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四川省仁寿县铧强中学2023级高三（上）第二次诊断性考试
（数学）试卷
（本试卷满分150分，考试用时120分钟.）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.
1．已知命题，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．复数，其中i为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．5
3．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知数列满足，则（ ）
A． B．1 C．4043 D．4044
5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
11．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，若，则 ，若，则 ．
13．函数在上的最小值是 ．
14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
15．在△中，内角所对的边分别是，已知，，.
(1)求的值；
(2)求△的面积.
16.如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
(1)证明：直线直线;
(2)求直线与平面所成的角的大小；
(3)求三棱锥的体积.
17．某零件加工工厂生产某种型号的零件，每盒10个，每批生产若干盒，每个零件的成本为1元，每盒零件需要检验合格后方可出厂.检验方案是从每盒零件中随机取出2个零件检验，若发现次品，就要把该盒10个零件全部检验，然后用合格品替换掉次品，方可出厂；若无次品，则认定该盒零件合格，不再检验，可出厂.
（1）若某盒零件有8个合格品，2个次品，求该盒零件一次检验即可出厂的概率；
（2）若每个零件售价10元，每个零件检验费用是1元.次品到达组装工厂被发现后，每个零件须由加工工厂退赔10元，并补偿1个经检验合格的零件给组装工厂.设每个零件是次品的概率是，且相互独立.
①若某盒10个零件中恰有3个次品的概率是，求的最大值点；
②若以①中的作为的值，由于质检员的失误，有一盒零件未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，求这盒零件最终利润(单位：元)的期望.
试卷第1页，共3页
18．已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)计算．
(2)设函数．
①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
②若且，函数，证明：．
19．已知函数，其中为自然对数的底，.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由.试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页

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