资源简介

天津南开中学滨海生态城学校2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的 ．
A. 充分不必要条件． B. 必要不充分条件．
C. 充要条件． D. 既不充分又不必要条件．
3.已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.下列命题中错误的是( )
A. 在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为
C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则( )
A. B. 在上有个零点
C. 在上单调递减 D. 函数的图象关于直线对称
9.，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10. ．
11.在等比数列中，前项和，则实数的值为 ．
12.钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于 ．
13.甲、乙两人的口袋中均装有个球，甲的个球为个黑球和个白球，乙的个球均为黑球黑球和白球的大小，材质一样两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取个球与对方交换，重复进行这样的操作．第次交换后，甲的口袋中黑球的个数为的概率为 ；第次交换后，甲的口袋中依然只有个白球的概率为 ．
14.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 ．
15.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则的最小正周期为 ；若关于的方程有个不同实根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角、、所对的边分别为、、，，，
求角的大小；
求的值与的面积；
求的值．
17.已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，求的值；
若，求的值．
18.记数列是公差不为的等差数列，，且是和的等比中项．
求数列的通项公式；
数列满足：，，，
(ⅰ)求证：为等比数列；
(ⅱ)求取最大值时的值．
19.已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被除余的项组成数列．
求和；
求的通项公式；
中的第项是中的第几项？
20.已知函数．
令，讨论的单调性并求极值；
令，若有两个零点；
求的取值范围：
若方程有两个实根，，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.由可得，可得，
因为，则，所以，解得．
由正弦定理，有，所以，
由知，由余弦定理得，
解得，，
所以的面积为．
由余弦定理可得，
所以，
所以
．

17.，由正弦定理得，，
，
即，
，，
又，．
由已知得，
，
，
．
由正弦定理，得，
由知，结合，，
，由余弦定理得，，．

18.设的公差为，则，
所以即，而，故，
故．
，，
而，故，
而，，所以
所以为等比数列且公比为，首项为．
(ⅱ)由(ⅰ)可得，所以，
故当时，，当时，，
故，
故取最大值时．

19.因为，，
所以，
因为数列中序号能被除余的项依次是第项，第项，第项，，
所以，；
设中的第项是的第项，
即，则，
所以，
所以的通项公式为；
因为，
设它是中的第项，
则，则，
所以是中的第项．

20.因为，
所以，
则，在区间；在区间，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
极小值为，无极大值．
有两个零点．
因为，
当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递减；
令，得，单调递增，所以
要使有两个零点，即使，，得，
又因为，，所以在上存在唯一一个零点，
且，由可知，，
所以，即有，即
，所以在上存也唯一一个零点，符合题意．
综上，当时，函数有两个零点．
有两个实根，令，
有两个零点，，
；，所以
所以，
，
要证，只需证，
即证，所以只需证．
由可得，
只需证，
设，令，则，所以只需证，即证，
令，，则，在上递增，
所以，即当时，成立．
所以，即，即．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑