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北京市第一零一中学2025-2026学年高三上学期统练一
数学试题
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则满足（ ）
A．在区间内均有零点
B．在区间内有零点，在区间内无零点
C．在区间内无零点，在区间内有零点
D．在区间内均无零点
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标加1（纵坐标不变）
C．纵坐标减1（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
5．在中，点在边上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值6 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
9．自然对数的底数与连续复利有关．十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100，是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当趋于无穷大时，本息和趋于．当计息次数时，一年后本息和约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，下面结论成立的是（ ）
A．若存在，使得，则
B．若，则数列单调递增，且存在常数，使得恒成立
C．若，则存在，当时，有
D．若，则对于任意，有
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转到点，那么点的坐标是 ，若角终边过点，则的值是 ．
12．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ．
13．已知平面向量满足，则的最小值是 ．
14．已知，则 ．若在上单调递减，则 ．
15．已知函数，给出下列四个结论：
①函数的图象关于原点中心对称；
②存在，使得；
③函数的图象与函数的图象没有公共点；
④函数极值点个数为3．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，
17．已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设，求函数在上的单调递增区间．
条件①：的最大值为1；
条件②：为偶函数；
条件③：；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
18．已知函数，
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)求证：当时，存在极大值，且极大值小于．
19．如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分）
(1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）；
(2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？
20．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当有最大值时，存在，使得；
(3)当时，过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
21．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．
定义为第行与第行的积．若对于任意，都有，则称数表为完美数表．
(1)当时，试写出一个符合条件的完美数表；
(2)是否存在2026行2026列的完美数表，并说明理由；
(3)设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C B A A C B C
11．；.
12．
13．1
14．1；
15．②③
16．（1）设等差数列的公差为d．
由，可得，
即，解得．
所以
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，
则．
由（1）可得，
．
17．（1）因为，
所以，显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
则函数周期，
可得，解得，得到，
又，所以，
解得，则；
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
则，解得，得到，
又的最大值为，所以，解得，故.
（2）由（1）可得
，
令，，
解得，，
则函数的单调递增区间为，，
又，所以在上的单调递增区间为和.
18．（1）由可得，，
则，由题意，可得，解得，
即；
（2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立.
因函数在区间上为增函数，故，
则的取值范围为；
（3）因，要使存在极大值，需使关于的方程有正实根，
而当时，，此时方程有两正根为，
由可得或，由可得，
故函数在和上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值.
不妨设，由可得，即得，
则的极大值为，且因，则得，
要证函数的极大值小于，只需证，
设，则，
因，则有，故函数在上单调递增，
则，
即，
故时，函数的极大值小于.
19．（1）由题意可得，连接，
由题可得，，
所以，且，
所以，
所以在中由余弦定理可得，
即，解得，
所以乙船的航行速度海里/小时.
（2）如图以为坐标原点，以及过与平行所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图，
设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时，
由（1）可得，则，
又因为，所以，
所以，，
所以，
令为二次函数，且开口向上，
则在对称轴取到最小值，此时，
所以甲乙两船之间的距离最小时在30分钟内，
此时甲船距：海里.
20．（1），
①当，即时，，
所以在和上单调递增；
②当，即时，由可得或，
由可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，由可得或，
由可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上，时，的单调增区间为和，无单调递减区间；
时，的单调增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）知，若有最大值时，当且仅当，且，
此时取，下面证明即可，
令，则，
则只需证明，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，可得，
所以成立，
故当有最大值时，存在，使得得证.
（3）当时，，，
设过点与曲线相切的切线的切点为，
则由可得，，
化简整理可得关于的方程：，
当过点，即时，方程为，
由知，有两个不等实根，验证不是方程的根，
所以有2个切点，故有2条切线；
当过点，即时，方程为，
设，，
由，有2个不等实根可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故至多有3个零点，
又，
由零点存在定理可知，至少有3个零点，故有3个零点，
即方程有3个不等实根，且都不为，
所以有3个切点，故有3条切线；
当过点，即时，方程为，
设，则，
所以或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值，所以至多有1个零点，
又，由零点存在定理可知，在上至少有1个零点，
所以有1个零点，即方程只有1个根且不为，
所以有1个切点，故有1条切线.
综上，当时，过点分别存在2,3,1条直线与曲线相切.
21．（1）由题意，时，数表为：
要使数表为完美数表，
则对于任意，都有，又，
显然答案不唯一，如：
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
（2）假设存在2026行2026列的完美数表，
根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：
①把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；
②交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.
完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：
在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为”的有y列，
前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为”的有z列，
前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为”的有w列（如上表所示），
则，
由，得，
由，得，
由，得，
解方程组得，这与矛盾，
所以不存在2026行2026列的完美数表.
（3）记第1列前行中的数的和，
第2列前行中的数的和，……，
第n列前行中的数的和，
因为对于任意的和，都有，
所以.
又因为对于任意（），都有，
所以.
又因为，
所以，即.
答案第1页，共2页
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