资源简介

2025-2026学年上学期高二年级第一次综合训练（数学）试卷
范围：数列和直线的斜率
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
5．设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ）
A． B． 　 C． D．
6．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
7．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ）
A． B．16 C． D．
已知数列中满足，，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．9 D．
二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
9．下列数列的通项公式中，是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．记数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列是公比为4的等比数列 D．数列的前2025项和为
11．设为等差数列的前项和，若公差，且，则下列论断中正确的有（ ）
A．当时，取最小值 B．当时，
C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数列中，，，则 ．
13．数列为等比数列，且，设为其前项和，，则 ．
14．某公司2025年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是 　　　　 ．（参考数据.）
四、解答题（本题共5大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求的最大值.
16．在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式和前10项的和；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
17．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和，证明：．
18．已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和；
①求；
②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列.
求；
求的通项公式；
(3)已知，求数列的前项和.
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D A C C D BCD ACD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】，由于为常数，则直线的倾斜角为90°.
故选：C.
2．B
【分析】根据题意，分析数列前项的规律，用表示即可得答案.
【详解】根据题意，数列的前几项为：…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.
故选：B.
3．B
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，可得出的值，再利用等差数列求和公式结合等差中项的性质可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
故，
因此，.
故选：B.
4．D
【分析】根据等比数列的性质求出，根据等比数列通项列方程求解即可.
【详解】由题意得，，
又
设公比为，则，解得或.
故选：D.
5．A
【分析】画出图象，结合斜率公式求得正确答案.
【详解】如图，直线的斜率，
直线的斜率，
所以当直线与线段相交时，
的斜率的取值范围是.
故选：D
6．C
【分析】设出公差，表达出，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，则．
由，得，解得．
又因为，所以，
所以．
故选：C．
7．【答案】C
【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可.
【详解】记数列为，设，
则，，，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，.
故选：C.
8．D
【详解】试题分析：由题意得：,所以：，，，……，
，将上述各式累加得：，所以，从而得到（），由对号函数图象的性质得当时，有最小值为.
考点：数列通项公式的方法，对号函数求最值的方法.
9．BCD
【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可.
【详解】对于A，，数列为递减数列，A错误；
对于B，，数列为递增数列，B正确；
对于C，，数列为递增数列，C正确；
对于D，D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断.
【详解】由，时，得，而满足上式，
因此数列的通项公式为，
对于A，，A正确；
对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确；
对于D，令，，数列前2025项和为
，D正确.
故选：ＡＣＤ
11．BC
【分析】对于A，由题意首先得，结合可知，由此可判断A；对于B，由等差数列求和公式验算即可；对于CD，由等差数列下标和性质即可得解.
【详解】对于A，由题意，又，
所以，所以当时，取最大值，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，即，故D错误.
故选：BC.
12．２
【分析】代入逐项求解，可得数列的周期为3，继而求得.
【详解】，，数列的周期为3，，
13．
【分析】根据已知可得公比，进而有，最后利用等比数列基本量的运算求解即可.
【详解】由题等比数列的公比为且，
所以，可得，
由，则，
故.
故答案为：
2036
【分析】设第年投入元（2025年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】设第年投入元（2025年为第年），则，
令，即，
所以，
则，
则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元，
即2036年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元.
15．(1)
(2)100
【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出公差即可得解；
（2）首先得出单调递减，并求出时的最大值，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设的公差为d，因为是与的等比中项，所以，
即，整理得.
又，所以，
则.
（2）由（1）可得，.
因为，所以是递减数列.
又，，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义和公式，求公差和通项，再代入求和公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，利用等差和等比前项和公式，即可求解.
【详解】（1）已知等差数列中，，可得公差为2，
即，则，，
；
（2）
设，
则
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据所给式子得到，作差即可得到，，再计算，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）解：因为，
所以时，，
两式作差得，，
所以时，，
又时，，得，符合上式，
所以的通项公式为．
（2）解：，
则，
因为，故，
又在上单调递减，
故随的增大而增大，
故，
综上，．
18．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证．
（2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围．
【详解】（1）证明：因为，
所以．
因为，所以．
又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）①由（1）可得，则，
，
，
两式相减得：，
即，
所以，则．
②因为不等式对任意的正整数恒成立，
所以对任意的正整数恒成立，
即
设在为增函数，
所以f(1)=3.
故实数的取值范围为
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解，
（2）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
（2）当时，，②
①-②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，故；
（3）由（1）知，
当是奇数时，
，
当是偶数时，
，
综上.
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑