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上海市复旦大学附属中学2026届高三上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为大于的正数，则“”是“”的 条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
2.已知是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是( )
A. B.
C. D.
3.已知定义在上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是( )
A. B. 可能是单调递减函数
C. 为奇函数 D. 若，则
4.设为非空集合，函数的定义域为，若存在使得对任意的均有，则称函数具有性质给出以下两个命题，则下列选项中正确的是 ．
若且恒成立，则函数具有性质；
若且，则“”是“函数具有性质的必要非充分条件．
A. 都正确 B. 正确错误 C. 错误正确 D. 都错误
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知，那么 ．
6.函数的定义域为 ．
7.已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 ．
8.关于的方程有两解，则实数的取值范围是 ．
9.已知是上的奇函数，，且对任意都有成立，则 ．
10.已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是 ．
11.在的二项展开式中项的系数为 ．
12.已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 ．
13.已知，，则的解集为 ．
14.已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 ．
15.若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是
16.已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点、分别为棱和的中点．
求证：平面；
若底面为边长为的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求侧面的面积．
18.本小题分
已知，其中．
若，求函数，的值域；
若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值．
19.本小题分
已知函数．，
对于任意的，求证；
若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；
设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．
若且点在第一象限，求点的坐标；
若的面积为，求直线的方程；
若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围．
21.本小题分
已知数列满足，首项．
若，求证：对于任意正整数，恒成立；
若，且数列从第项起是等差数列，求所有可能的的值；
若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列．
参考答案
1.
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17.解：取中点，因为点为棱的中点，
所以，，
因为多面体为三棱柱，
所以，，
因为点为棱的中点，所以，，
所以，，
所以是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，
作，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以为侧棱与底面所成的角，
由已知，
因为平面，平面，平面，
所以，，
又，所以，
因为，，，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
于是在中，，，得到．
所以侧面的面积．

18.解：当时，，
因此，函数值域为．
由题，应为极小值点的右侧第一个零点，
即，，因此．
又由区间长度可知，
其中，代入后解得．
因此．

19.解：令，
则，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
于是，故，即．
当时，，
则，
因为函数存在单调递减区间，所以有解，
又因为，则有正数解，
由，因，
故的取值范围为．
如图，设点的坐标分别为，
则点的横坐标为，因，则在点处的切线斜率为，
又因，则在点处的切线斜率为，
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即，
则，
即，设，则，
令，则，
所以在上单调递增，故，
则，这与矛盾，假设不成立，
故在点处的切线与在点处的切线不平行．

20.解：，，设，且，
则且，解得，，
因此的坐标为．
直线为水平直线时，不存在，
设直线方程为，联立，
得，，
设，，则．
由于在线段上，，其中，
因此，整理得，
所以，解得负值舍，
因此直线方程为，即或．
由题设，直线斜率不可能为，而直线斜率不存在时，、重合，；
若直线斜率存在，设直线，与联立得，
因此；而联立直线与可得；
所以，即取值范围是．
综上，的取值范围为．

21.解：当时，成立；
假设当时，成立，此时，
则当时，，并且，于是也成立；
综上，对于任意正整数，都成立．
数列是等差数列，且，说明必须为常数列．
解得，
此时解，得或．
设满足方程且，设满足方程且．
设，，此时函数的图像是连续不断的曲线．
，
，
则根据零点存在定理，存在，满足，
此时，即．
此时恒成立且数列不是常数列，满足条件，证毕．

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