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2025-2026学年陕西省咸阳实验中学高三（上）第二次质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { |( + 1)2 ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1} B. { 2, 1,0} C. [ 2,0] D. [ 2,2]
2.已知向量 , 的夹角为 60°，且| | = | | = 6，则| | =( )
A. 6 B. 6 3 C. 3 D. 3 3
3.如图，在正方体 1 1 1 1中， 、 、 、 分别为 1、 、 1、 1 1的中点，则异面直线
与 所成的角等于( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
4 1.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( )在[0, + ∞)上单调递增，若 = (log29)， = ( 3 10 )，
= (20.9)，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.设 > 0， > 0 1 1，若 3是3 与3 的等比中项，则 + 的最小值( )
A. 2 B. 14 C. 4 D. 8
6.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( ) = (2 )， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 + ，
若 (0) + (3) = 6 ( 25，则 3 ) =( )
A. 329 B.
11
3 C.
4
3 D.
17
9
7 ( ) ∈ (0, + ∞) ( ) ( ).已知 是定义在 上的奇函数，当 1， 2 时，都有 2 1 1 2 ( ) > 0 成立， (2025) = 2025，1 2 1 2
则不等式 ( ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 2025) ∪ (2025, + ∞) B. ( 2025,0) ∪ (2025, + ∞)
C. ( 2025,2025) D. ( 12025 ,
1
2025 )
8.若关于 的不等式 + < 2 + 对 ∈ (0,1)恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,0] B. [ 1,0] C. [ 1, + ∞) D. [0, + ∞)
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = ( 2)，则( )
A.当 < 0 时， ( ) = ( + 2) B. ∈ ，都有 ( ) ∈ [ , ]
C.函数 ( )有两个零点 D.函数 ( )在区间( 1,0)上单调递减
10.已知 是圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 9 上的一个动点，过原点 的动直线与圆 交于 ， 两点，则下列
说法正确的是( )
A. | |的最大值为 3 + 5 B. | |的最小值为 3 5
C. | |最大值为 6 D. | |最小值为 2

11 , ≤ 0.已知函数 ( ) = + 1, > 0，方程 ( ( )) = 有三个不同的实根 1， 2， 3，则( )
A.方程 ( ) = 有两个不同的实根 B. ∈ [1, ]
C. 1 是方程 ( ( )) = 1的一个根 D. 1 + 2 + 3 < +
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.等比数列{ }中， 1 + 2 = 1， 4 + 5 = 8，则{ }的前 4 项和等于______．
13.已知(2 + )6 = 0 + 1 + 2 2 + + 55 + 66 ，则 5 =______．
14.若二次函数 ( ) = 2 2 + 3 的图象与曲线 ： ( ) = + 3( > 0)存在公切线，则实数 的取值范围是
______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知二次函数 ( )的最小值为 4，且关于 的不等式 ( ) ≤ 0 的解集为{ | 3 ≤ ≤ 1, ∈ }．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若函数 ( )与 ( )的图象关于 轴对称，且当 > 0 时， ( )的图象恒在直线 = 4 的上方，求实数
的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， = 2 = 2， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若点 ， ， ， 均在以 为球心，2 为半径的球面上．
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( )证明： ⊥ ；
( )求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (1,0)
2
，离心率为 2 ．
(1)求 的方程；
(2) 1已知点 (0, 3 )，直线 过 且与 交于 ， 两点，若| | = | |，求 的方程．
18.(本小题 17 分)
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己 1000 次训练情况并将成绩(满分 100 分)统计如下表所示．
成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 100 200 300 240 160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；
(2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了 6 次成绩，再从这 6 次成绩中随机选 2
次，设成绩落在区间[60,70)的次数为 ，求 的分布列及数学期望；
(3)对这 1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于 80 分的成绩可以提高 10 分，
原高于 80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低 10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为 (0 < < 1).
在一次资格赛中，入围的成绩标准是 80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时 的取值范
围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 8 (1 + ) + 2 + ．
(1)若 ′( )在 上单调递减，求 的最大值；
(2)证明：曲线 = ′( )是中心对称图形；
(3)若 ( ) 8 2，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.12
14.(0, 8 2 ]
15.解：(1)因为 ( )是二次函数，且关于 的不等式 ( ) ≤ 0 的解集为{ | 3 ≤ ≤ 1, ∈ }，
可知 3，1 是函数 ( )的零点，
设 ( ) = ( + 3)( 1)， > 0，
即 ( ) = ( 2 + 2 3) = [( + 1)2 4]，
当 = 1 时， ( ) = ( 1) = 4 = 4，所以 = 1，
故函数 ( )的解析式为： ( ) = ( + 3)( 1) = 2 + 2 3；
(2)因为函数 ( )与 ( )的图象关于 轴对称，
所以 ( ) = ( ) = 2 2 3，
当 > 0 时， ( )的图象恒在直线 = 4 的上方，
所以 ( ) > 4，在(0, + ∞)上恒成立，
1
即 2 2 3 > 4，所以 < + 2，
令 ( ) = + 1 2( > 0)，则 < ( ) ，
( ) = + 1因为 2 ≥ 2
1
2 = 0，当且仅当 =
1
，即 = 1 时等号成立，
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即 < 0，
所以实数 的取值范围是( ∞,0)．
16.证明：取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别为 ， 中点，
∴ // , = 12 = ，又 // ，
∴ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
( ) 15证明见解析( ) 5
17.解：(1)因为椭圆 的右焦点为 (1,0)，
所以 = 1，
2
因为椭圆的离心率为 2 ，
= 所以 =
2
2 ，
解得 = 2，
则 2 = 2 2 = 2 1 = 1，
2
故椭圆 的方程为 22 + = 1；
(2)当直线 斜率不存在时，显然不满足条件；
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立 2 2 ，消去 并整理得(1 + 2
2) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，
2 + = 1
此时 = 8( 2 + 1) > 0，
4 2 2 2 2
由韦达定理得 1 + 2 = 1+2 2， 1 2 = 1+2 2，
2
所以 1 + 2 = ( + ) 2 =
4 2
1 2 1+2 2 2 = 1+2 2，
2 2
所以 的中点坐标为 ( 1+2 2 , 1+2 2 )，
当 = 0 时，满足条件，
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此时 的中垂线为 = 0；
当 ≠ 0 时，若| | = | |，
此时直线 与直线 垂直，
1 2
因为 = 1+2 2 3 = 3 1 2 = 1 ，2 2 0 6 2
1+2 2
整理得 2 2 3 + 1 = 0，
解得 = 1 或 = 12．
综上所述，直线 的方程为 = 0 或 1 = 0 或 2 1 = 0．
18.

19.解：(1)由函数 ( ) = 8 (1 + ) + 2 + ，所以 ′( ) = 8 1+ + 2 + ，
8
令 ( ) = 1+ + 2 + ，因为若 ′( )在 上单调递减，
8 8
则 ′( ) = (1+ )2 + 2 = 2 + 1
≤ 0 恒成立，
+ +2
1
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因为 + 1 + 2 ≥ 2
× 1 + 2 = 4，当且仅当 = 0 时取等号，
8 8则 1 ≥ 2，所以 2 ≤ 1 ，即 2 ≤ 2，得 ≤ 1， + +2 + +2
故 的最大值为 1．

(2)证明：由(1) ( ) = 8 8 知 ′ 1+ + 2 + ，则 ′( ) = 1+ 2 + ，
8 8 ( ) + ( ) = 2 + + + 2 + = 8
8
则 ′ ′ 1+ 1+ 1+ + 1+ + 2 = 2 + 8，
所以曲线 = ′( )关于点(0, + 4)对称，是中心对称图形．
(3)当 > 0 时，则当 →+∞时， ( ) →+∞，与 ( ) ≤ 8 2 矛盾，所以 ≤ 0；
当 = 0， ≥ 0 时，则当 →+∞时， ( ) →+∞，与 ( ) ≤ 8 2 矛盾；
当 = 0， < 0 时，则当 → ∞时， ( ) →+∞，与 ( ) ≤ 8 2 矛盾；
所以 < 0．
+4 8
当 > 4，则当 0 < < 2 时， ′( ) = 1+ + 2 + > 4 + 2 + > 0，
此时 ( ) > (0) = 8 2，矛盾；
< 4 +4 8

当 ，则当 2 < < 0 时， ′( ) = 1+ + 2 + < 4 + 2 + < 0，
此时 ( ) > (0) = 8 2，矛盾；
= 4 ( ) = 8

因此 ，所以 ′ 1+ + 2 4，
当 ≤ 1，由(1)可知 ′( )在 上单调递减，又 ′(0) = 0，
所以当 ≤ 0 时， ′( ) ≥ 0， ( )在区间( ∞,0]上单调递增；
当 > 0 时， ′( ) < 0， ( )在区间(0, + ∞)上单调递减，
此时 ( ) ≤ (0) = 8 2，符合题意；

当 1 < < 0，则当 0 < < ln( 2 8 8 1)时， ′( ) = (1+ )2 + 2 > (1+ )2 + 2 > 0，
此时 ( ) = ( ) > (0) = 0，则 ( ) > (0) = 8 2，不合题意．
综上所述： 的取值范围是( ∞, 1]．
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