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北京市第九中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
8．已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
9．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（ ）（参考数据：）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．函数的定义域为 .
12．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ．
13．已知等差数列的前n项和为，则 .
14．在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ．
15．在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列不可能为常数列
③若，则数列为递增数列
④若，则当时，
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．已知函数，
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)当时，求的最大值和最小值
17．在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，．
(1)求和；
(2)设，记，求．
18．在中，．
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：．
19．已知曲线与轴交于不同的两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．
(1)若为等腰直角三角形，求的面积；
(2)记的面积为，求的最大值．
20．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
21．已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A中任意一项，都有，则称数列A是长为m的数列．
（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：
①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．
（2）若，证明：数列a，b，c为数列；
（3）设M是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D B B C A B B
11．
12．/
13．81
14．
15．①③④
16．（1）,
∴最小正周期，由，得单调递减区间为，；
（2）由得，故当时，的最大值为；当时，的最小值为-1.
17．（1）依题意，，设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
18．（1）因为，
则由正弦定理可得，，
又因为，所以，
又因为A为的内角，
所以或；
（2）若选择①：因为，且,
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以；
若选择②：因为，
所以，则，则.
所以，则为等腰直角三角形，
所以；
若选择③：因为，
所以，
由余弦定理可得，，
当时，，即，解得;
当时，，即，解得；
此时不唯一，不合题意．
19．（1）依题意，，所以，
由，得，
则，解得或（舍去），则，
所以.

（2）由，得，
则，
，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以的最大值是.
20．（1）当时，，
，
所以曲线在点处切线的斜率，又，
所以曲线在点处切线的方程为即.
（2）在区间上恒成立，即，对，
即，对，
令，只需，
，，
当时，有，则，
在上单调递减，
符合题意，
当时，令，
其对应方程的判别式，
若即时，有，即，
在上单调递减，
符合题意，
若即时，，对称轴，又，
方程的大于1的根为，
，，即，
，，即，
所以函数在上单调递增，，不合题意.
综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，，在区间上恒成立，
即，对，
取代入上式得，化简得.
21．（1）由数列的新定义，可得数列，，，是数列；数列，，，是数列．
（2）①当时，令，，，，
所以数列，，，为等差数列，且，
所以数列，，为数列．
②当时，令，，，，
所以数列，，，为等差数列，且．
所以数列，，为数列．
③当时，令，，，，
所以数列，，，为等差数列，且．
所以数列，，为数列．
综上，若，数列，，为数列．
（3）假设中没有长为的数列，
考虑集合，，，，．
因为数列，，，，是一个共有5项的等差数列，
所以存在一个，使得中没有一个元素属于．
对于其余的，
再考虑集合，，，，．
因为，，，，是一个共有5项的等差数列，
所以存在一个，使得中没有一个元素属于．
因为中个数成等差数列，所以每个中至少有一个元素不属于．
所以集合中至少有个元素不属于集合．
所以集合中至多有个元素，这与中至少有个元素矛盾．
所以假设不成立．
所以中的元素必能构成长为4的数列．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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