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嘉陵一中高2024级高二上第一次月考
数学试卷
注意事项： 时间120分钟，满分150分. 所有答案直接答在答题卡对应区域.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A. B. C. D.
2．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ）
A. B.
C. D.
4．设，则AB的中点M到点C的距离（ ）
A. B. C. D.
5．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　 　)
A x＝，y＝1 B. x＝，y＝－4 C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1
6．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
8．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分
9．设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与为互斥事件 B．事件与为对立事件
C．事件两两相互独立 D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若标准差为4，则的标准差是8
11．如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则平面
C. 若，，则平面
D. 若，时，直线与平面所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设异面直线的方向向量分别为，则异面直线所成角的大小为 ．
13．一个底面直径是的圆柱形水桶装入一定量的水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了且无溢出，则这个球的表面积是 ．
14．点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分, 16、17题15分, 18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知空间中三点，，，设，.
（1）已知向量与互相垂直，求的值；
（2）若点在平面上，求的值.
16．（本题满分15分）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数；
(2)若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数；
(3)若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数）
17．（本题满分15分）如图，在正三棱柱中，点是的中点，．
求证：平面；
求证：平面平面；
求直线到平面的距离．
18．（本题满分17分）如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面．
(1)求证：平面；
(2)若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为．
19．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.
(1)求证：平面ABCD；
(2)求面APB与面PBC所成角的正弦值；
(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.
嘉陵一中高2024级高二上第一次月考数学试卷
参考答案 2025.10.14
1-4ADCD 5-8BACB
8【分析】以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，3，，根据空间向量垂直的坐标表示求得，继而得的最小值，连接BP，由线面角的定义得 就是与平面所成的角，故而得的最大值.
解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，3，，则，3，，，，，
，，
，，
，
连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ，
，的最大值为．
故选：B．
9.BC 10. ABC 11. BCD
11.连接，，，，，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，，
则，即，
对于A中，若，则，则P点与C点重合，
可得，所以A错误；
对于B中，若，则，，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
由于，可得，
因为平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，若，则，，
由于，所以平面，所以C正确；
对于D中，若时，可得，所以，
则，
设，，则，，，
则，
由于函数（）在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，所以，，，，，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
12. ( 60°)
13.
14.
15、（本题满分13分）
（1）由已知，，因为与互相垂直，故即，故即. …………6分
（2）因为点在平面上，故存在，使得，
又，所以，解得.故.…………13分
16、（本题满分15分）
（1）由频率之和为1，可得，
解得，…………2分
样本的平均数为：
（千瓦）…5分
（2）由图可得，用电量不低于400千瓦的频率为，…………7分
故全市居民中月均用电量不低于400千瓦的人数为万人. …………10分
（3）由图可得，前5组的频率之知为，
前6组的频率之和为，设第85百分位数为，则，故，解得（千瓦）．…………15分
17、（本题满分15分）
连接，交点，连接，则是的中点，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．…………5分
因为为等边三角形，且是的中点，
所以，由正三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．…………10分
由知平面，
以直线到平面的距离等价于点到平面的距离，
由知平面，所以点到平面的距离为，
而，
，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，解得，
所以直线到平面的距离为．…………15分
注：用空间向量法计算正确得相应分
18、（本题满分17分）
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
∵且，，平面，∴平面．……7分
（2）因为平面平面，，，M是的中点，
∴，取的中点O，连接，则平面，
取的中点N，连接，则，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，…………9分
设，，因为平面的一个法向量，…………11分
，，
设平面的一个法向量为，
则，可得．………14分
再由，则，
∴或（舍），所以E为的靠近D点的五等分点．…………17分
19、（本题满分17分）
（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，在中，，，，
则，，，
且平面平面，平面，平面平面，
平面；…………5分

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，则，，，，，设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，由，取，.二面角是钝角，
二面角的正弦值为.…………11分

（3）设，则，
又平面的法向量为，直线与平面所成的角的正弦值为，解得，.…………17分

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