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广东省揭阳市普宁市流沙南片区2024—2025学年九年级上学期期中数学试题
1．（2024九上·普宁期中）央广网4月21日消息，宁波一季度增长，外贸进出口增速创新高．一季度共实现自营进出口约1683亿元，同比增长，创下历史新高，其中1683亿元用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
2．（2024九上·普宁期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·普宁期中）下列相似图形不是位似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·普宁期中）已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·普宁期中）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．5
6．（2024九上·普宁期中）如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·普宁期中）在盒子里放有分别写有整式2，，x，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是
A． B． C． D．
8．（2024九上·普宁期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（　　）．
A．四边形一定是平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当时，四边形为菱形
D．当时，四边形为矩形．
9．（2024九上·普宁期中）若且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·普宁期中）根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（　　）
A． B． C． D．无法判定
11．（2024九上·普宁期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是　 　．
12．（2024九上·普宁期中）已知实数，满足，且，则的值为　 　．
13．（2024九上·普宁期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为　 　．
14．（2024九上·普宁期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离　 　米时，才能发现C处的儿童．
15．（2024九上·普宁期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为　 　．
16．（2024九上·普宁期中）化简求值：，其中，．
17．（2024九上·普宁期中）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？
18．（2024九上·普宁期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．
19．（2024九上·普宁期中）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　 　人；
（2）图2中α是　 ▲ 　度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有　 　人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
20．（2024九上·普宁期中）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
21．（2024九上·普宁期中）重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
22．（2024九上·普宁期中）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ▲ ，请说明理由；
（2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值．
23．（2024九上·普宁期中）●问题发现
如图1，和都是等边三角形，边和在同一直线上，是边的中点，，连接，则下列结论正确的是__________．（填序号即可）
①；②；③；④整个图形是轴对称图形．
●数学思考
将图1中的绕着点旋转，不动，连接和，如图2，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●拓展应用
已知，，在图1中的绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1683亿元＝1683 0000 0000＝1.683×1011元，
故答案为：D．
【分析】首先明确683亿是几位数，然后根据科学记数法表示绝对值大于10的数的规范写法，正确表示出来即可。
2．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．正确，所以A符合题意；
B．，故原等式不正确，所以B不符合题意；
C．，故原等式不正确，所以C不符合题意；
D．，故原等式不正确，所以D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】对各选项进行正确化简。即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；
选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意．
故选：D．
【分析】根据位似图形的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由，则x与y的比例是，只是其中一特殊值，故此项不符合题意；
B、由，可化为，故此项不符合题意；
C、由，得，故此项不符合题意；
D、由，可化为，故此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据比例的基本性质，分别对各选项进行适当的变形，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设有x个球队参加比赛，
依题意得：，
即：
故答案为：D．
【分析】设有x个球队参加比赛，那么每个球队均需要打（x 1）场球，故可得出x（x-1）场球，但是这样每两个球队互打的那一场就都算了两次，故而得出总场数为，即可得出方程，即.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设BC与ED交点为H，如图所示：
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2=16，AC2=9，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6，
∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，
∴△ABC∽△CDH，且AD即为△ABC平移的距离，
∴===，
解得：CD=，
∴AD=3-，
∴平移的距离为3-，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理求得△ABC是直角三角形，然后求得△ABC的面积，由平移可得相似三角形，由相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．
7．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中组成的是分式的有6种结果，
所以能组成分式的概率是，
故答案为：A．
【分析】首先用树状图分析列举出不放回的2次实验的所有结果，再看抽取的两张卡片正好能组成分式的结果，再用概率公式进行求值即可。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接，
分别为四边形各边的中点，
，
且，
，
且，
故四边形为平行四边形，故A正确；
当时，
故平行四边形不是矩形，B错误；
当时，则，故四边形为菱形，C正确；
当时，
，
，
故四边形为矩形，D正确；
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得出EF∥GH，且EF=GH，即可得出四边形是平行四边形；再证明当时， 四边形不是矩形 ，当时，可进一步得出邻边相等，即可得出C正确；当时，可得出∠EFG=90°，即可得出D正确，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
又，
∴
故选：D．
【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解.
10．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：令，由表格可知：时，，当时，，
∴当，存在一个x的值使，
∴关于x的方程的一个解x的范围是；
故答案为：A．
【分析】 关于x的方程的解也就是函数y=与x轴交点的横坐标，即y=0，观察表格数据即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程可变为，
又∵实数，满足，且，
，是方程的两个根，
，
故答案为：．
【分析】将原方程的两边同时乘将原方程整理为：，根据一元二次方程的根的意义可得到，是方程的两个根，根据两根之积与系数的关系，即可得出答案。
13．【答案】160
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵ 点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为40%，
∴黑色部分的面积约为 ：，
即黑色部分的面积约为，
故答案为：．
【分析】根据 落入黑色部分的频率稳定在0.4左右 ，可估计黑色部分的面积占总面积的40%，进而用总面积乘40%，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，
，
点在x轴上方，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据已知图形中的点的坐标可以找出规律：发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，可判断出点A100在x轴的上方，再观察A4，A8的坐标，可发现横坐标不变均为2，纵坐标为2n，当点A右下角序号是100时，n=25，故而得出的纵坐标为50，即可得出的坐标为（2，50）。
16．【答案】解：
，
当，时，原式 ．
【知识点】分式的混合运算；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行运算，即可化简分式为：原式，然后再把，． 代入原式，进行二次根式的运算，即可得出结果。
17．【答案】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪．
（2）解：3天后生猪发病头数为：（头），
，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，然后根据 第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病，可得方程，解方程并进行检验，取适合题意的解即可；
（2）由（1）可知，每头发病生猪平均每天传染13头生猪．可得出 3天后生猪发病头数为：196+196×13=2744（头），通过比较大小，即可得出结论。
（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染15头生猪．
（2）解：3天后生猪发病头数为：（头），
，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
18．【答案】（1）解：∵，，，∴，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴当时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，即，∴或，
∴，，
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）首先求出根的判别式，再根据方程的根的情况，可得出，解之即可得出答案；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出两根分别为，，可发现与k的值无关，即可得出结论。
（1）解：∵，，，
∴，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴当时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，即，
∴或，
∴，，
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为．
19．【答案】（1）40；（2）54，补图见解析；（3）330；解：（4）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，∴P（A）=．
（1）40
（2）54；
（3）330
（4）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，
∴P（A）=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40，
故答案为40；
（2），
故答案为54；
自主学习的时间是0.5小时的人数为40×35%=14；
补充图形如图：
（3）600×=330；
故答案为330；
【分析】（1）观察两个统计图可知：自主学习的时间是1小时的人数是12人，占调查学生总人数的30%，用12÷30%即可求得调查学生的总人数；
（2）观察条形统计图知：自主学习时间0.5小时的人数有6人，可得出，
自主学习的时间是0.5小时的人数：40-（6+12+8）=14；并把条形统计图补充完整即可；
（3）不少于包括大于和等于，即1.5小时和2小时的人数，从而得出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比为，再乘以600即可；
（4）首先画出树状图进行分析，得出所有等可能的结果与选中小亮A的情况，进而根据概率公式即可求得答案．
20．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD CE=CD DE．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出BO=DE=DO，进而根据等腰三角形的性质得出∠BED=90°，即；
（2）可根据两角对应相等的两个三角形相似证得△BDE∽△DCE，进而得出，再转化成等积式即可。
21．【答案】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为， 根据第二次所购数量与第一次购进数量相同．可得出方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设降价元，根据售价×销量=销售额，可得出，解方程，即可求解．
（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
22．【答案】解：（1）四边形为菱形，理由如下：∵四边形是矩形，，，由折叠的性质得：，，，，，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形为菱形，故答案为：菱形；（2）与的数量关系为：，理由如下：如图2，连接PF，∵F为的中点，，∵四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，，，在和Rt△PBF中，，，；（3）分两种情况：①如图3，若点E为的三等分点，且，，，，∵四边形是矩形，，，过点E作于M，则四边形为矩形，，，，，在中，由勾股定理得：，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，；②如图4，若点E为的三等分点，且，则，，过点E作于N，则，同理可得：，，在中，，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，，综上所述，的值为或．
（1）解：四边形为菱形；
理由如下：∵四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形为菱形，
故答案为：菱形；
（2）解：与的数量关系为：，理由如下：
如图2，连接PF，
∵F为的中点，
，
∵四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
在和Rt△PBF中，
，
，
；
（3）解：的值为或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①如图3，若点E为的三等分点，且，
，
，，
∵四边形是矩形，
，，
过点E作于M，
则四边形为矩形，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
；
②如图4，若点E为的三等分点，且，
则，，
过点E作于N，
则，
同理可得：，，
在中，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1）先由矩形的性质得ADIIBC，则∠AEF=∠CFE，再由折叠的性质得AF= CF，∠AFE = ∠CFE，推出∠AEF= ∠AFE，AE=CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而得出平行四边形AECF为菱形；
（2）连接PF，先证∠PC'F=90°，C'F ＝BF，再证RtΛPC'F≌Rt△PBF(HL)，即可得出结论；
（3）分两种情况：①若点E为AD的三等分点，且AE=2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，再由矩形性质和折叠的性质以及勾股定理即可得出答案.
23．【答案】解：●问题发现：∵是边的中点，是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，所以①正确；
过D作交于点G，
∴
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，所以②不正确；
连接，
∵和都是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴三点共线，即，所以③正确；
∴ 由③ 可知整个图形关于直线成轴对称图形，所以④正确；
故答案为：①③④．
●数学思考：，．理由如下：
连接，，由图1，，，
可得．绕着点旋转，
仍然成立．
∵是等边三角形，
∴，．
∴．
同理，，．
∴，．
∴．
∴．
∴，．
延长交于点，交于点，
又，∴．
∴．
∴．
●拓展应用
当时，
∵，
∴，，三点共线．
如备用图1，
设，则．
∵，
∴在中，．
解之得：．又，
∴
即．
如备用图2．
设，则．∵，
∴在中，．
解之得：．
又，∴
即．
综上所述，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称图形；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】●问题发现：根据等式的性质，即可得出①，过D作交于点G，可证得四边形为平行四边形，可得出，所以②不正确；根据垂线的唯一性可得出③，由③的结论可以判断④；即可得出答案；
●数学思考：，且．连接，，根据SAS证明，进而得出，，进而根据AA可证得，进而可得出，即．
●拓展应用：分两种情况：①如备用图1，设，则．利用勾股定理，可得：．解方程求正解，进一步求得，即可得出AD的长；②如备用图2．设，则．利用勾股定理。可得：．解方程求正解，进一步求得，即可得出AD的长；综上即可得出答案。
1 / 1广东省揭阳市普宁市流沙南片区2024—2025学年九年级上学期期中数学试题
1．（2024九上·普宁期中）央广网4月21日消息，宁波一季度增长，外贸进出口增速创新高．一季度共实现自营进出口约1683亿元，同比增长，创下历史新高，其中1683亿元用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1683亿元＝1683 0000 0000＝1.683×1011元，
故答案为：D．
【分析】首先明确683亿是几位数，然后根据科学记数法表示绝对值大于10的数的规范写法，正确表示出来即可。
2．（2024九上·普宁期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．正确，所以A符合题意；
B．，故原等式不正确，所以B不符合题意；
C．，故原等式不正确，所以C不符合题意；
D．，故原等式不正确，所以D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】对各选项进行正确化简。即可得出答案。
3．（2024九上·普宁期中）下列相似图形不是位似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；
选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意．
故选：D．
【分析】根据位似图形的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024九上·普宁期中）已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由，则x与y的比例是，只是其中一特殊值，故此项不符合题意；
B、由，可化为，故此项不符合题意；
C、由，得，故此项不符合题意；
D、由，可化为，故此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据比例的基本性质，分别对各选项进行适当的变形，即可得出答案。
5．（2024九上·普宁期中）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．5
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设有x个球队参加比赛，
依题意得：，
即：
故答案为：D．
【分析】设有x个球队参加比赛，那么每个球队均需要打（x 1）场球，故可得出x（x-1）场球，但是这样每两个球队互打的那一场就都算了两次，故而得出总场数为，即可得出方程，即.
6．（2024九上·普宁期中）如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设BC与ED交点为H，如图所示：
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2=16，AC2=9，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6，
∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，
∴△ABC∽△CDH，且AD即为△ABC平移的距离，
∴===，
解得：CD=，
∴AD=3-，
∴平移的距离为3-，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理求得△ABC是直角三角形，然后求得△ABC的面积，由平移可得相似三角形，由相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．
7．（2024九上·普宁期中）在盒子里放有分别写有整式2，，x，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中组成的是分式的有6种结果，
所以能组成分式的概率是，
故答案为：A．
【分析】首先用树状图分析列举出不放回的2次实验的所有结果，再看抽取的两张卡片正好能组成分式的结果，再用概率公式进行求值即可。
8．（2024九上·普宁期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（　　）．
A．四边形一定是平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当时，四边形为菱形
D．当时，四边形为矩形．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接，
分别为四边形各边的中点，
，
且，
，
且，
故四边形为平行四边形，故A正确；
当时，
故平行四边形不是矩形，B错误；
当时，则，故四边形为菱形，C正确；
当时，
，
，
故四边形为矩形，D正确；
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得出EF∥GH，且EF=GH，即可得出四边形是平行四边形；再证明当时， 四边形不是矩形 ，当时，可进一步得出邻边相等，即可得出C正确；当时，可得出∠EFG=90°，即可得出D正确，即可得出答案。
9．（2024九上·普宁期中）若且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
又，
∴
故选：D．
【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解.
10．（2024九上·普宁期中）根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（　　）
A． B． C． D．无法判定
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：令，由表格可知：时，，当时，，
∴当，存在一个x的值使，
∴关于x的方程的一个解x的范围是；
故答案为：A．
【分析】 关于x的方程的解也就是函数y=与x轴交点的横坐标，即y=0，观察表格数据即可得出答案。
11．（2024九上·普宁期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值.
12．（2024九上·普宁期中）已知实数，满足，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程可变为，
又∵实数，满足，且，
，是方程的两个根，
，
故答案为：．
【分析】将原方程的两边同时乘将原方程整理为：，根据一元二次方程的根的意义可得到，是方程的两个根，根据两根之积与系数的关系，即可得出答案。
13．（2024九上·普宁期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为　 　．
【答案】160
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵ 点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为40%，
∴黑色部分的面积约为 ：，
即黑色部分的面积约为，
故答案为：．
【分析】根据 落入黑色部分的频率稳定在0.4左右 ，可估计黑色部分的面积占总面积的40%，进而用总面积乘40%，即可得出答案。
14．（2024九上·普宁期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离　 　米时，才能发现C处的儿童．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
15．（2024九上·普宁期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，
，
点在x轴上方，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据已知图形中的点的坐标可以找出规律：发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，可判断出点A100在x轴的上方，再观察A4，A8的坐标，可发现横坐标不变均为2，纵坐标为2n，当点A右下角序号是100时，n=25，故而得出的纵坐标为50，即可得出的坐标为（2，50）。
16．（2024九上·普宁期中）化简求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式 ．
【知识点】分式的混合运算；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行运算，即可化简分式为：原式，然后再把，． 代入原式，进行二次根式的运算，即可得出结果。
17．（2024九上·普宁期中）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？
【答案】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪．
（2）解：3天后生猪发病头数为：（头），
，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，然后根据 第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病，可得方程，解方程并进行检验，取适合题意的解即可；
（2）由（1）可知，每头发病生猪平均每天传染13头生猪．可得出 3天后生猪发病头数为：196+196×13=2744（头），通过比较大小，即可得出结论。
（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染15头生猪．
（2）解：3天后生猪发病头数为：（头），
，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
18．（2024九上·普宁期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．
【答案】（1）解：∵，，，∴，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴当时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，即，∴或，
∴，，
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）首先求出根的判别式，再根据方程的根的情况，可得出，解之即可得出答案；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出两根分别为，，可发现与k的值无关，即可得出结论。
（1）解：∵，，，
∴，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴当时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，即，
∴或，
∴，，
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为．
19．（2024九上·普宁期中）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　 　人；
（2）图2中α是　 ▲ 　度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有　 　人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
【答案】（1）40；（2）54，补图见解析；（3）330；解：（4）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，∴P（A）=．
（1）40
（2）54；
（3）330
（4）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，
∴P（A）=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40，
故答案为40；
（2），
故答案为54；
自主学习的时间是0.5小时的人数为40×35%=14；
补充图形如图：
（3）600×=330；
故答案为330；
【分析】（1）观察两个统计图可知：自主学习的时间是1小时的人数是12人，占调查学生总人数的30%，用12÷30%即可求得调查学生的总人数；
（2）观察条形统计图知：自主学习时间0.5小时的人数有6人，可得出，
自主学习的时间是0.5小时的人数：40-（6+12+8）=14；并把条形统计图补充完整即可；
（3）不少于包括大于和等于，即1.5小时和2小时的人数，从而得出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比为，再乘以600即可；
（4）首先画出树状图进行分析，得出所有等可能的结果与选中小亮A的情况，进而根据概率公式即可求得答案．
20．（2024九上·普宁期中）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD CE=CD DE．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出BO=DE=DO，进而根据等腰三角形的性质得出∠BED=90°，即；
（2）可根据两角对应相等的两个三角形相似证得△BDE∽△DCE，进而得出，再转化成等积式即可。
21．（2024九上·普宁期中）重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
【答案】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为， 根据第二次所购数量与第一次购进数量相同．可得出方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设降价元，根据售价×销量=销售额，可得出，解方程，即可求解．
（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
22．（2024九上·普宁期中）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ▲ ，请说明理由；
（2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值．
【答案】解：（1）四边形为菱形，理由如下：∵四边形是矩形，，，由折叠的性质得：，，，，，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形为菱形，故答案为：菱形；（2）与的数量关系为：，理由如下：如图2，连接PF，∵F为的中点，，∵四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，，，在和Rt△PBF中，，，；（3）分两种情况：①如图3，若点E为的三等分点，且，，，，∵四边形是矩形，，，过点E作于M，则四边形为矩形，，，，，在中，由勾股定理得：，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，；②如图4，若点E为的三等分点，且，则，，过点E作于N，则，同理可得：，，在中，，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，，综上所述，的值为或．
（1）解：四边形为菱形；
理由如下：∵四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形为菱形，
故答案为：菱形；
（2）解：与的数量关系为：，理由如下：
如图2，连接PF，
∵F为的中点，
，
∵四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
在和Rt△PBF中，
，
，
；
（3）解：的值为或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①如图3，若点E为的三等分点，且，
，
，，
∵四边形是矩形，
，，
过点E作于M，
则四边形为矩形，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
；
②如图4，若点E为的三等分点，且，
则，，
过点E作于N，
则，
同理可得：，，
在中，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1）先由矩形的性质得ADIIBC，则∠AEF=∠CFE，再由折叠的性质得AF= CF，∠AFE = ∠CFE，推出∠AEF= ∠AFE，AE=CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而得出平行四边形AECF为菱形；
（2）连接PF，先证∠PC'F=90°，C'F ＝BF，再证RtΛPC'F≌Rt△PBF(HL)，即可得出结论；
（3）分两种情况：①若点E为AD的三等分点，且AE=2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，再由矩形性质和折叠的性质以及勾股定理即可得出答案.
23．（2024九上·普宁期中）●问题发现
如图1，和都是等边三角形，边和在同一直线上，是边的中点，，连接，则下列结论正确的是__________．（填序号即可）
①；②；③；④整个图形是轴对称图形．
●数学思考
将图1中的绕着点旋转，不动，连接和，如图2，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●拓展应用
已知，，在图1中的绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长度．
【答案】解：●问题发现：∵是边的中点，是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，所以①正确；
过D作交于点G，
∴
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，所以②不正确；
连接，
∵和都是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴三点共线，即，所以③正确；
∴ 由③ 可知整个图形关于直线成轴对称图形，所以④正确；
故答案为：①③④．
●数学思考：，．理由如下：
连接，，由图1，，，
可得．绕着点旋转，
仍然成立．
∵是等边三角形，
∴，．
∴．
同理，，．
∴，．
∴．
∴．
∴，．
延长交于点，交于点，
又，∴．
∴．
∴．
●拓展应用
当时，
∵，
∴，，三点共线．
如备用图1，
设，则．
∵，
∴在中，．
解之得：．又，
∴
即．
如备用图2．
设，则．∵，
∴在中，．
解之得：．
又，∴
即．
综上所述，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称图形；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】●问题发现：根据等式的性质，即可得出①，过D作交于点G，可证得四边形为平行四边形，可得出，所以②不正确；根据垂线的唯一性可得出③，由③的结论可以判断④；即可得出答案；
●数学思考：，且．连接，，根据SAS证明，进而得出，，进而根据AA可证得，进而可得出，即．
●拓展应用：分两种情况：①如备用图1，设，则．利用勾股定理，可得：．解方程求正解，进一步求得，即可得出AD的长；②如备用图2．设，则．利用勾股定理。可得：．解方程求正解，进一步求得，即可得出AD的长；综上即可得出答案。
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