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北京市第一七一中学2025-2026学年高三上学期10月练习
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中常数项是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
5．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知集合则集合M的元素个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
8．已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．5 D．
9．已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：，其中自变量L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数.已知在某企业中，，且时，时，则当时，对应的约为（ ）
参考数据：，，，，
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数的定义域是 .
12．在中，已知，，.则 .
13．设抛物线的焦点为F，准线l与轴的交点为M，P是C上一点.若，则 .
14．设函数．
①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ；
②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ．
15．已知函数，其定义域记为集合D，，给出下列四个结论：
①；
②若，则；
③存在，使得；
④对任意a，存在b使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
17．某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表：
甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5
乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9
已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.
(1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率；
(2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望：
(3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）.
18．在△ABC中,
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.
条件①: ；
条件②：△ABC的面积为；
条件③：AC边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知椭圆，其中，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程及上顶点的坐标；
(2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
20．已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)①求证：只有一个零点；
②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.
21．设，为平面直角坐标系上的两点，其中，令，，若，且，则称点B为点A的“相关点”，记作：.已知（）为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.
(1)请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
(2)求证：若与重合，一定为偶数；
(3)若，且，记，求T的最大值.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B D C B C C D
11．.
12．/
13．
14． （答案不唯一）；
15．①②④.
16．（1）因为，
所以
所以 ，
所以函数的最小正周期，
由得，，，
所以函数的最小正周期为，单调增区间为.
（2）由于 ，
令，解得：,
所以函数的单调递减区间为，
结合（1）可得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
又，，
所以,
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
17．（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个，
所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为.
（2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个，
所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为，
从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布，
，，
，，
所以分布列为
X 0 1 2 3
P
期望.
（3）根据题意样本中甲同学成绩的均值
，
乙同学成绩的均值，
所以甲同学成绩的方差，
乙同学成绩的方差，
所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等.
18．（1）由可得，
由余弦定理可得：，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，因为，所以.
（2）若选择①：因为，，所以，所以，
则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.
若选择②：由（1）可得，即，
则，解得，
再代入可得：，
所以△ABC的周长为：.
若选择③：由（1）可得，即，
由可得：，
所以，
又因为AC边上的高等于，，
所以，解得：，所以，，
所以△ABC的周长为：.
19．（1）由题意可得，解得.
所以椭圆方程为.
上顶点的坐标为；
（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，
设，
联立方程，消去得：
，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
所以线段的中点是定点.
20．（1）由题意知，，
所以曲线在处的切线的斜率为，
又曲线在处的切线方程为，
所以，解得；
（2）①：由（1）知，，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，当时，，
所以函数在上存在唯一，使得，
即函数在上存在唯一零点.
②：由①知，切线的斜率为，又，
所以，
令，得，
设，则，
令或，或，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
当时，，即，由①知，故不符合题意；
当时，由，得
，
即，符合题意，
故实数的取值范围为.
21．（1）的“相关点”有个，且都在圆上，理由如下：
由，且，，
则，或，，故的“相关点”有个，
又因为，即有，
故这些“相关点”在圆上；
（2）若与重合，则、，
令、，
则，，
则，
由（1）知，或，，
则必为奇数，即有个奇数相加为，
因为奇数个奇数的和为奇数，故必为偶数；
（3）由题意可得，
又或，则，，，，
则，故，
，
由，或，，
则的个数越多，则的值越大，
而且在序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大，
则的次数最多时，取的次数才能最多，相应的的值最大；
①当时，令，，
，，，
则相应的取，，，，
则
；
②（i）且为偶数时，设，此时可取个，个，
则所有的都为，为使最大，则所有都取，
且；
（ii）当且为奇数时，设，
令，则其余的中取个，个，
则相应的，其余的时，最大，
此时；
综上所述：.
答案第1页，共2页
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