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北京市北京大学附属中学预科部2025-2026学年高三上学期十月阶段练习数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数的定义域为，则“的最小值为0”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．已知的图象连续不间断，根据下表中的数据，可以判定方程的一个根所在区间为（ ）（此处取近似值）
0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2.5 5 8.5 13
A． B． C． D．
三、单选题
9．在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．既有最大值也有最小值
B．存在实数，使得
C．对任意正整数在区间上均单调递增
D．若且关于的方程有且只有两个实根，则
四、填空题
11．若，则 ．
12．在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为 ．
13．已知且函数的图象恰有三条对称轴在上，则其在上共有 个极大值点．
14．如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为 ．

15．已知函数的定义域为，给出下列四个结论：
①存在周期函数，使得函数不是周期函数；
②对任意，函数与函数不可能都是奇函数；
③若恒成立且函数不是常值函数，则的图象过定点；
④存在无穷多个周期函数，使得恒成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
五、解答题
16．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间．
17．在钝角中，已知．
(1)求；
(2)若的周长为，求的面积．
18．设函数的最大值为2.
(1)求的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一，若在上有且仅有3个零点，求的取值范围：
条件①：；
条件②：；
条件③：函数在区间上是增函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值．
20．已知函数，曲线在点处的切线经过点．
(1)求的值；
(2)求的极值点个数；
(3)是否存在负数，使得曲线在点处的切线与有且只有一个公共点？如果存在，求所有符合条件的的个数；如果不存在，说明理由．
21．已知整数数列满足．定义数列，其中，对，表示集合的元素个数．
(1)对于下列数列，分别写出其对应的：
①；②；
(2)记，证明：若，则；
(3)记为，当时，记为．证明：与的各项对应相等．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C D A BC C D
11．
12．（答案不唯一，满足即可）
13．2
14．或
15．②③④
16．（1）因为
所以最小正周期；
（2）函数的单调递增区间为．
由，得
所以的单调递增区间为：．
17．（1）由余弦定理可知，所以，
故，
，，
则，
，
或．
当时，，不为钝角三角形，舍去，
时，满足要求．
（2）由（1）可得，
由正弦定理，即．
周长，所以．
则的面积．
18．（1）由题可知，
，
因为函数的最大值为2，所以，解得．
（2）选择①③：
当时，．
因为，
所以，
即．
当时，；
因为函数在区间上是增函数，所以，即．
综上，．此时，．
当时，；
若在上有且仅有3个零点，则，
得．
因此的取值范围是．
选择②③：
当时，．
因为，所以当时取得最大值，
因此，即．
当时，；
因为函数在区间上是增函数，所以，即．
综上，．此时，．
当时，；
若在上有且仅有3个零点，则，得．
因此的取值范围是．
选择①②不符合要求，理由如下：
当时，．
因为，所以，即．
因为，所以当时取得最大值，
因此，即．
结合这两个条件，不能得到唯一的，即不唯一．
19．（1）由已知，函数，则，
又，，
所以点处的切线方程为，即．
（2）方法一：由（1）可得，．
当时，恒成立，因此在定义域内单调递减，
而当时，与题意不符；
当时，令，解得，
则变化如下表．
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
要使恒成立，只需，
令，
则，令，解得，
则变化如下表．
＋ 0 －
↗ 极大值 ↘
因此且可得，又由上表是唯一的最大值，因此．
方法二：由（1）可得，因此恒成立，即恒成立，
又在处有导数，因此在处取到最小值，亦是极小值，
从而，解得，
当时，，，
令，解得，则变化如下表．
0
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
因此，即当时，恒成立．
20．（1）函数，求导得，则，而，
于是曲线在点处的切线方程为，
又曲线在点处的切线经过点，解得，
所以的值为.
（2）由（1）知，其定义域为，求导得，
令，求导得，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
而，则存在，使得，
当时，；当时，，
函数，即在上单调递减，在上单调递增，
，
函数在和上各有唯一零点，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，
所以函数有2个极值点.
（3）曲线在点处的切线方程为，
由曲线在点处的切线与有且只有一个交点，
得函数有唯一零点，求导得，
由（2）知，，则当时，在恒成立，
函数在上单调递增，又，因此函数有唯一零点，符合题意；
当时，由（2）知在恒成立，
函数在单调递减，则，而当时，，
因此存在，使得，则函数在上存在零点，此时至少两个零点，不合题意；
当时，由（2）知在恒成立，
函数在上单调递减，，由（2）知在上单调递增，
于是，，
由（2）知在上单调递减，，
因此当时，，
存在，使得，
函数在上存在零点，函数至少两个零点，不合题意，
所以的所有取值个数为1.
21．（1）根据题意可得
①；②．
（2）因，且数列为整数数列，
所以，，，而.
若，则均等于，于是，故．
若，则中恰有一个不等于，由于，所以，
于是，，故．
若，则中恰有两个不等于，而，，故，
于是，或1，，故.
若，由，故．
综上，.
（3）先证明引理1：对任意．
设．因为，所以均不等于．
所以．故对任意，．
再证明引理2：记数列，对任意，若，则．
设．因为，所以均不等于．而，
所以中恰有项不等于，于是，
进而．易见，所以．
以下证明题目命题.
当时，或，两种情况下都有与的各项对应相等．
假设使得结论不成立的最小，即当时均有与的各项对应相等，
所以与的前项对应相等．根据引理2，与的前项分别相等．
假设与的第项不相等，根据引理1，的第项依次是．
（ⅰ）假设的第项是，则的第项也是，矛盾；
（ⅱ）假设的第项是时，则的第项也是，
于是的第项也是，矛盾；
（ⅲ）假设的第项小于，根据引理2的证明，的第项与第项相等．
于是的前项均小于，则的第项是，矛盾.
故原命题成立．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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