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浙江省宁波市余姚市六校2024-2025学年上学期九年级期中联考数学试卷
1．（2024九上·余姚期中）在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．无法判断
2．（2024九上·余姚期中）已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定
3．（2024九上·余姚期中）抛物线与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·余姚期中）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·余姚期中）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C．等弧就是长度相等的两条弧
D．圆中最长的弦是直径
6．（2024九上·余姚期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
7．（2024九上·余姚期中）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（　　）
A．8 B．5 C．4 D．3
8．（2024九上·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2024九上·余姚期中）如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于(　　)
A．158° B．58° C．64° D．116°
10．（2024九上·余姚期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2024九上·余姚期中）二次函数y＝2x2的图象开口方向是　 　.
12．（2024九上·余姚期中）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 　 　．
13．（2024九上·余姚期中）如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是　 　
14．（2024九上·余姚期中）如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么　 　（填“”、“”或“”）．
15．（2024九上·余姚期中）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则　 　．
16．（2024九上·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有　 　（填序号）．
17．（2024九上·余姚期中）已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
18．（2024九上·余姚期中）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
19．（2024九上·余姚期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹）
（1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形；
（2）求出的面积．
20．（2024九上·余姚期中）如图，的弦，相交于点E，且，求证：．
21．（2024九上·余姚期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
22．（2024九上·余姚期中）如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且，与交于点E．
（1）求证：E为的中点．
（2）若，，求的长度．
23．（2024九上·余姚期中）已知二次函数．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
24．（2024九上·余姚期中）已知：四点在上，延长交于点，且．
（1）若，
①求证：；
②当时，求的度数．
（2）若的半径为4，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，因而这是一个不可能事件.
故答案为：C.
【分析】必然事件：在条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；不可能事件：在条件下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；由于盒子中只有黑色围棋，而没有白棋，然后结合必然事件、不确定事件、不可能事件的概念进行判断.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径是5， OP=6，
又∵5＜6，
即d∴点P在圆外，
故答案为：C．
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论.若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，
∴抛物线与y轴交点坐标为．
故答案为：C．
【分析】令抛物线y=x2-8x+12中的x=0，算出对应的函数值，即可得到抛物线与y轴交点的坐标.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：C．
【分析】根据抛物线平移的规律“x值左加右减，函数值上加下减”进行求解即可得答案．
5．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A.三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，故此选项不符合题意.
D.圆中最长的弦是直径，正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可.
6．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据统计图可知，这种树苗成活的频率稳定在0.90，∴这种树苗移植成活的概率约为0.90.
故答案为：B．
【分析】根据统计图可得，随着样本量的进一步增加，频率逐渐稳定在0.90附近，即可得出．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点为中点，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【分析】根据垂径定理可得，然后利用勾股定理解答即可．
8．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得：
即：
故答案为：C.
【分析】设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润销售量每个利润建立出函数关系式，再化简即可.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的度数，然后利用邻补角的定义解题．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：对于①，由抛物线对称轴为直线，从而，则，故结论①正确；对于②，抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故结论②错误；
对于③，方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故
对于④，由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（ 2，0），故
对于⑤，由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故结论
故正确的有结论①③⑤，共计3个
故答案为：C
【分析】根据二次函数对称轴可得，则，故结论①正确；再根据二次函数图象与系数的关系可得，故结论②错误；根据二次函数与二次方程之间的关系可得方程有两个相等的实数根，故结论③正确；再根据二次函数的性质可得④错误；⑤正确；
11．【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上.
【分析】由于二次项的系数大于0，故图象开口向上.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，
∴抽中字母h的概率为，
故答案为：．
【分析】根据“概率所求情况数与总情况数之比”解答即可．
13．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
【分析】连接，根据圆周角定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，函数的对称轴为：，
∴点关于的对称点为：，
∵函数开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据函数解析式得到图象的对称轴，再根据对称性找到点关于对称轴的对称点，最后根据函数分析出即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角.先利用旋转的性质可得：，根据等边对等角可得：，利用三角形的内角和定理可求出，再根据，可求出的度数.
16．【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，如图所示，
①∵∠BAD=90°，点A、B、D在圆上，
∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
又∵∠CDA=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
②由①可得AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴∠AEB=∠MAE，∴，故②正确；
④∵，∴AB=EM=1，
∵四边形ADMB是矩形，∴AB=DM，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90°，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90°，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
③由题设条件求不出⊙O的直径，故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】先连接BD，BM，AM，EM，DE，根据直径所对的圆周角为90°和矩形的判定证出四边形ADMB是矩形，得到AB=DM，即可判断①；在根据一组对边平行且相等证出四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，∠AEB=∠MAE，再根据同圆中，圆周角相等，所对的弧相等即可判断②；根据等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和定理即可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，即可判断③.
17．【答案】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入 ，即可求出p，q的值；
（2）利用p、q的值写出解析式，把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
18．【答案】（1）；
解：（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
小红爸爸 王老师 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．
（2）列出表格，求出所有等可能得结果，再求出“他与小红的爸爸”在同一组的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为：．
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质分别作出点A、B、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）结合方格纸的特点，利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为：．
20．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】先根据等圆中，等弦所对的弧相等证出，进而得到，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得到，最后根据三角形的性质等角对等边即可证出.
21．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；

（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时，求出y值，与2.44作比较解答即可．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
22．【答案】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴，
∴E为的中点；
（2）解：由（1）得，，
∵，设圆O的半径为，则，，．
在中，，即，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角等于90°，可得，进而得到，再根据垂直于弦的直径平分弦，即可证出.
（2）先设圆O的半径为，再根据勾股定理进行计算即可．
（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴，
∴E为的中点；
（2）解：∵，，
∴设圆O的半径为，，，．
在中，，即，
解得，
∴．
23．【答案】（1）∵，
∴顶点坐标，对称轴是直线，
令，得，解得：，
∴与x轴的交点坐标是，；
故该函数图象的顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是，.
（2）∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵3-（-6）=9，
∴当时，求y的最大值与最小值之差为9.
（3）∵，对称轴是直线，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当x=k时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将二次函数解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标和坐标轴，再令，求出x轴的交点坐标即可.
（2）根据二次函数的性质可得在对称轴时，y取得最小值，再计算当时，y取得最大值即可.
（3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
（1）解：∵，
∴顶点坐标，对称轴是直线，
由，得，解得：，
故与x轴的交点坐标是，；
（2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵，
∴当时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）解：∵，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
24．【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∵四点在上，
∴，
∴，
∴；
由可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图：作于，则，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，
∵的半径为4，
∴的最大值为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）①由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，则，从而由等角对等边即可得证；
②由可得：，由三角形外角性质推出∠AEC=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得为等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得出，即可得解；
（2）作AP⊥BC于P，由勾股定理表示出AB2+AC2，根据已知数据得出AB2+AC2=72+2(PE2+AP2)，结合PE2+AP2=AE2，得出当AE最大时，AB2+AC2最大，即当AE过圆心O为直径时最大，计算即可得解．
（1）证明：∵，
∴，
∵四点在上，
∴，
∴，
∴；
由可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图：作于，则，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，
∵的半径为4，
∴的最大值为．
1 / 1浙江省宁波市余姚市六校2024-2025学年上学期九年级期中联考数学试卷
1．（2024九上·余姚期中）在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．无法判断
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，因而这是一个不可能事件.
故答案为：C.
【分析】必然事件：在条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；不可能事件：在条件下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；由于盒子中只有黑色围棋，而没有白棋，然后结合必然事件、不确定事件、不可能事件的概念进行判断.
2．（2024九上·余姚期中）已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径是5， OP=6，
又∵5＜6，
即d∴点P在圆外，
故答案为：C．
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论.若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内.
3．（2024九上·余姚期中）抛物线与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，
∴抛物线与y轴交点坐标为．
故答案为：C．
【分析】令抛物线y=x2-8x+12中的x=0，算出对应的函数值，即可得到抛物线与y轴交点的坐标.
4．（2024九上·余姚期中）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：C．
【分析】根据抛物线平移的规律“x值左加右减，函数值上加下减”进行求解即可得答案．
5．（2024九上·余姚期中）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C．等弧就是长度相等的两条弧
D．圆中最长的弦是直径
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A.三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，故此选项不符合题意.
D.圆中最长的弦是直径，正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可.
6．（2024九上·余姚期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据统计图可知，这种树苗成活的频率稳定在0.90，∴这种树苗移植成活的概率约为0.90.
故答案为：B．
【分析】根据统计图可得，随着样本量的进一步增加，频率逐渐稳定在0.90附近，即可得出．
7．（2024九上·余姚期中）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（　　）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点为中点，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【分析】根据垂径定理可得，然后利用勾股定理解答即可．
8．（2024九上·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得：
即：
故答案为：C.
【分析】设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润销售量每个利润建立出函数关系式，再化简即可.
9．（2024九上·余姚期中）如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于(　　)
A．158° B．58° C．64° D．116°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的度数，然后利用邻补角的定义解题．
10．（2024九上·余姚期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：对于①，由抛物线对称轴为直线，从而，则，故结论①正确；对于②，抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故结论②错误；
对于③，方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故
对于④，由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（ 2，0），故
对于⑤，由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故结论
故正确的有结论①③⑤，共计3个
故答案为：C
【分析】根据二次函数对称轴可得，则，故结论①正确；再根据二次函数图象与系数的关系可得，故结论②错误；根据二次函数与二次方程之间的关系可得方程有两个相等的实数根，故结论③正确；再根据二次函数的性质可得④错误；⑤正确；
11．（2024九上·余姚期中）二次函数y＝2x2的图象开口方向是　 　.
【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上.
【分析】由于二次项的系数大于0，故图象开口向上.
12．（2024九上·余姚期中）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，
∴抽中字母h的概率为，
故答案为：．
【分析】根据“概率所求情况数与总情况数之比”解答即可．
13．（2024九上·余姚期中）如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是　 　
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
【分析】连接，根据圆周角定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可.
14．（2024九上·余姚期中）如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么　 　（填“”、“”或“”）．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，函数的对称轴为：，
∴点关于的对称点为：，
∵函数开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据函数解析式得到图象的对称轴，再根据对称性找到点关于对称轴的对称点，最后根据函数分析出即可.
15．（2024九上·余姚期中）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角.先利用旋转的性质可得：，根据等边对等角可得：，利用三角形的内角和定理可求出，再根据，可求出的度数.
16．（2024九上·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有　 　（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，如图所示，
①∵∠BAD=90°，点A、B、D在圆上，
∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
又∵∠CDA=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
②由①可得AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴∠AEB=∠MAE，∴，故②正确；
④∵，∴AB=EM=1，
∵四边形ADMB是矩形，∴AB=DM，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90°，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90°，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
③由题设条件求不出⊙O的直径，故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】先连接BD，BM，AM，EM，DE，根据直径所对的圆周角为90°和矩形的判定证出四边形ADMB是矩形，得到AB=DM，即可判断①；在根据一组对边平行且相等证出四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，∠AEB=∠MAE，再根据同圆中，圆周角相等，所对的弧相等即可判断②；根据等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和定理即可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，即可判断③.
17．（2024九上·余姚期中）已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入 ，即可求出p，q的值；
（2）利用p、q的值写出解析式，把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
18．（2024九上·余姚期中）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【答案】（1）；
解：（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
小红爸爸 王老师 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．
（2）列出表格，求出所有等可能得结果，再求出“他与小红的爸爸”在同一组的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．（2024九上·余姚期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹）
（1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形；
（2）求出的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为：．
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质分别作出点A、B、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）结合方格纸的特点，利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为：．
20．（2024九上·余姚期中）如图，的弦，相交于点E，且，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】先根据等圆中，等弦所对的弧相等证出，进而得到，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得到，最后根据三角形的性质等角对等边即可证出.
21．（2024九上·余姚期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；

（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时，求出y值，与2.44作比较解答即可．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
22．（2024九上·余姚期中）如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且，与交于点E．
（1）求证：E为的中点．
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴，
∴E为的中点；
（2）解：由（1）得，，
∵，设圆O的半径为，则，，．
在中，，即，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角等于90°，可得，进而得到，再根据垂直于弦的直径平分弦，即可证出.
（2）先设圆O的半径为，再根据勾股定理进行计算即可．
（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴，
∴E为的中点；
（2）解：∵，，
∴设圆O的半径为，，，．
在中，，即，
解得，
∴．
23．（2024九上·余姚期中）已知二次函数．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
【答案】（1）∵，
∴顶点坐标，对称轴是直线，
令，得，解得：，
∴与x轴的交点坐标是，；
故该函数图象的顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是，.
（2）∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵3-（-6）=9，
∴当时，求y的最大值与最小值之差为9.
（3）∵，对称轴是直线，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当x=k时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将二次函数解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标和坐标轴，再令，求出x轴的交点坐标即可.
（2）根据二次函数的性质可得在对称轴时，y取得最小值，再计算当时，y取得最大值即可.
（3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
（1）解：∵，
∴顶点坐标，对称轴是直线，
由，得，解得：，
故与x轴的交点坐标是，；
（2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵，
∴当时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）解：∵，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
24．（2024九上·余姚期中）已知：四点在上，延长交于点，且．
（1）若，
①求证：；
②当时，求的度数．
（2）若的半径为4，求的最大值．
【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∵四点在上，
∴，
∴，
∴；
由可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图：作于，则，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，
∵的半径为4，
∴的最大值为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）①由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，则，从而由等角对等边即可得证；
②由可得：，由三角形外角性质推出∠AEC=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得为等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得出，即可得解；
（2）作AP⊥BC于P，由勾股定理表示出AB2+AC2，根据已知数据得出AB2+AC2=72+2(PE2+AP2)，结合PE2+AP2=AE2，得出当AE最大时，AB2+AC2最大，即当AE过圆心O为直径时最大，计算即可得解．
（1）证明：∵，
∴，
∵四点在上，
∴，
∴，
∴；
由可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图：作于，则，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，
∵的半径为4，
∴的最大值为．
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