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上海市浦东新区立信会计金融学院附属高行中学2026届高三上学期9月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则“且”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值若据此证明，则正整数至少等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，，则 ．
6.若复数满足为虚数单位，则 ．
7.已知正项等差数列的前项和为，，则 ．
8.已知函数，则在处的切线方程为 ．
9.一个不透明的袋中装有个白球、个红球个球除颜色外其余完全相同，经充分混合后，从袋中随机摸出球，则摸出的球中至少有一个是白球的概率等于 用分数作答
10.李老师在整理建模小组名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第百分位数，则这名学生的成绩的方差为 ．
11.已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则 ．
12.方程的解集为 ．
13.设，则 ．
14.已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于 ．
15.记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
16.若四边形是边长为的菱形，为其所在平面上的任意点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，是边长为的正方形，，为侧棱的中点．
求四棱锥的体积；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
若数列是等差数列，则称数列为调和数列若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项．
求和的调和中项；
已知调和数列，，，求的通项公式．
19.本小题分
已知函数的表达式．
若函数是奇函数，求实数的值；
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知抛物线的焦点为，准线为；
若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率；
设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
经过点且斜率为的直线与相交于，两点，为坐标原点，直线分别与相交于点，；试探究：以线段为直径的圆是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
21.本小题分
已知，
求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数常数为自然对数的底；
根据，判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论无须证明；
已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值．
参考答案
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17.【详解】解：因为平面，则为棱锥的高，
又是边长为的正方形，所以，，
故；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，故，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．

18.【详解】设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，
所以，解得：，
故和的调和中项为；
依题意，是等差数列，设其公差为，
则，
所以，
故．

19.【详解】因为函数是奇函数，的定义域关于原点对称，
由，则，
所以．
对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，
设，
对任意实数且，
，
因为，所以，所以
所以函数在上单调递减；
，所以．

20.【详解】抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的方程为双曲线，即，则，
由题意可知：，则，
故双曲线的离心率．
由可知：，
过点作直线的垂线，垂足为，则，
，且，
，
故直线的倾斜角，斜率，
直线的方程为，即．
以线段为直径的圆过定点，理由如下：
设直线，
联立方程，消去可得：，
则可得：，
直线，当时，，
，
同理可得：，
，
，
则线段为直径的圆的圆心，半径，
故圆的方程为，整理得，
令，则，解得或，
故以线段为直径的圆过定点．

21.【详解】的导函数为，令，得，
列表：
极大值
所以，函数在上是严格减函数；
判断得到，
下面证明：
由，，即，所以，
由的单调递增，得到．
推广：对于实数，若，则即，
以下是证明过程：
由知：在上是严格减函数，
因为，所以，则，，
因为单调递增，所以．
因为，可见满足，
下面证明唯一性：
若，由第二问的结论可知，与矛盾；
若，则即，与矛盾；
若，则即，
显然不满足，成立，
若，由第二问结论可知：，则，于是，与矛盾．
综上，是满足条件的唯一一组值．

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