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苍江中学2025－2026学年度第一学期第一次月考（试题）
九年级数学科
（☆请把答案写在答题卷上）
本试卷共4页，23题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A.x2－2x＋1＝0 B. C.x2－2y＋4＝0 D.ax2＋bx＋c＝0
2.若关于x的一元二次方程x2＋mx－3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（ ）
A. B.－1 C.2 D.－2
3.一元二次方程x（x－1）＝0的解是（ ）
A.x＝0 B.x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D.x1＝0 x2＝－1
4.一元二次方程x2－8x－2＝0配方后可变形为（ ）
A.（x－4）2＝18 B.（x＋4）2＝16 C.（x＋4）2＝18 D.（x－4）2＝16
5.关于x的一元二次方程x2＋m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
6.设y＝x2＋x，则方程可变形为（ ）
A.y2－y－2＝0 B.y2＋y＋2＝0 C.y2＋y－2＝0 D.y2－y＋2＝0
7.方程2x2－6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.6，2，9 B.2，－6，9 C.2，6，9 D.2，－6，－9
8.对于实数a，b定义运算“”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ）
A.有两个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
9.某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A.32×20－3x2＝570 B.（32－x）（20－x）＝570
C.（32－2x）（20－x）＝570 D.3x2＝570
10.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx－c＝0的解是x1＝1，x2＝－3，则另一个关于x的方程a（x＋3）2＋b（x＋3）－c＝0的解是（ ）
A.x1＝2，x2＝6 B.x1＝－2，x2＝－6
C.x1＝－1，x2＝3 D.x1＝1，x2＝－3
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.已知关于x的方程x2－2x－6＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝______．
12.方程x2＝x的解为______．
13.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－5x＋6＝0的根，则这个三角形的周长为______．
14.若a，b是一元二次方程x2＋2x－23＝0的两个实数根，则a2＋4a＋2b的值是______．
15.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间t＝______s．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16.解方程：x2－2x－3＝0
17.解方程：x（2x－5）＝4x－10
18.已知关于x的方程（a－1）x2－2x＋1＝0有实数根，求a的取值范围
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分（如图）．
（1）当x＝－3时，求手掌遮住的部分的值；（4分）
（2）若手掌遮住的部分为－x2，求x的值．（5分）
20.某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台．
（1）求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率；
（2）从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？
21.已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m－1＝0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）当m＝2时求方程的解．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22.【知识技能】
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，．
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1．
【数学理解】
（1）一元二次方程4x2－x－2＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根分别为m，n，求m2＋n2的值．
（3）已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，求的值．
23.配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例：求代数式－x2＋4x－7的最大值．
解：原式＝－（x2－4x＋4）－3＝－（x－2）2－3．
∵（x－2）2≥0，∴－（x－2）2≤0，
∴－（x－2）2－3≤－3，∴－x2＋4x＝7的最大值为－3．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足2m2－12m＋11＝2（m＋k）2＋h，求k＋h的值．
（2）求代数式x2＋6x－1的最小值．
（3）若等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a2＋2b2－8a－20b＝－66，求△ABC的周长．

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