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四川省广安中学2026届高三上学期高考冲刺月测二
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足且，则“数列为等差数列”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，，，，满足，用表示的面积，当最大时，的值为( )
A. B. C. D.
4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.下列函数是周期为的偶函数是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.若，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列的通项公式为，前项和为，则( )
A. B. C. D.
10.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，则有三个零点
B. 当且时，
C. ，
D. 若存在极值点和对称中心，且，其中，则成等比数列
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.给出下列命题：
函数与互为反函数，其图象关于直线对称；
已知函数，则；
当且时，函数的图象必过定点；
用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到；
函数的零点有个．
其中所有正确命题的序号是 ．
13.若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数则的对称中心为 不等式的解集为 ．
14.设是一个三角形的三个内角，则的最小值为_____ ___．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取人作为样本，得到下表单位：人．
老年人 中年人 青年人
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意
不满意
从样本中任意取人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
试估计该地区青年人对酸奶满意的概率；
依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？直接写出结果即可
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值．
16.已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的周长为，面积为，求．
17.如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心．
证明：；
求平面与平面的夹角的正弦值．
18.已知抛物线的焦点为抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点．
求抛物线的方程；
求证：直线恒过定点；
求面积的最小值．
19.已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
若函数有两个零点，记作，．
(ⅰ)求参数的取值范围；
(ⅱ)若，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件，
样本总人数为，其中对酸奶质量满意的人数为，
所以．
用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率．
青年人消费群体对鲜奶的满意度提升，使得整体对鲜奶的满意度提升最大．
理由如下：
老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为人；
中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为人；
青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为人；
所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升，
人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大．

16.【详解】在中，由及正弦定理得，
则，
因此，而，则，又，
所以．
由及已知得，解得，
由，得，
由余弦定理得，则，
所以．

17.【详解】在上底面的投影为的重心．
平面，平面，，
，，
是等边三角形，是的中点，故，
，平面，平面，平面，
又因为平面，．
解法一：延长交于点，如图所示，
由知平面，故为平面与平面的夹角，
，，
设棱长为，则，为重心，，，，
平面与平面的夹角的正弦值为．
解法二：设，有，，，可求得，
由，，可得，
又由平面，以为坐标原点，
，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，
有，取，，，可得，
又由平面的一个法向量为，有，，，
有，
故平面与平面的夹角的正弦值为．

18.【详解】由题意故，所以抛物线方程为．
设，，，
由得，故切线：，即，
同理可得切线：，
在两条切线，则，所以直线，即，
因，故，故直线恒过定点．
法二
当直线斜率存在时，设，
联立，得 设，，，
，，，
由得故切线，即
同理切线，
联立得，故，
代入直线得，
直线，所以恒过定点
当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点
综上：直线恒过定点．
联立，得，
由韦达定理可得，，

到直线的距离
当时，最小值为
法二
当直线斜率不存在时，直线，，到直线距离为，

当直线斜率存在时
，
所以到直线的距离，
，
当时，的最小值为，故，
所以的面积的最小值为．

19.【详解】当时，，
则，．
又，在处的切线方程为．
由题知，在上有两个根，，
，即．
令，则．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
所以问题转化为在上有两个根．
易知，故，
令，则．
当时，，单调递增
当时，，单调递减．
又，时，，时，，
且时，；时，，
，解得，即参数的取值范围为．
(ⅱ)由(ⅰ)知，，两式相减得
，
要证，
即证，
即证，
即证，
令，即证在上恒成立．
令，
，
令，
，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增．
，
，得证，
．

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