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上海市市西中学2026届高三上学期9月阶段练习数学试卷
一、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知全集，若集合，则 ．
2.已知复数满足为虚数单位，则的模为 ．
3.在二项式的展开式中常数项为 ．
4.已知钝角满足，则 ．
5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为
6.已知平面向量，若与垂直，且，则 ．
7.已知直线与直线平行，则实数 ．
8.第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，甲、乙等名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为 ．
9.已知某八个数据的平均数为，方差为，现又新加入一个数据，此时这九个数据的方差为 ．
10.在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ．
11.已知双曲线的左、右焦点分别为点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
12.在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
13.若，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
14.为庆祝中国共产党成立周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了场初赛后进入决赛，他们的场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是( )
A. 甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的中位数大
C. 甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D. 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小
15.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 当时，为定值 D. 的最大值为
16.设正数不全相等，，函数关于说法
对任意都为偶函数，
对任意在上严格单调递增，
以下判断正确的是( )
A. 、都正确 B. 正确、错误 C. 错误、正确 D. 、都错误
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.已知函数，它们的最小正周期为．
若函数是奇函数，求在上的严格增区间；
若的一个零点为，求的最大值．
19.如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系单位：千米曲线的轨迹方程为：计划修一条与湖边相切于点的直路宽度不计，直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区．
若点坐标为，计算直路的长度；精确到千米
若为曲线不含端点上的任意一点，求景区面积的最小值精确到平方千米
20.已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形．
写出椭圆的标准方程；
当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
设点满足：求证：与面积之比为定值．
21.定义：如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
判断函数和是否具有关系；
若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围．
参考答案
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17.【详解】证明：连接，在正方体中，是的中点，
所以是的中点，且，即，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面．
过作，交于，连接，
在正方体中，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以是直线与平面所成的角．
由题意，设，则，
，所以，
所以在，，
故直线与平面所成角的大小是．

18.【详解】因为函数最小正周期为，且，
所以由，得，
又因为是奇函数，
所以，而，所以，
因此，
在时，令，
当或时，函数单调递增，
所以时，的递增区间是和；
因为函数最小正周期为，且，
所以由，得，即，
即，
把点代入，得，
即，因为，所以
因此有，得，
．

19.【详解】因为，所以，所以，
所以由点斜式可得，即，
令，解得，令，解得，
所以，所以．
设，
则由可知，
所以的直线方程为，
整理得，
令，解得，令，解得，
所以，
设，
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以．
所以景区面积的最小值为．

20.【详解】因是边长为的等边三角形，则得，解得
故椭圆的标准方程为．
因，直线的斜率为，则直线的方程为
联立，解得和，即，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为：．
设直线的斜率分别为，则直线的方程为．
由，直线的方程为．
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，所以则，
所以．
由，所以直线的方程为．
由，解得．
所以，
即与面积之比为定值．


21.【详解】与是具有关系，理由如下：
根据定义，若与具有关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有关系．
令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即．
因为和，
令，则，
因为与在上具有关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有关系，
综上：，即．
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