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广东省部分中学2026届高三上学期9月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.若抛物线的焦点为，准线方程为，且经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知，从，，，中随机取出两个数，若两数之和为的概率为，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为则( )
A. B. C. D.
5.设大于的实数，满足，，则( )
A. B. C. D.
6.设，若的实部为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.设，，，动点在圆上若的最大值为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则( )
A. 有最大值 B. 曲线有对称中心
C. 有最小值 D. 曲线有对称轴
10.设椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点若垂直于轴，，为中点，则( )
A. B. 的离心率为
C. 平分 D.
11.在棱长为的正方体中，，，过且平行于的平面记为下列说法正确的是( )
A. 若棱与交于点，则
B. 若棱与交于点，则
C. 截正方体所得截面是五边形
D. 截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，当取最小值时， ．
13.已知，均为单位向量，且和的夹角为，若和的夹角为，则 ．
14.在中，，将绕所在直线旋转一周，所得几何体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
求的方程；
过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：．
16.本小题分
某咖啡店想了解顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关，随机调查了名顾客，得到如下的列联表：
喜欢拿铁 喜欢美式
男性顾客
女性顾客
根据的独立性检验，分析顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关；
从这名顾客中随机选择名，已知其中至少有名女性顾客，求这名顾客都喜欢拿铁的概率．
附：，
17.本小题分
设，函数．
当时，求的单调递减区间；
当时，，求的取值范围．
18.本小题分
已知为的边上一定点，动点沿运动如图为的长与的运动路程的函数图像，该图像由两段曲线构成，其中和为两段曲线的最低点，，，为两段曲线的端点部分点的纵坐标值如表所示．
点
纵坐标

直接写出，，的长；
求的面积；
求点的坐标．
19.本小题分
已知数列的各项均大于，，，其中证明：
；
设满足，则；
求所有满足的正整数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.【详解】由已知得，，故，的方程为．
证明：由得双曲线的上焦点，设直线，，，根据题意作图如下．
联立，得，
所以，，
所以直线和直线的斜率之积为
，
因此．

16.【详解】设：顾客性别与喜欢的咖啡口味无关．
因为，
故依据的独立性检验，认为顾客性别与喜欢的咖啡无关．
设事件“所选的名顾客至少有名女性顾客”，事件“所选的名顾客都喜欢拿铁”．
由列联表知 ；
，
所以．

17.【详解】．
令，得，故的单调递减区间是．
记，．
由，若，则当时，，不合题意．
若，则等价于．
设，
．
设，则
．
时，，恰有一个大于的零点．
时，因为，所以是二次项系数为正，常数项为负的二次函数，故有且仅有一个大于的零点．
总之，记为的唯一正根，则在单调递减，在单调递增．
又因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增因此，符合题意．
综上所述，的取值范围是．

18.【详解】根据题意作图如下，结合题中函数图像，等于点的纵坐标，等于点的纵坐标，等于点的纵坐标．
综上，，，．

由图象可知点在，的射影均在对应的线段上，分别记为，，
连接，如图所示．

记，的面积分别为，，且由已知．
因此，
所以，
又，的高相等，所以，所以，
故的面积．
在直角中，，又，
所以在中，由余弦定理，
，
又因为，故．
因此，
则点的横坐标为，纵坐标为，所以点的坐为．

19.【详解】解：因为，
所以．
同理可得，，．
将以上个式子相乘，可得．
又因为，所以．
由已知得，
所以，
由，；而，所以，故，
同可知，与同号，而，所以，故．
记，则．
一方面，由于，
，
所以．
另一方面，由于
，
且当时，，故，
其中为中满足的数列的第项
令，解得故由可知，
，
而，故对所有，都有．
综上所述，满足题意的所有正整数所构成的集合为．

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