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广东省东莞市第一中学2026届高三上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是纯虚数，则的值可以为( )
A. B. C. D.
2.若条件，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若直线经过圆的圆心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，单位：米是海水深度，单位：坎德拉和单位：坎德拉分别表示在深度处和海面的光强已知某海域米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为( ) 参考数据：，
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.中，、的对边分别是，且，那么满足条件的( )
A. 有一个解 B. 有两个解 C. 无解 D. 不能确定
7.从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由个正三角形和个正六边形构成，其可由正四面体切割而成在如图所示的半正多面体中，若其棱长为，点，分别在线段，上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B. 若，则
C. 在上的投影向量为 D. 若，则
10.已知正方体的棱长为分别为的中点下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的大小为
B. 正方体外接球的体积为
C. 平面截正方体所得截面为五边形
D. 若与相交于点，则直线与平面所成角等于
11.已知函数，则( )
A. 若有个不同的零点，则
B. 当时，有个不同的零点
C. 若有个不同的零点，则的取值范围是
D. 若有个不同的零点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为 ．
13.过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程为 ．
14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则曲线在处的曲率为 正弦曲线曲率的平方的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示的多面体是由底面为的长方体被平面所截而得到的，其中．
求线段的长；
求二面角的余弦值．
16.本小题分
已知且．
若，解关于的方程
若，求的取值范围．
17.本小题分
在每年的月份到月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量单位：台”与“当年的月份”线性相关根据统计得下表：
月份
销量
根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程请预测当年月份该品牌的空调可以销售多少台
该销售商从当年的前个月中随机选取个月，记为销量不低于前个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数，其中．
求在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值；
若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在矩形中，是线段上包括端点的一动点，如图，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面．

如图，当时，点是线段上的点，平面，求的值；
如图，若点在平面内的射影落在线段上
是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离．
参考答案
1.
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4.
5.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由长方体性质可知，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，同理可得，所以为平行四边形，所以，
过点作，垂足为，则，
所以，所以，
由长方体性质可知，平面，平面，
所以，所以．
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，得，
所以平面的一个法向量为，
易知为平面的一个法向量，
，
由图可知二面角为锐角，记为，则．

16.解：当时，
由，得，
化简，得，
即，
即，
即，
解得或，
所以或．
当时，函数在上单调递减，
由，得，
解得，所以．
当时，函数在上单调递增，
由若，得，解得．
综上，的取值范围为
17.解：，
，
又回归直线过样本中心点，所以，得，
所以，当时，，
所以预测当年月份该品牌的空调可以销售台；
因为，所以销量不低于前个月的月平均销量的月份数为，，，
所以，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：
故数学期望．
18.【详解】根据题意，，
则，且，
所以在处的切线方程为：；
令，得或，
则当和时，，则函数单调递增，
则当时，，则函数单调递减，
所以为函数的极大值点，极大值为，
为函数的极小值点，极小值为，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为和，
极大值为，极小值为；
根据题意关于的不等式在上有解，
即在上有解，
设，，
由于，在上单调递增，所以，
在上单调递减，所以，
则，解得．

19.解：取的中点，连接，
因为，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，
因为是的中点，所以；

存在点，当点与点重合，即时，平面，
理由如下：当点与点重合时，则，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
即当点与点重合，时，平面；
在矩形中作于，延长交于点，折起后得，

设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，
所以∽，得，即，得，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
所以点与点重合，
因为要使得点的射影落在线段上，所以，
则，解得
在中，，
所以
，
当且仅当，即时，，
当时，，，则是的中点，
此时由知平面，即平面，
所以点到平面的距离为．

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