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上海市复旦中学2026届高三上学期质量调研一
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据，，，，，，则是该组数据的( )
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
2.已知复数满足，则 ．
A. B. C. D.
3.已知函数的图象与直线，及轴所围成的封闭图形的面积为，则的值为 ．
A. B. C. D.
4.对正实数，若定义在上的函数满足：对任意的实数，都有，则称是“增函数”现给出如下两个命题：命题甲：若对一切正有理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，命题乙：若对一切正无理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，则下列说法正确的是( )
A. 甲是真命题，乙是假命题 B. 甲是真命题，乙是真命题
C. 甲是假命题，乙是假命题 D. 甲是假命题，乙是真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，，则 ．
6.已知是第四象限角，且，则 ．
7.圆锥的底面半径是，高是，则圆锥的侧面积是 ．
8.若为等差数列，，则它的前项和为 ．
9.已知，且，则的最大值为 ．
10.函数在处的瞬时变化率为 ．
11.设是所在平面上的一点，且，是的中点，则 ．
12.有位医生、位护士和位工作人员一起合影，现将这人随机排成一排，则位医生中有且只有位相邻的概率为 ．
13.若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 ．
14.曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围 ．
15.设，若对任意实数不等式恒成立，则的取值范围是 ．
16.若函只有一个极值点，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，是的中点．

求证：平面；
求直线与平面的距离．
18.本小题分
已知是边长为的正三角形，、依次是、边上的点，且线段将分成面积相等的两部分．设，，．
求关于的函数解析式；
求的最小值与最大值及取到最值时的值．
19.本小题分
函数
当时，是否存在实数，使得为奇函数；
若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知点其中，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为．
若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；
若，、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标；
若、、都在椭圆上，且，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
若是的极小值点，求实数的值；
若在定义域上严格递增，求实数的取值范围；
设有两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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15.
16.
17.
直三棱柱中，所有棱长均为，
上下底面为边长为的正三角形，侧面为边长为的正方形，
连接，交于点，则为，的中点，
在中，分别为边的中点，
，
又平面，平面，
平面．
取中点，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
，
为上的点，平面，
到平面的距离即为直线与平面的距离，
，
直线与平面的距离为：．

18.
是边长为的正三角形，
，
又线段将分成面积相等的两部分，
，解得，
，
，．
在中，由余弦定理得：，
，
令，求导得，
令，，，，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
时取最小值，，
当时，取得最小值，
又，
在上的最大值为，
当或时，取得最大值，
综上，当时，取得最小值；当或时，取得最大值．

19.当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或．
由题意得，所以实数的取值范团且．

20.因为，，所以．
又因为点在直线上，可设．
如图：

所以，
所以或．
当时，，此时；当时，，此时．
所以点坐标为或．
如图：

因为抛物线的焦点为，且点的横坐标为，所以．
因为，在抛物线上，可设，．
所以，．
因为、、成等差数列，所以，
所以．
设轴上点，满足，
则．
当时，；
当时，也可以成立．
所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点．
设为椭圆上一点，则问题可转化为的最大值与最小值的差不小于．

因为，
所以．
设，．
当即时，函数在上单调递减，
所以，所以；
，所以．
若，由恒成立，故满足题意；
若，由．
当即时，函数在上递减，在上递增，
且，，因为，所以，所以；
，所以．
由，
所以，且．
因为，所以不等式在上无解．
综上可知：．
即实数的取值范围为．

21.易知，由题意得，即，
此时，可知在上单调递减，
在上单调递增，满足是的极小值点，所以；
由上，
因为在定义域上严格增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
易知，则
由，知是的两个不同正根，
即
所以
，
因为，则
设，
则恒成立，所以，
因为恒成立，则．

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