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北京市房山区良乡附中2025-2026学年高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的渐近线方程为，则实数（ ）
A． B．3 C．6 D．9
4．函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是增函数
D．是奇函数，且在上是减函数
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为6，点、分别在边、上，且，，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
12．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
13．已知函数的定义域为．能够说明“若在区间上的最大值为，则是增函数”为假命题的一个函数是 ．
14．已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 .
15．已知函数，其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．在中，为钝角，．
(1)求；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
(1)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
(2)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
(3)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
19．已知椭圆的一个顶点为.且过点.
(1)求椭圆的方程及焦距
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积.
20．己知函数在R上可导，，且．
(1)当时，求的最小值；
(2)设函数在点处的切线为l，求证：切线l恒过定点；
(3)若点，点，且当时，单调递减，证明：当时，图象恒在直线AB的下方．
21．给定整数，数列满足．定义数列如下：，其中表示这2个数中最小的数．记，
(1)时，，分别写出相应的数列和；
(2)求证：；
(3)求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D A D B C C C
11．
12．10
13．，（答案不唯一）
14． 0 16
15．①③④
16．（1）取的中点，连接，.
因为为的中点，所以，.
又因为，，所以，且.
所以四边形CEFG是平行四边形.所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，所以，.
又因为，所以如图建立空间直角坐标系，
则，，.所以，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则.于是.
不妨取平面的一个法向量为.
设平面与平面夹角为，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
整理得，而，则，又，
所以.
（2）选择条件①：，则，
，
为钝角，符合题意，而，则存在，此时，
由正弦定理得.
选择条件②：，由余弦定理得，
解得，由为钝角，得，于是，
此时与矛盾，不存在，因此②不可选.
选择条件③：的面积为，则，解得，
由余弦定理得，则，
由为钝角，得，于是，此时，符合题意，存在，
所以.
18．（1）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
（2）由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
，
，
．
所以的分布列为
0 1 2 3
．
（3）易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以．
19．（1）由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为，焦距为.
（2）设过点的直线为，，
由，化简得，
则，即，
所以，
即，
则，
所以直线方程为，，
故，
且点到直线的距离，
所以.
20．（1）∵，，
∴
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
又时，，，
所以的最小值为．
（2）切线，∴，
∵，∴，∴，
在处的切线恒过
（3）由题可得直线方程为：
当时，是否恒在直线下方转化为说明是否成立；
①当时，单调递减，所以，
∵，∴，
②当时，只需证：，
令，则，
∵，∴，∴在上单调递增，∴，
∴，
，
综合①②，即时，恒在下方．
21．（1）由题意得；
（2）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素，如，
在中至多在和中出现两次，
且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）．
所以的所有项中至多有两个1，两个2，依次类推，
当为偶数时，，
当为奇数时，
，
而，
所以总有；
（3）不妨设，其中，
因为，
，
所以
当时，等号成立
记，
其中表示这2个数中最大的数．
所以，
而，
所以，
所以，且当时，等号成立，
结合，得，
所以的最小值为，且当时取到.
答案第1页，共2页
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