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天津市西青区杨柳青第四中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷
1．（2024九上·西青期中）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·西青期中）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．（2024九上·西青期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·西青期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·西青期中）抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，）
C．（，2） D．（，）
6．（2024九上·西青期中）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大
7．（2024九上·西青期中）受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·西青期中）如图，在平面首角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，则变换后点A的对应点坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·西青期中）已知抛物线 经过点 ， ，则 与 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·西青期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·西青期中）已知是方程的两根，则的值为（　　）
A． B．5 C．7 D．3
12．（2024九上·西青期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
13．（2024九上·西青期中）一元二次方程x2﹣16=0的解是　 　．
14．（2024九上·西青期中）若是方程的一个根，则　 　．
15．（2024九上·西青期中）将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是　 　．
16．（2024九上·西青期中）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．
17．（2024九上·西青期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是　 　．
18．（2024九上·西青期中）如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（I）　 　．
（II）写出旋转中心的坐标是　 　．
19．（2024九上·西青期中）用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·西青期中）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作关于坐标原点成中心对称的；
（2）的坐标为____________，的坐标为____________．
21．（2024九上·西青期中）已知二次函数
（1）用配方法把该函数解析式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
22．（2024九上·西青期中）已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点，求这个二次函数的解析式．
23．（2024九上·西青期中）某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元．
设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）．
（1）根据题意填写表：
　 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元）
现在 60 20 300 20×300＝6000
涨价后 60+x 20+x 　 　 　 　
（2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？
24．（2024九上·西青期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的长．
25．（2024九上·西青期中）如图，抛物线经过三点．
（1）求b，c的值；
（2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标；
（3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义“如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形”可判断A，C，D选项的图形不是中心对称图形，B选项的图形是中心对称图形．
故选：B．
【分析】如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式（一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根）得到，即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：，是旋转角，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据旋转性质可得，是旋转角，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
∴(x-2)2=5.
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是（，2），
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： ，
a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为 ，故B正确；
顶点坐标为（4，-2），故C不正确；
当 时，y随x的增大而增大，故D不正确；
故答案为：B.
【分析】由抛物线解析式可得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意可得：，
故选．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为，，
∴点A的坐标为，
如图所示，将先绕点C顺时针旋转，
则点A的对应点的坐标为，
故选：C．
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线
，开口向上，对称轴为
∴当 时， 随 的增大而增大
又∵
∴
故答案为：B
【分析】先利用抛物线的解析式求出抛物线的开口方向和对称轴，再利用抛物线的性质求解即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在中，当时，解得或，
∴小球从飞出到落地的所用时间为，
故选C．
【分析】将h=0代入解析式，解方程即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两根，
∴，
故选A
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，由图象可得，，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故错误，正确；
又由图象知，当时，，
∴，故错误；
∵二次函数与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确，
综上，正确的有：．
故选：．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】x1=﹣4，x2=4
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得：x2=16，
开方得：x=±4，
解得：x1=﹣4，x2=4．
故答案为：x1=﹣4，x2=4
【分析】方程变形后，开方即可求出解．
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入原方程可得：，解得：.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的定义，把代入方程即可求解.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到．
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
16．【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
17．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】；或
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（I），
故答案为：；
（II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系，
当点A和C，点B和D为对应点时，
如图点O为旋转中心，坐标为，
当点A和D，B和C为对应点时，
如图点为旋转中心，坐标为，
综上：旋转中心的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】（I）根据勾股定理即可求出答案.
（II）根据旋转性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
这里，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
解得：，．
20．【答案】（1）解：如图所示，
（2）
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（2）解：由图得．
故答案为：．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案，
（1）解：如图所示，
（2）解：由图得．
故答案为：．
21．【答案】（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：令，即，
解得：，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：令，即，
解得：，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，．
22．【答案】解：设二次函数的解析式为，则把点代入得：
，
∴，
∴该二次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设二次函数的解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
23．【答案】（1）；
（2）解：依题意得：＝6160，
整理得：，
解得：．
答：该商品每件应涨价2元或8元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：依题意得：
该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．
故答案为：；．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．
故答案为：；．
（2）依题意得：＝6160，
整理得：，
解得：．
答：该商品每件应涨价2元或8元．
24．【答案】（1）证明：由旋转可得：，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴由（1）可知，
在中，
由勾股定理，得，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）由（1）可知，根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：由旋转可得：，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴由（1）可知，
在中，
由勾股定理，得，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理，得．
25．【答案】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，当时，解得或，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或；
在中，当时，此时方程无解；
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图所示．连接，
由抛物线的对称性可知，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线解析式为，再将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，再代入代数式即可求出答案.
（3）连接，由抛物线的对称性可知，则，当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据抛物线对称轴公式可得抛物线对称轴为直线，再将x=-1代入解析式即可求出答案.
（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，当时，解得或，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或；
在中，当时，此时方程无解；
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图所示．连接，
由抛物线的对称性可知，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴．
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1．（2024九上·西青期中）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义“如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形”可判断A，C，D选项的图形不是中心对称图形，B选项的图形是中心对称图形．
故选：B．
【分析】如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形.
2．（2024九上·西青期中）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式（一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根）得到，即可得出答案．
3．（2024九上·西青期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：，是旋转角，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据旋转性质可得，是旋转角，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
4．（2024九上·西青期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
∴(x-2)2=5.
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．（2024九上·西青期中）抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，）
C．（，2） D．（，）
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是（，2），
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
6．（2024九上·西青期中）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： ，
a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为 ，故B正确；
顶点坐标为（4，-2），故C不正确；
当 时，y随x的增大而增大，故D不正确；
故答案为：B.
【分析】由抛物线解析式可得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案.
7．（2024九上·西青期中）受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意可得：，
故选．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
8．（2024九上·西青期中）如图，在平面首角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，则变换后点A的对应点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为，，
∴点A的坐标为，
如图所示，将先绕点C顺时针旋转，
则点A的对应点的坐标为，
故选：C．
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
9．（2024九上·西青期中）已知抛物线 经过点 ， ，则 与 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线
，开口向上，对称轴为
∴当 时， 随 的增大而增大
又∵
∴
故答案为：B
【分析】先利用抛物线的解析式求出抛物线的开口方向和对称轴，再利用抛物线的性质求解即可。
10．（2024九上·西青期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在中，当时，解得或，
∴小球从飞出到落地的所用时间为，
故选C．
【分析】将h=0代入解析式，解方程即可求出答案.
11．（2024九上·西青期中）已知是方程的两根，则的值为（　　）
A． B．5 C．7 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两根，
∴，
故选A
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
12．（2024九上·西青期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，由图象可得，，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故错误，正确；
又由图象知，当时，，
∴，故错误；
∵二次函数与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确，
综上，正确的有：．
故选：．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．（2024九上·西青期中）一元二次方程x2﹣16=0的解是　 　．
【答案】x1=﹣4，x2=4
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得：x2=16，
开方得：x=±4，
解得：x1=﹣4，x2=4．
故答案为：x1=﹣4，x2=4
【分析】方程变形后，开方即可求出解．
14．（2024九上·西青期中）若是方程的一个根，则　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入原方程可得：，解得：.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的定义，把代入方程即可求解.
15．（2024九上·西青期中）将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到．
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
16．（2024九上·西青期中）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
17．（2024九上·西青期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
18．（2024九上·西青期中）如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（I）　 　．
（II）写出旋转中心的坐标是　 　．
【答案】；或
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（I），
故答案为：；
（II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系，
当点A和C，点B和D为对应点时，
如图点O为旋转中心，坐标为，
当点A和D，B和C为对应点时，
如图点为旋转中心，坐标为，
综上：旋转中心的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】（I）根据勾股定理即可求出答案.
（II）根据旋转性质即可求出答案.
19．（2024九上·西青期中）用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
这里，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
解得：，．
20．（2024九上·西青期中）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作关于坐标原点成中心对称的；
（2）的坐标为____________，的坐标为____________．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（2）解：由图得．
故答案为：．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案，
（1）解：如图所示，
（2）解：由图得．
故答案为：．
21．（2024九上·西青期中）已知二次函数
（1）用配方法把该函数解析式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：令，即，
解得：，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：令，即，
解得：，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，．
22．（2024九上·西青期中）已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设二次函数的解析式为，则把点代入得：
，
∴，
∴该二次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设二次函数的解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
23．（2024九上·西青期中）某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元．
设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）．
（1）根据题意填写表：
　 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元）
现在 60 20 300 20×300＝6000
涨价后 60+x 20+x 　 　 　 　
（2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？
【答案】（1）；
（2）解：依题意得：＝6160，
整理得：，
解得：．
答：该商品每件应涨价2元或8元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：依题意得：
该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．
故答案为：；．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．
故答案为：；．
（2）依题意得：＝6160，
整理得：，
解得：．
答：该商品每件应涨价2元或8元．
24．（2024九上·西青期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：由旋转可得：，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴由（1）可知，
在中，
由勾股定理，得，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）由（1）可知，根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：由旋转可得：，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴由（1）可知，
在中，
由勾股定理，得，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理，得．
25．（2024九上·西青期中）如图，抛物线经过三点．
（1）求b，c的值；
（2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标；
（3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，当时，解得或，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或；
在中，当时，此时方程无解；
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图所示．连接，
由抛物线的对称性可知，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线解析式为，再将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，再代入代数式即可求出答案.
（3）连接，由抛物线的对称性可知，则，当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据抛物线对称轴公式可得抛物线对称轴为直线，再将x=-1代入解析式即可求出答案.
（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，当时，解得或，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或；
在中，当时，此时方程无解；
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图所示．连接，
由抛物线的对称性可知，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴．
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