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2024-2025学年重庆市九龙坡区育才学校八年级（下）自主作业数学试卷（5）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.点M在一次函数y=2x-1的图象上，则M的坐标可能为（　　）
A. （1，1） B. （1，-1） C. （-2，0） D. （2，0）
3.估计3×-1的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　）
A. 4和5 B. 5和6 C. 6和7 D. 7和8
A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线相等的四边形是矩形
5.如果关于x的一元二次方程x2+x-a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6.将一次函数y=ax-b与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　）
A. 20cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 无法确定
8.如图，一次函数y1=kx+4与y2=x+b的图象相交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b≤kx+4的解集是（　　）
A. x≥3 B. x≤3 C. x≥1 D. x≤1
9.如图以Rt△ABC的斜边BC为边在△ABC的同侧作正方形BCEF.设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，BC=4，则AO的值为（　　）
A. 5
B. 6
C.
D. 8
10.有两个依次排列的代数式：x2，x2-4x+4，用第二个代数式减去第一个代数式得到a1=2，将a1=2加8得到a2，将第2个代数式与a2相加得到第3个代数式，将a2加8得到a3，将第3个代数式与a3相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论：
①a6=-4x+44；
②当第2024个代数式的值为36时，x=4042或4054；
③（n为正整数）.其中正确的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.要使代数式有意义，则x应满足的条件是______.
12.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m-1的图象向上平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为______.
13.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与y=-x+2的图象交于点P（m,3），则关于x,y的二元一次方程组的解为______.
14.若m,n是一元二次方程x2-3x-1=0的两个根，则m+n+3mn的值为______.
15.如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E是BC的中点，连接OE.若OE=1，则AB= ______.
16.若关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y=（a+4）x+a-5的图象经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数a的和是______.
17.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C作CD⊥AB于点D，点E为线段AD上一点，连接CE，点F为线段CE上一点，连接BF交CD于点G，连接DF，若CG=AE，，则EF+GF= ______.
18.若一个四位正整数除以千位数字余数为4，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字，则称正整数M为“劳动数”.例如：因为8396÷8=1049 4，且9-3=6，所以8396是“劳动数”.则最小的“劳动数”为______.若关于x的一元二次方程bx2+cx+d=0有两个相等的实数根，且满足为整数时，则满足条件的“劳动数”M的最大值为______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）2x2-5x-12=0.
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG.（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若BE=FE，证明：四边形AGBF是矩形.（请完成下面的填空）
∵BG平分∠ABD，
∴ ______.
∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴ ______，
∴∠DBG=∠EGB，
∴∠EGB=∠ABG，
∴ ______.
∵BE=FE，
∴ ______，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴四边形AGBF是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，
∴AB=GF，
∴四边形AGBF是矩形.（______）
21.(本小题10分)
近期重庆双福水果市场来了一批甘蔗之王——白玉蔗，其铁的含量特别多，居水果之首.故有“补血果”的美称.北关超市购进一批白玉蔗，交由甲，乙两名工人切割成节并包装.其中，甲工人加工了1200节，乙工人加工了2400节，现从甲、乙工人加工后的成品中各随机抽取20节进行称重（单位：克），将所抽取的每节甘蔗的重量进行整理和分析（每节甘蔗重量用x表示，共分成四组，A组：225≤x＜235，B组：235≤x＜245，C组：245≤x＜255，D组：255≤x＜265），并将称重数据绘制成了两幅统计图如下：
所抽取的甲、乙工人加工的甘蔗成品重量统计表
工人 平均数 中位数 众数 方差
甲 246 b 255 10.31
乙 246 248 c 9.67
甲工人加工的C组甘蔗每节重量分别是：245，254，250，246，252
乙工人加工的B、C组甘蔗每节重量分别是：
236，237，238，240，242，244，248，248，248，248，250，252，252，254
（1）直接写出b=______，c=______；
（2）已知每节甘蔗越接近标准重量（246g），表示工人的切割技术越好.根据图表中的数据分析，甲、乙哪个工人的切割技术更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）请估计经过甲、乙两名工人加工后的甘蔗成品中，重量在C组的节数.
22.(本小题10分)
2024年春节，重庆铜梁龙舞火爆全网，磁器口古镇成为山城文化打卡地.游客徐小客来渝游玩，计划购买甲、乙两种纪念品作为伴手礼馈赠亲友，已知3件甲种纪念品和2件乙种纪念品共需80元，2件甲种纪念品和3件乙种纪念品共需70元.
（1）求甲、乙两种纪念品的单价；
（2）根据徐小客的亲友圈子，他需购买甲、乙两种纪念品共50件，乙种纪念数量不大于甲种纪念品数量的2倍，设购买两种纪念品总费用（w元），甲种纪念品t（件），请问如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.
23.(本小题10分)
随着城市共享单车的普及，越来越多的人选择骑行作为短途出行的方式.小李家位于点A处，决定骑共享单车前往位于点C处的健身房.根据导航显示，点B在点A的正东方向，点C在点A的东北方向，且在点B的北偏西60°的方向上，测得B、C两点的距离为米，点D在点A的北偏西15°方向上距A点1200米处.
（1）求A、C两点的距离；
（2）由于道路施工，小李有两条骑行路线可以选择，路线①A→B→C.速度为每分钟240米，路线②A→D→C，速度为每分钟180米，请通过计算说明，小李选择哪条路线才能更快地回到家？（参考数据：）
24.(本小题10分)
如图1，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿线段AO→OB运动，点P到达点B时停止运动.若点P运动的路程为x（0＜x＜4），△DPC的面积为y.
（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在图2中画出函数图象，并写出一条性质；
（3）若直线与此函数图象有且只有一个公共点，请直接写出b的取值范围.
25.(本小题10分)
如图，直线l：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点M（1，2）.已知直线m经过点C（-1，0），且与y轴交于点D.
（1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式；
（2）若P为直线m上一动点，S△APM=2S△BDM，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一个动点Q，使得△ABQ为等腰三角形？若存在.请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由.
26.(本小题10分)
在等腰△ABC中，AB=AC，点D是射线BC上的一点.
（1）如图1，若∠BAC=30°，AC=6，∠D=45°，求CD的长；
（2）如图2，若∠BAC=90°，过点C作CQ∥AB交AD于点Q，点M为AC边上的一点，且∠MBC=∠D，过点B作BH⊥BM交直线CQ于点H，求证：2CQ+CM=CH；
（3）如图3，若∠BAC=60°，AC=6，点F是边AB上的一点，且BF=2，点K是平面内任意一点，将△AKF沿AK翻折得到△AKF′，点M为直线AC上的一点，将线段BM绕着点M逆时针旋转90°得到线段EM，若∠AF′E=90°，当线段F′E最短时，求△ABE的面积.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x＞5
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】0
15.【答案】2
16.【答案】2
17.【答案】2
18.【答案】5044 9121
19.【答案】3；
x1=4，x2=-
20.【答案】∠ABG=∠DBG EF∥BC EG=EB EG=EF 对角线相等的平行四边形为矩形
21.【答案】251，248；
乙工人的切割技术更好，因为乙工人的中位数和众数更接近标准重量，且方差比甲的小；
1260节
22.【答案】甲、乙两种纪念品的单价分别为20元，10元；
需购买甲、乙两种纪念品分别为17件，33件时能使总费用最少，最少费用为670元
23.【答案】A、C两点的距离800米；
小李选择路线①才能更快地回到家．
24.【答案】y=；
见解析过程；
b=1或2＜b≤4．
25.【答案】点A（2，0）、B（0，4），直线m的解析式为y=x+1；
点P的坐标为（3，4）或（-1，0）；
点Q的坐标为（2+2，0）或（2-2，0）或（-3，0）
26.【答案】解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD于点E，
∵∠D=45°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠ECD=45°，，
∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECD=180°-75°-45°=60°，
∵AC=6，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）证明：过点B作BE⊥CQ，交CQ于点E，
∵AB=AC，∠BAC=90°，CQ∥AB，
∴ABEC是正方形，
∴BE=AB=AC=EC，∠ABE=90°，
∵BH⊥BM，
∴∠ABM+∠MBE=∠MBE+∠EBH=90°，
∴∠ABM=∠EBH，
∴△ABM≌△EBH（ASA），
∴AM=EH，
∵∠MBC+∠ABM=∠ABC=45°，∠CAQ+∠D=∠ACB=45°，∠MBC=∠D，
∴∠ABM=∠CAQ，
∴△ABM≌△CAQ（ASA），
∴AM=EH=CQ，
∴AM+MC=EC，
∴AM+MC+EH=EC+EH，即：2CQ+CM=CH，
（3）过点B，作BD⊥AC，交AC于点D，在射线DC上截取DG=DB，连接AE、BE、BG，过点A作AH⊥GE，交直线GE于点H，
∵BM=BE，∠BME=90°，DG=DB，BD⊥AC，
∴△BME、△BDG是等腰直角三角形，
∴，∠MBE=∠DBG=45°，∠DGB=45°，
∴∠MBD+∠DBE=∠DBE+∠EBG=45°，
∴∠MBD=∠EBG，
∴△MBD∽△EBG，
∴∠BDM=∠BGE=90°，
∴∠AGH=∠BGH-∠BGD=90°-45°=45°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴，
∵∠AF′E=90°，
∴F′E2=AE2-F′A2，
由翻折的性质可得，F′A=FA=AB-BF=6-2=4，
∴当AE取最小值时，F′E取得最小值，
∵当点E与点H重合时，AE取得最小值，
∵∠BAC=60°，AC=6，BD⊥AC，
∴，AD=3，
∴，，
∵∠BGE=90°，AH⊥GE，
∴AH∥BG，
∴，
故答案为：．

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