故答案为：A
【分析】先解不等式，再将解集在数轴上表示即可.
4．（2025八下·深圳期中）下列命题：①如果，那么；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；逆命题；平方根的性质
【解析】【解答】解：①逆命题为：如果，那么，真命题
②逆命题为：全等的两个直角三角形的两个锐角分别相等，真命题
③如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，假命题
④到这条线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题
故答案为：B
【分析】根据等式的性质，全等三角形判定与性质，有理数的平方根的性质，线段垂直平分线判定与性质，命题的逆命题，真假命题的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·深圳期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图象可得：
当时，则
故答案为：C
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合图象即可求出答案.
6．（2025八下·深圳期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到若点M是AB边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点M'，则线段MM'长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4
∴
∵将绕点逆时针旋转得到
∴CM=CM'，∠ACM'=90°
∴△CMM'为等腰直角三角形
∴
∴CM长度最小时，线段MM'长度最小
当CM⊥AB时，CM的长度最小
∵
∴
即CM的最小值为
∴线段MM'的长度的最小值为
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AB，根据旋转性质可得CM=CM'，∠ACM'=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△CMM'为等腰直角三角形，则，CM长度最小时，线段MM'长度最小，当CM⊥AB时，CM的长度最小，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2025八下·深圳期中）关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≤2
解不等式②得：x>a-2
∴不等式组的解集为a-2∵不等式组恰有4个整数解，即为-1，0，1，2
∴-2≤a-2<-1
解得：
故答案为：B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，列出关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
8．（2025八下·深圳期中）如图，等边三角形ABC的边长为6，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①；②；③四边形ODBE的面积始终等于；④周长的最小值为8．上述结论中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点O是△ABC的中心
∴OB=OC
∵OB，OC平分∠ABC和∠ACB
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°
∵∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°
∴∠BOD=∠COE
在△BOD和△COE中
∴△BOD≌△COE
∴BD=CE，OD=OE，①正确
∴
∴，③正确
作OH⊥DE，则DH=EH
∵∠DOE=120°
∴∠ODE=∠OEH=30°，OH=OE，
∴
∴
即随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值
∴，②错误
∵BD=CE
∴△BDE的周长
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时
∴△BDE的周长的最小值，④错误
故答案为：B
【分析】连接OB，OC，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由题意可得OB=OC，根据角平分线定义可得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再根据角之间的关系可得∠BOD=∠COE，再根据全等三角形判定定理可得△BOD≌△COE，则BD=CE，OD=OE，可判断①；根据三角形面积可得，可判断③；作OH⊥DE，则DH=EH，根据角之间的关系可得∠ODE=∠OEH=30°，OH=OE，，则，再根据三角形面积可得。可判断②；根据三角形周长可得△BDE的周长，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时，即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·深圳期中）分解因式：a2+a=　 　．
【答案】a（a+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
10．（2025八下·深圳期中）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　；
【答案】40°或100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当40°为顶角时，底角为
当40°为底角时，顶角为180°-2×40°=100°
故答案为：40°或100°
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和即可求出答案.
11．（2025八下·深圳期中）新定义：对于实数，表示运算：ab-c，如=2×3-4=6-4=2，若值大于1，x的取值范围是　 　；
【答案】x＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=-2x-(-3)>1
解得：x＜1
故答案为：x＜1
【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
12．（2025八下·深圳期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　 　度．
【答案】108
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：108．
【分析】连接、，根据角平分线定义可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABC，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠OBC，再根据角平分线性质可得，根据三角形外心性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
13．（2025八下·深圳期中）如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去…若点的坐标是，则点的横坐标为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图象可知，在直线上，且
由条件可知OB=1
当y=1时，，解得：
∴
取AO中点D，连接BD，
∴AD=OD=BD=1
∴OB=OD=BD
∴∠DOB=60°
∴∠OAB=30°
观察图象可知，
解得：
∴OO10的纵坐标
∴
∴的横坐标为
故答案为：
【分析】观察图象可知，在直线上，且，由条件可知OB=1，当y=1时，，则，根据勾股定理可得AO，取AO中点D，连接BD，则AD=OD=BD=1，根据等边三角形性质可得∠DOB=60°，则∠OAB=30°，观察图象可知，，则，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题12分）
14．（2025八下·深圳期中）分解因式：
（1）；
（2）
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解.
（2）第2个括号提负号，再提公因式进行因式分解.
（3）提公因式，结合完全平方公式进行因式分解.
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组
【答案】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
16．（2025八下·深圳期中）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
⑴以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出．
⑵作出关于坐标原点成中心对称的．
⑶在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为 ▲ ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
【答案】解：⑴如图，即为所求；
⑵如图，即为所求；
⑶如图，点即为所求，点的坐标为
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，由A，A2关于y轴对称，连接A2C1交y轴于点P
∴PA=PA2
则，此时的周长最短
【分析】（1）根据旋转性质作图即可求出答案.
（2）根据中心对称图形性质作图即可求出答案.
（3）由A，A2关于y轴对称，连接A2C1交y轴于点P，则PA=PA2，再根据三角形周长作图即可.
17．（2025八下·深圳期中）“满筐圆实骗珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元．
（1）求每千克红提和青提进价各是多少元．
（2）若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每千克红提的进价是x元，则每千克青提的进价是y元，由题意得：
解得：
答：每千克红提的进价是9元，则每千克青提的进价是12元；
（2）解：设购买红提千克，则购买青提千克，由题意得：
解得：
设利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
此时，，
答：购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元.
（备注：方案合理即可给分）
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克红提的进价是x元，则每千克青提的进价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买红提千克，则购买青提千克，根据题意建立不等式，解不等式可得，设利润为元，根据题意列出函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
18．（2025八下·深圳期中）如图所示，在中，垂直平分AC，交AC于点，交BC于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：垂直平分AC
．
（2）解：由（1）可知
的周长
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，再根据等边对等角可得，根据垂直平分线性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）由（1）可知，根据边之间的关系可得，再根据三角形周长即可求出答案.
19．（2025八下·深圳期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.
反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数-1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： ▲ ．
（2）理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① ▲ ；
② ▲ ．
（3）探究与拓展
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成mn乘积作为一列，分解成pq乘积作为第二列，分解成jk乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 ▲ ．
②若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）或
（2）①；
②
（3）①
②由阅读材料可知：
或．
所以
或，
答：的值为54或-89.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（2）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（3）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
20．（2025八下·深圳期中）综合与探究
（1）模型建立：如图1，等腰Rt中，，直线ED经过点，过点作于点，过点作于点．
求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段AB绕点逆时针旋转，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图3，长方形ABCO，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段BC上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
（2）解：①如图，过作轴于点，
在中，令可求得，令可求得，
，
同（1）得，
，
，
，
且，
设直线AC解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线AC解析式为；2分
②如图，当时，，
过点作于，过点作于，
设点的坐标为，
则，
，
点坐标为，
，
，
点坐标
如图，当时，，同理得点坐标
如图，当时，，
同理得点坐标（2，1）
综上可知满足条件的点的坐标分别为或或（2，1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）①过作轴于点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，即，设直线AC解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，，过点作于，过点作于，设点的坐标为，则，根据全等三角形性质可得，则点坐标为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；当时，，同理得点坐标；当时，，同理得点坐标.
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