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陕西省商洛市镇安县陕西省镇安中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
4.若，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，则( )
A. B. C. D. 与有关
7.若，且满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定数集，，方程：，方程：，则下列说法正确的是( )
A. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数
B. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数
C. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数
D. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数
10.关于的不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
11.设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个．已知函数，且在上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是( )
A. 只有一个零点 B. 在上的最小值为
C. 在上的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上是减函数，则 ．
13.某校共有人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中人选择参加足球，人选择参加排球，人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有人，则三项都参加的学生数为 ．
14.设函数，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，：．
若为假命题，求实数的取值范围；
若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若，求的图象在处的切线方程；
讨论在上的单调性．
17.本小题分
已知集合．
若是的必要不充分条件，求的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求在上的最值；
求的单调递减区间；
若，对成立，求的取值范围．
19.本小题分
定义“下凸函数”在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是为的导函数．
若是上的“下凸函数”，求的取值范围．
证明：函数在上为“下凸函数”．
证明：当时，．
已知正实数满足，求的最小值用的代数式表示．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】若为真命题，
当时，不等式恒成立；
当时，有，解得，
所以为真命题的取值范围是，故为假命题的取值范围是．
等价于，
又，故，即为真命题的的取值范围是
由为真命题的取值范围是
若，中有且仅有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上，实数的取值范围是．

16.【详解】若，则，，
可得，，即切点坐标为，切线斜率，
所以所求切线方程为，即．
由题意可知：函数的定义域为，且，
当时，，可知函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
可知在单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．

17.【详解】不等式可化为，所以或，
所以，由于是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，
对于集合，设，其图像是开口向上的抛物线，要满足集合是集合的真子集，
则，即，解得：，
所以的取值范围为：
因为，则
当时，，满足；
当时，，
要使，则，解得：；
当时，，
要使，则，解得：；
综上：实数的取值范围为：

18.【详解】，，
令，解得或，
所以当时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，，单调递增；
所以，
又，
所以在上的最大值为，最小值为．
函数定义域为，
，
令，解得，
所以的单调递减区间为．
因为
所以，
由知时，，
即时，，
即，
当时，令
则，即恒成立，
又在上单调递减，
所以；
当时，恒成立，此时，
当时，令，
则，即恒成立，
又，当且仅当时取等，
所以；
又，综上，．

19.【详解】由，可得，，
因为是上的“下凸函数”，
所以在上恒成立，即恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的取值范围为．
证明：由，可得，，
当时，，即，根据下凸函数的充要条件，
可知函数在上为“下凸函数”．
因为
．
所以．
令，因为，所以，则，求导，
令，即，解得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处取得最小值，，即．
令，则目标为最小化，
考虑函数，求导，，
在内，，故在上为下凸函数，
所以，
即，
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此的最小值为．

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