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阜新市实验中学初三第一次月考
一．选择题（共10小题）
1．下列式子是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．y＝2x2+3x﹣4
C．x（x﹣3）＝x2+1 D．x2﹣2x+1＝0
2．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为x（x＞30）步，依题意可列方程（　　）
A．x（60﹣x）＝864 B．x（30﹣x）＝864
C．2x（60﹣x）＝864 D．2x（60﹣2x）＝864
3．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2且k≠1 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
4．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1，b＝4，c＝3，则线段d的长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
5．关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
6．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）
A．（2+，0） B．（ 2+1，0）
C．（ 2﹣1，0） D．（2，0）
7．用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被等分成两个扇形，B转盘被等分成三个扇形．如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为S3，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1，S2．已知BE＝3，DF＝5，且S1+S2＝60，则S3为（　　）
A．15 B．22 C．28 D．30
9．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1
10．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为（　　）
A．12cm B．6cm C． D．
二．填空题（共5小题）
11．若，则＝　 　 ．
12．根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　 　 .（精确到0.01）
13．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，SABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 　 　 ．
14．山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为　 　 ．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（ 1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0．
17．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下：
小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元．
小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个．
根据他们的对话，解决下面的问题：
（1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润 　 　 元；
（2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？
18．在一次数学问题实践探究活动中，老师指导同学们做“频率估计概率”的探究实验，在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 64 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.64 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 　 　 （精确到0.1）；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出一个球，记下颜色，放回袋子中，摇匀再摸出一球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
19．如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
21．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．
（1）求证：DP＝EG；
（2）求AP的长．
22．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为a cm（a＜50cm）长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为 　 　 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
23．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　 　 ．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　 　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
2025年09月17日13941867066的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C A C A C C C
一．选择题（共10小题）
1．下列式子是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．y＝2x2+3x﹣4
C．x（x﹣3）＝x2+1 D．x2﹣2x+1＝0
【解答】A．ax2+bx+c＝0当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．y＝2x2+3x﹣4，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x（x﹣3）＝x2+1化简为﹣3x＝1，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为x（x＞30）步，依题意可列方程（　　）
A．x（60﹣x）＝864 B．x（30﹣x）＝864
C．2x（60﹣x）＝864 D．2x（60﹣2x）＝864
【解答】解：设矩形田地的长为x （x＞30）步，则宽为（60﹣x）步，
∵一块矩形田地的面积为864平方步，
根据题意得：x（60﹣x）＝864，
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2且k≠1 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＞0，
∴k≠1且4﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
故选：D．
4．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1，b＝4，c＝3，则线段d的长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即1：4＝3：d，
所以d＝12．
故选：C．
5．关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【解答】解：原方程整理得：
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
故选：A．
6．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）
A．（2+，0） B．（ 2+1，0）
C．（ 2﹣1，0） D．（2，0）
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2，
由题意可知：AM＝AC＝2，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，
∴点M的坐标为（2﹣1，0），
故选：C．
7．用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被等分成两个扇形，B转盘被等分成三个扇形．如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：树状图如图所示：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是，
故选：A．
8．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为S3，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1，S2．已知BE＝3，DF＝5，且S1+S2＝60，则S3为（　　）
A．15 B．22 C．28 D．30
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
∴CE+BE＝CF+DF，
∴CE＝CF+2，
设CF＝x，则CE＝x+2，
∴，
∴x2+（x+2）2＝60，
∵x+2﹣x＝2，
∴（x+2﹣x）2＝（x+2）2﹣2x（x+2）+x2＝4，
∴x（x+2）＝28，
即：CE CF＝28，
∴S3＝28．
故选：C．
9．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1
【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024，
∴（x﹣1）2＝2025，
∴a＝﹣1，b＝2025，
∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1；
故选：C．
10．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为（　　）
A．12cm B．6cm C． D．
【解答】解：作BF⊥DC交DC的延长线于点F，DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠BFC＝∠DEC＝90°，
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度均为3cm，
∴BF＝DE＝3cm，
∵∠PDQ＝60°，∠QDE＝∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠PDQ﹣∠QDE＝30°，
∴CE＝DC，
∵DE＝＝＝DC＝3cm，
∴DC＝2cm，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（AAS），
∴BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB+BC+DC+AD＝4DC＝8cm，
∴四边形ABCD的周长为8cm，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．若，则＝　　 ．
【解答】解：由题意可得：b＝3a，
∴，
故答案为：．
12．根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　1.65　 .（精确到0.01）
【解答】解：根据题意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
13．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，SABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 　8cm　 ．
【解答】如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF＝AC，GH＝AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC⊥BD，AC＝BD，SABCD＝8cm2，
∴AC BD＝8，
解得：AC＝BD＝4，
∴EH＝HG＝2，
∴四边形EFGH的周长为8cm，
故答案为：8cm．
14．山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为　（1﹣x）2＝70%　 ．
【解答】解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题目中的等量关系列出方程为：（1﹣x）2＝70%．
故答案为：（1﹣x）2＝70%．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　　 ．
【解答】解：方法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，
∴，AC⊥BD，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
如图，取OE中点H，连接GH，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH是三角形EBO的中位线，
∴，GH∥OB，
∴∠GHE＝∠BOA＝90°，
∵OF＝1，
∴，
在直角三角形GFH中，由勾股定理得：；
方法二：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，AE＝2，OF＝1，
∴OB＝6，OC＝4，
∴CE＝8﹣2＝6，CF＝OC﹣OF＝4﹣1＝3，
∴F为CE的中点，
又∵点G为BE的中点，
∴GF为△BCE的中位线，
∵BC＝＝2，
∴FG＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（ 1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
17．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下：
小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元．
小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个．
根据他们的对话，解决下面的问题：
（1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润 　6110　 元；
（2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？
【解答】解：（1）该商场平均每周可以获得销售利润为（30﹣20+3）（500﹣3×10）＝6110元，
故答案为：6110；
（2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支x元，由题意得，
（x﹣20）[500﹣10（x﹣30）]＝8000，
解得：x＝40或x＝60，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝40，
答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为40元．
18．在一次数学问题实践探究活动中，老师指导同学们做“频率估计概率”的探究实验，在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 64 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.64 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 　0.6　 （精确到0.1）；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出一个球，记下颜色，放回袋子中，摇匀再摸出一球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
【解答】解：（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6，
故答案为：0.6．
（2）从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下：
黑 白 白 白
黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
白 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白）
由表知，共有16种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率．
19．如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，
∴m2﹣2＝0，解得m＝±，
∵m是正数，
∴m＝．
21．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．
（1）求证：DP＝EG；
（2）求AP的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，
∵将△ABP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O，
∴∠A＝∠E＝∠D＝90°，
在△PDO和△GEO中，
，
∴△PDO≌△GEO（ASA），
∴OG＝OP，PD＝EG；
（2）解：∵OP＝OG，OD＝OE，
∴OD+OG＝OE+OP，
即DG＝PE，
∴DG＝PE＝PA，
设AP＝x，则PD＝EG＝3﹣x，DG＝AP＝x，
∴BG＝BE﹣EG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，CG＝DC﹣DG＝4﹣x，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即32+（4﹣x）2＝（1+x）2，
解得：x＝2.4，
∴AP＝2.4．
22．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为a cm（a＜50cm）长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为 　40cm　 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【解答】解：目标1：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2＝5（cm），
则a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm），
故答案为：40cm；
目标2：（1）设边长为x cm，
∴（50﹣2x）（40﹣2x）＝936，
解得：x1＝7，x2＝38（舍去），
∴体积为v＝936×7＝6552（cm3），
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
（2）设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
根据题意得：，
解得：，
∴小长方形的宽为11cm，
当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高11＜18，
∴玩具机械狗不能完全放入该储物，
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
23．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　45°　 ．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　135°　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
【解答】解：阅读材料：
根据旋转△ABG≌△QDE，
∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°；
（1）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝90°，
∵AD＝CD＝10，
∴四边形AFCD是正方形，
∴CF＝10，
根据上面结论，可知BE＝DE+BF，
设BE＝x，
∵DE＝4，
∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4，
∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x，
CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CB2＝BE2，
∴36+（14﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
故BE＝；
（3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC，
连接BF，CF，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC，
∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAC，
又∵AC＝AF，AB＝AD，
∴△FAB≌△CAD（SAS），
∴BF＝CD，
∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可，
在△BCF中，BF≤BC+CF，
当B、C、F三点共线时，
BF取最大值，此时BF＝BC+CF，
在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°，
∴CF＝AC＝4，
∵CB＝6，
BF最大为：4+6，即CD最大值为4+6，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°．
故答案为：135°．
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