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广东省阳江市田家炳学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
1．（2024九上·阳江期中）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·阳江期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6、2、9 B．2、、 C．2、、9 D．、6、9
3．（2024九上·阳江期中）用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·阳江期中）如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·阳江期中）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．（2024九上·阳江期中）对于抛物线 下列说法正确的是（　　）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
7．（2024九上·阳江期中）对于抛物线，下列说法中错误的是（　　）
A．开口向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y有最小值是4
8．（2024九上·阳江期中）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x﹣1）=28 B． x（x﹣1）=28
C．2x（x﹣1）=28 D． x（x+1）=28
9．（2024九上·阳江期中）抛物线，对称轴为直线，且经过点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
10．（2024九上·阳江期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024九上·阳江期中）如果点与点关于原点对称，那么点的坐标是　 　．
12．（2024九上·阳江期中）如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数为　 　°．
13．（2024九上·阳江期中）如图，是由绕点O顺时针方向旋转得到的，若，，点在上，则的大小是　 　．
14．（2024九上·阳江期中）方程x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为　 　．
15．（2024九上·阳江期中）若函数是二次函数，则　 　．
16．（2024九上·阳江期中）解方程：．
17．（2024九上·阳江期中）解方程：
18．（2024九上·阳江期中）解方程：．
19．（2024九上·阳江期中）已知抛物线经过点A(－2，－8).
（1）求的值，
（2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.
20．（2024九上·阳江期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
21．（2024九上·阳江期中）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．
（1）补充完成图形；
（2）求证：．
22．（2024九上·阳江期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
23．（2024九上·阳江期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求、两点的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、、，
故选：B．
【分析】根据二次方程相关量的定义即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， ，整理后得，
，
故答案为：D.
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为，
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
则方程有两个不等的实数根.
故选：C．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线 ，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数顶点式可以判断抛物线开口方向，直接写出顶点坐标。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 开口向下，对称轴是y轴，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，y有最大值是4，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x﹣1）场，但两班之间只有一场比赛，
故 x（x﹣1）=28．
故选：B．
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x﹣1）÷2，即可列方程求解．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：因为抛物线对称轴是且经过点，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
将代入抛物线解析式中，得，
故选：B．
【分析】根据二次函数的对称性质可得抛物线与轴的另一个交点是，再将点(1，0)代入解析式即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点关于原点对称，那么点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】45
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知∠AOC＝60°，∠AOB＝∠COD＝15°，∴∠AOD＝∠AOC ∠COD＝45°，
故答案为：45．
【分析】根据旋转的性质得出∠AOC＝60°，∠AOB＝∠COD＝15°，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵是由绕点O顺时针方向旋转得到的，
∴，
∴是等边三角形，
则，
∴，
故答案为：7．
【分析】根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】x2－5x＋6＝0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵x2＋px＋q＝0，甲看错了常数项，得两根6和-1，
∴p＝ （6-1）＝-5，
∵x2＋px＋q＝0，乙看错了一次项，得两根-2和 3，
∴q＝（-2）×（-3）＝6，
∴原一元二次方程为：x2-5x＋6＝0．
故答案为：x2-5x＋6＝0．
【分析】根据甲得出p＝ （6-1）＝-5，根据乙得出q＝（-2）×（-3）＝6，代入求出即可．
15．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴且
解得：
故答案为：．
【分析】根据二次函数定义即可求出答案.
16．【答案】解：∵，
∴，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
17．【答案】解：
∴，
解得：

【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求出答案.
18．【答案】解：，
∴，
∴或，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
19．【答案】解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2中，
得4a=﹣8，
解得a=﹣2；
（2）∵a=﹣2，
∴y=﹣2x2，
将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，
解得m=± ，
则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2中得4a=﹣8，解出a值即可；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线y=﹣2x2中，求出m的值，即可得到点P的坐标．
20．【答案】解：（1）∵关于x的方程总有两个实数根，
∴ ，
解得：．
（2）∵为方程的两个根，
∴．
∵，
∴，
∴，
整理，得：，即，
解得：（不合题意，舍去），，
∴m的值为1．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得 ，再求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再结合，可得，再求解即可.
21．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∴，
即，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；作图﹣旋转；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据等边三角形性质可得，，再根据旋转性质可得，，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∴，
即，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6 000
解得x=5或x=10，
为了使顾客得到实惠，所以x=5
答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元
（2）解：设涨价z元时总利润为y，
则y=（10+z）（500﹣20z）
=﹣20z2+300z+5 000
=﹣20（z2﹣15z）+5000
=﹣20（z2﹣15z+ ﹣ ）+5000
=﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125
答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
23．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
当时，，则，
当时，，
解得：
∴，；
（2）解：存在，点．理由如下：
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，；是对称点，且，对称轴为直线
如图所示，当是与的交点时，的周长最小，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）解：如图，设，过点作交于点，则
∴
∴
∴当时，的面积最大，最大值为
∴
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数对称性质可得对称轴为直线x=1，当是与的交点时，的周长最小，设直线的解析式为，根据待定系数法将点(3，0)代入解析式可得直线的解析式为，再将x=-1代入解析式即可求出答案.
（3）设，过点作交于点，则，根据两点间距离可得QM，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
当时，，则，
当时，，
解得：
∴，；
（2）存在，点．理由如下：
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，；是对称点，且，对称轴为直线
如图所示，当是与的交点时，的周长最小，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）如图，设，过点作交于点，则
∴
∴
∴当时，的面积最大，最大值为
∴
∴
1 / 1广东省阳江市田家炳学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
1．（2024九上·阳江期中）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2．（2024九上·阳江期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6、2、9 B．2、、 C．2、、9 D．、6、9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、、，
故选：B．
【分析】根据二次方程相关量的定义即可求出答案.
3．（2024九上·阳江期中）用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， ，整理后得，
，
故答案为：D.
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
4．（2024九上·阳江期中）如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为，
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
5．（2024九上·阳江期中）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
则方程有两个不等的实数根.
故选：C．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
6．（2024九上·阳江期中）对于抛物线 下列说法正确的是（　　）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线 ，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数顶点式可以判断抛物线开口方向，直接写出顶点坐标。
7．（2024九上·阳江期中）对于抛物线，下列说法中错误的是（　　）
A．开口向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y有最小值是4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 开口向下，对称轴是y轴，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，y有最大值是4，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
8．（2024九上·阳江期中）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x﹣1）=28 B． x（x﹣1）=28
C．2x（x﹣1）=28 D． x（x+1）=28
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x﹣1）场，但两班之间只有一场比赛，
故 x（x﹣1）=28．
故选：B．
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x﹣1）÷2，即可列方程求解．
9．（2024九上·阳江期中）抛物线，对称轴为直线，且经过点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：因为抛物线对称轴是且经过点，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
将代入抛物线解析式中，得，
故选：B．
【分析】根据二次函数的对称性质可得抛物线与轴的另一个交点是，再将点(1，0)代入解析式即可求出答案.
10．（2024九上·阳江期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．（2024九上·阳江期中）如果点与点关于原点对称，那么点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点关于原点对称，那么点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．（2024九上·阳江期中）如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数为　 　°．
【答案】45
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知∠AOC＝60°，∠AOB＝∠COD＝15°，∴∠AOD＝∠AOC ∠COD＝45°，
故答案为：45．
【分析】根据旋转的性质得出∠AOC＝60°，∠AOB＝∠COD＝15°，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．（2024九上·阳江期中）如图，是由绕点O顺时针方向旋转得到的，若，，点在上，则的大小是　 　．
【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵是由绕点O顺时针方向旋转得到的，
∴，
∴是等边三角形，
则，
∴，
故答案为：7．
【分析】根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2024九上·阳江期中）方程x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为　 　．
【答案】x2－5x＋6＝0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵x2＋px＋q＝0，甲看错了常数项，得两根6和-1，
∴p＝ （6-1）＝-5，
∵x2＋px＋q＝0，乙看错了一次项，得两根-2和 3，
∴q＝（-2）×（-3）＝6，
∴原一元二次方程为：x2-5x＋6＝0．
故答案为：x2-5x＋6＝0．
【分析】根据甲得出p＝ （6-1）＝-5，根据乙得出q＝（-2）×（-3）＝6，代入求出即可．
15．（2024九上·阳江期中）若函数是二次函数，则　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴且
解得：
故答案为：．
【分析】根据二次函数定义即可求出答案.
16．（2024九上·阳江期中）解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
17．（2024九上·阳江期中）解方程：
【答案】解：
∴，
解得：

【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求出答案.
18．（2024九上·阳江期中）解方程：．
【答案】解：，
∴，
∴或，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
19．（2024九上·阳江期中）已知抛物线经过点A(－2，－8).
（1）求的值，
（2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.
【答案】解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2中，
得4a=﹣8，
解得a=﹣2；
（2）∵a=﹣2，
∴y=﹣2x2，
将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，
解得m=± ，
则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2中得4a=﹣8，解出a值即可；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线y=﹣2x2中，求出m的值，即可得到点P的坐标．
20．（2024九上·阳江期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【答案】解：（1）∵关于x的方程总有两个实数根，
∴ ，
解得：．
（2）∵为方程的两个根，
∴．
∵，
∴，
∴，
整理，得：，即，
解得：（不合题意，舍去），，
∴m的值为1．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得 ，再求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再结合，可得，再求解即可.
21．（2024九上·阳江期中）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．
（1）补充完成图形；
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∴，
即，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；作图﹣旋转；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据等边三角形性质可得，，再根据旋转性质可得，，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∴，
即，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2024九上·阳江期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
【答案】（1）解：设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6 000
解得x=5或x=10，
为了使顾客得到实惠，所以x=5
答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元
（2）解：设涨价z元时总利润为y，
则y=（10+z）（500﹣20z）
=﹣20z2+300z+5 000
=﹣20（z2﹣15z）+5000
=﹣20（z2﹣15z+ ﹣ ）+5000
=﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125
答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
23．（2024九上·阳江期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求、两点的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
当时，，则，
当时，，
解得：
∴，；
（2）解：存在，点．理由如下：
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，；是对称点，且，对称轴为直线
如图所示，当是与的交点时，的周长最小，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）解：如图，设，过点作交于点，则
∴
∴
∴当时，的面积最大，最大值为
∴
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数对称性质可得对称轴为直线x=1，当是与的交点时，的周长最小，设直线的解析式为，根据待定系数法将点(3，0)代入解析式可得直线的解析式为，再将x=-1代入解析式即可求出答案.
（3）设，过点作交于点，则，根据两点间距离可得QM，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
当时，，则，
当时，，
解得：
∴，；
（2）存在，点．理由如下：
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，；是对称点，且，对称轴为直线
如图所示，当是与的交点时，的周长最小，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）如图，设，过点作交于点，则
∴
∴
∴当时，的面积最大，最大值为
∴
∴
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