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广东省肇庆市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·肇庆期中）2024年4月，中国航天成功发射神舟十八号飞船．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国探月 D．中国行星探测
2．（2025九上·肇庆期中）方程的解是（　　）
A． B． C． D．没有实数根
3．（2025九上·肇庆期中）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·肇庆期中）将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·肇庆期中）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·肇庆期中）一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（2025九上·肇庆期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·肇庆期中）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·肇庆期中）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·肇庆期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·肇庆期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
12．（2025九上·肇庆期中）二次函数的最小值为　 　．
13．（2025九上·肇庆期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为　 　．
14．（2025九上·肇庆期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为　 　．
15．（2025九上·肇庆期中）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　．
16．（2025九上·肇庆期中）用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
17．（2025九上·肇庆期中）如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：．
18．（2025九上·肇庆期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，．
（1）直接写出点关于轴对称的点的坐标：_____；
（2）平移△，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的△；
（3）求线段的长度．
19．（2025九上·肇庆期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）利用图象回答：当取何值时，．
20．（2025九上·肇庆期中）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元） …… 20 22 24 ……
日销售量y（千克） …… 66 60 54 ……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
21．（2025九上·肇庆期中）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
22．（2025九上·肇庆期中）【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
23．（2025九上·肇庆期中）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间
飞行高度
【建立模型】
任务：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
．
故选：C．
【分析】根据直接开平方法解方程即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A
【分析】根据二次函数顶点式性质即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：A项，图案按顺时针方向旋转0°或360°的结果，故A项错误；
B项，图案按顺时针方向旋转90°的结果，故B项正确；
C项，图案按顺时针方向旋转180°的结果，故C项错误；
D项，图案按逆时针方向旋转90°的结果，故D项错误.
故答案为：B
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴其顶点（0，0）也向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新函数的顶点（1，3）．
∴根据平移的性质，所得图象的函数解析式是：．
故选A．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断.
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该品牌新能源汽车的月平均增长率为．
∵5月份销量为10万辆，
∴6月份销量为万辆，
∴7月份销量为万辆．
∵7月份销量为14.5万辆，
∴可列方程为．
故选D．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点为等边的边的中点，
，，，
在中，，
，
∵绕点逆时针旋转后得到，
，
故选：．
【分析】根据等边三角形性质可得，，，再解直角三角形可得AD，再根据旋转性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
【分析】以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得该抛物线解析式为，再将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，有最小值为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场，
已知共比赛90场，
所以．
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
14．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，
关于x的一元二次方程的一个根是，
由根与系数之间的关系可得
，
故答案为：4．
【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出m的值即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；翻折变换（折叠问题）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴原函数图象的顶点坐标为：，
如图，根据折叠的性质，
可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为，
当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知：
m的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标，根据折叠性质可得点D的坐标为，再结合函数图象信息即可求出答案.
16．【答案】（1）解：，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
或，
所以，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
或，
所以，．
17．【答案】证明：∵是等边三角形，
，
∵线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
在和中，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】根据等边三角形性质可得，再根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）解：平移后的对应点为，
平移规则是向右平移3个单位、再向上平移1个单位，
据此可以画出平移后的△，如图所示．
（3）解：根据勾股定理得，
线段的长度为．
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：点，关于x轴的对称点的坐标，
故答案为：；
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：点，关于x轴的对称点的坐标，
故答案为：；
（2）平移后的对应点为，
平移规则是向右平移3个单位、再向上平移1个单位，
据此可以画出平移后的△，如图所示．
（3）根据勾股定理得，
线段的长度为．
19．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴当或时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，再根据对称轴公式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴当或时，．
20．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）解：设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点(20，66)，(22，60)代入解析式即可求出答案.
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
21．【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
22．【答案】解：（），
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，由，整体代入即可求出答案.
23．【答案】解：任务：
二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：；
任务2：，
，
，
整理得：，
当水火箭落地（高度为）时，，
解得：（不合题意，舍去），，
答：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：设的长度为，
水火箭的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，
，
点的坐标为，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，，
，
点的坐标为，
，
解得：，
水火箭落到内（包括端点，），
，
，
答：发射台高度的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务1：设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案.
任务2：将y=0代入解析式，解方程即可求出答案.
任务3：设的长度为，则水火箭的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，即可求出答案.
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1．（2025九上·肇庆期中）2024年4月，中国航天成功发射神舟十八号飞船．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国探月 D．中国行星探测
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2025九上·肇庆期中）方程的解是（　　）
A． B． C． D．没有实数根
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
．
故选：C．
【分析】根据直接开平方法解方程即可求出答案.
3．（2025九上·肇庆期中）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A
【分析】根据二次函数顶点式性质即可求出答案.
4．（2025九上·肇庆期中）将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：A项，图案按顺时针方向旋转0°或360°的结果，故A项错误；
B项，图案按顺时针方向旋转90°的结果，故B项正确；
C项，图案按顺时针方向旋转180°的结果，故C项错误；
D项，图案按逆时针方向旋转90°的结果，故D项错误.
故答案为：B
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
5．（2025九上·肇庆期中）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴其顶点（0，0）也向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新函数的顶点（1，3）．
∴根据平移的性质，所得图象的函数解析式是：．
故选A．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
6．（2025九上·肇庆期中）一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断.
7．（2025九上·肇庆期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。
8．（2025九上·肇庆期中）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该品牌新能源汽车的月平均增长率为．
∵5月份销量为10万辆，
∴6月份销量为万辆，
∴7月份销量为万辆．
∵7月份销量为14.5万辆，
∴可列方程为．
故选D．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．（2025九上·肇庆期中）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点为等边的边的中点，
，，，
在中，，
，
∵绕点逆时针旋转后得到，
，
故选：．
【分析】根据等边三角形性质可得，，，再解直角三角形可得AD，再根据旋转性质即可求出答案.
10．（2025九上·肇庆期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
【分析】以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得该抛物线解析式为，再将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
11．（2025九上·肇庆期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．（2025九上·肇庆期中）二次函数的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，有最小值为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
13．（2025九上·肇庆期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场，
已知共比赛90场，
所以．
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
14．（2025九上·肇庆期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，
关于x的一元二次方程的一个根是，
由根与系数之间的关系可得
，
故答案为：4．
【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出m的值即可。
15．（2025九上·肇庆期中）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；翻折变换（折叠问题）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴原函数图象的顶点坐标为：，
如图，根据折叠的性质，
可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为，
当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知：
m的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标，根据折叠性质可得点D的坐标为，再结合函数图象信息即可求出答案.
16．（2025九上·肇庆期中）用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
或，
所以，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
或，
所以，．
17．（2025九上·肇庆期中）如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：．
【答案】证明：∵是等边三角形，
，
∵线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
在和中，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】根据等边三角形性质可得，再根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
18．（2025九上·肇庆期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，．
（1）直接写出点关于轴对称的点的坐标：_____；
（2）平移△，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的△；
（3）求线段的长度．
【答案】（1）
（2）解：平移后的对应点为，
平移规则是向右平移3个单位、再向上平移1个单位，
据此可以画出平移后的△，如图所示．
（3）解：根据勾股定理得，
线段的长度为．
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：点，关于x轴的对称点的坐标，
故答案为：；
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：点，关于x轴的对称点的坐标，
故答案为：；
（2）平移后的对应点为，
平移规则是向右平移3个单位、再向上平移1个单位，
据此可以画出平移后的△，如图所示．
（3）根据勾股定理得，
线段的长度为．
19．（2025九上·肇庆期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）利用图象回答：当取何值时，．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴当或时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，再根据对称轴公式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴当或时，．
20．（2025九上·肇庆期中）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元） …… 20 22 24 ……
日销售量y（千克） …… 66 60 54 ……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）解：设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点(20，66)，(22，60)代入解析式即可求出答案.
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
21．（2025九上·肇庆期中）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
22．（2025九上·肇庆期中）【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
【答案】解：（），
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，由，整体代入即可求出答案.
23．（2025九上·肇庆期中）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间
飞行高度
【建立模型】
任务：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
【答案】解：任务：
二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：；
任务2：，
，
，
整理得：，
当水火箭落地（高度为）时，，
解得：（不合题意，舍去），，
答：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：设的长度为，
水火箭的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，
，
点的坐标为，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，，
，
点的坐标为，
，
解得：，
水火箭落到内（包括端点，），
，
，
答：发射台高度的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务1：设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案.
任务2：将y=0代入解析式，解方程即可求出答案.
任务3：设的长度为，则水火箭的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，即可求出答案.
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