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上海市建平中学2026届高三上学期9月练习
数学试题
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则下列选项中正确的是 ．
A. B.
C. D.
2.有张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则( )
A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件
C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件
3.设，若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是 ．
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，记，设点，点，给出如下结论：
任意，存在对任意正整数，为大于零的常数．
任意，存在对任意正整数，为大于零的常数．
下列选项中，判断正确的是 ．
A. 命题成立，命题成立 B. 命题成立，命题不成立
C. 命题不成立，命题成立 D. 命题不成立，命题不成立
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集，，则 ．
6.若，，则 ．
7.设为虚数单位，若，则 ．
8.已知等比数列的首项与公比相等，若，则 ．
9.函数在处的切线斜率为 ．
10.设实数，圆的面积为，则 ．
11.未来工作室加工个零件．若这批零件分配到号车间个，号车间个，号车间个，其中号车间、号车间、号车间加工合格率分别为、、，从所有加工后的零件中任取个零件，则这个零件合格的概率为 ．
12.在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第项，则正整数 ．
13.在正七棱锥中，直线过、、、、、、中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为 ．
14.设且，若对任意，均成立，则当时，的取值范围为 ．
15.如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道已知花圃长、宽、分别为米、米，喷泉池的直径均为米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米精确至，不考虑步道厚度及材料耗损．
16.已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面．
求证：；
若，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
设，已知函数的定义域为，且．
若函数是偶函数，求的值；
设，若对任意的，均有，求的取值范围．
19.本小题分
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题．
若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅保留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？四舍五入精确到分
从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取名同学，再从这名同学中随机选出人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名同学的分数：，已知这个分数的平均数方差，若剔除其中的最高分和最低分，求剩余个分数的平均数与方差．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为．
求椭圆的离心率；
设若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
设直线与的另一个交点为若使得的直线恰有条，求的取值范围．
21.本小题分
对于定义域为的函数，存在导函数设，定义．
设，求；
设，若函数在处的切线经过，求的值并求出集合；
若且，求．
参考答案
1.
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6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】平面，平面，所以；
因为底面是正方形，故
而，平面，故平面．
又因为平面，因此．
方法一：
取的中点，连接，由中结论易知两两垂直．
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，根据，可知，；
易知，故
即，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则
设直线与平面所成角为，
可知．
综上所述：直线与平面的所成角为．
方法二：
设，则，根据，可知，
而，是棱的中点，故，进而
由于平面，，故平面，又平面，故．
在中，可知，
又，在中由余弦定理知．
故的面积为
设到平面的距离为，根据，可知
设直线与平面所成角为，可知．
综上所述：直线与平面的所成角为．

18.【详解】方法一：由函数是偶函数，，可知，解得，
同时，则，解得，
此时，对任意，显然有．
综上所述：，．
方法二：由函数是偶函数，，可知，解得．
且对任意，有，即，
化简得恒成立，所以．
综上所述：，．
根据，，且，则或．
情况：当时，对任意，，
故要使得，只需．
即，设，，
则，故是上的严格增函数，
故只需，解得，则．
情况：当时，对任意，，
故要使得，只需．
即，设，，
由情况可知，是上的严格增函数，
只需，即，与无交集，舍去．
综上所述，的取值范围是．

19.【详解】由第组的频数的平方为第组和第组频数的积可知，
第组的频率的平方为第组和第组频率的积，
所以，解得，
又，解得，
所以，
成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，
设第百分位数为，则，解得，
所以晋级分数线划较为合理．
由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取人和人，分别记为和，
则所有的抽样有：，共个样本点，
抽到的两位同学来自不同小组，则，共个样本点，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，
剔除其中的和两个分数，设剩余个数为，，平均数与标准差分别为，则剩余个分数的平均数：
方差：．

20.【详解】根据题意：，，故．
离心率．
由与面积相等，可知与面积相等，
即，根据比例可知是的中点．
而，故在椭圆上，代入解得．
故直线的方程为，
因此到直线的距离为．
设直线的表达式为，、
由于在第一象限，故．
联立，得．
故，．
取的中点，即，，
故只需．
同时，
代入化简得
即在上有两个不相等的零点
有，代入解得

21.【详解】对求导有，
所以，，
因此，
求解不等式有，
由于该式对于任意均成立，所以．
对求导有，
则在处的切线方程为，
将点代入方程可得，
解得或，
由于，所以．
所以，．
因此．
将不等式化简得：，化简得．
解得，所以．
先证明：
设，
则
所以在上的最大值为，
进而，因此．
再证明：
根据和，分别推出和，
由不等式性质可得，，即．
由于在和处的切线为和，
所以在和处的切线重合．
因此，．

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